Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:30 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 90 min = 1 h 30 min
2. 8:30 + 1:30 = 10:00 Uhr
Ergebnis:
10:00 Uhr
●40
Rechne um: 7 m in cm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 100 cm
2. 7 · 100 = 700 cm
Ergebnis:
700 cm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 29 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 95 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 95 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Ergebnis:

Der Beginn des Films fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 22 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 95 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 22 Kinder und 6 € je Karte.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 22 Kinder und 6 € je Karte.
2. 22 · 6 € = 132 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
132 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●2
22 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 13 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 22 Kinder und 6 €.
2. 22 · 6 € = 132 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
132 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
★3
Die 5b fährt mit 30 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 110 Minuten. Der Film beginnt um 9:00 Uhr. Wann ist er zu Ende, und welche Angaben brauchst du dafür nicht?
Lösung zeigen
1. 110 Minuten sind 1 Stunde und 50 Minuten.
2. 9:00 Uhr plus 110 Minuten: 10:50 Uhr
3. Nicht gebraucht: Anzahl der Kinder und Preis.
Ergebnis:
10:50 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Can ist um 6:51 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Can auf den nächsten Bus X34?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 7:07 Uhr.
Von 6:51 bis 7:07 Uhr sind es 16 Minuten.

Der nächste fährt um 7:07 Uhr.
Von 6:51 bis 7:07 Uhr sind es 16 Minuten.

Ergebnis:

16 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Hanna ist um 6:59 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Hanna auf den nächsten Bus M29?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 7:06 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:06 Uhr.
2. Von 6:59 bis 7:06 Uhr sind es 7 Minuten.
Ergebnis:
7 Minuten
●5
Elias ist um 6:55 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Elias auf den nächsten Bus M29?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:11 Uhr.
2. Von 6:55 bis 7:11 Uhr sind es 16 Minuten.
Ergebnis:
16 Minuten
★6
Hanna braucht 5 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus M29 um 7:25 Uhr nehmen. Wann muss Hanna spätestens los, und wann ist Hanna an der Schule?
Lösung zeigen
1. Los: 5 Minuten vor 7:25 Uhr, also 7:20 Uhr.
2. Ankunft laut Fahrplan: 7:49 Uhr.
Ergebnis:
los um 7:20 Uhr, an um 7:49 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Ben hat 64 Bücher. Mia hat 19 Bücher weniger als Ben. Wie viele Bücher hat Mia?

Schritt für Schritt

Mia hat weniger: der Streifen von Mia ist kürzer
64 − 19 = 45

Mia hat weniger: der Streifen von Mia ist kürzer
64 − 19 = 45

Ergebnis:

45 Bücher

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Jonas hat 60 Sticker. Noah hat 24 Sticker weniger als Jonas. Wie viele Sticker hat Noah?
So fängst du an:
Noah hat weniger: der Streifen von Noah ist kürzer
Lösung zeigen
1. Noah hat weniger: der Streifen von Noah ist kürzer
2. 60 − 24 = 36
Ergebnis:
36 Sticker
●8
Ela hat 41 Murmeln. Noah hat 30 Murmeln weniger als Ela. Wie viele Murmeln hat Noah?
Lösung zeigen
1. Noah hat weniger: der Streifen von Noah ist kürzer
2. 41 − 30 = 11
Ergebnis:
11 Murmeln
★9
Noah hat 828 Murmeln, Jonas hat 978 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Jonas mehr?
Lösung zeigen
1. Der Unterschied ist der Rest zwischen den Streifen
2. 978 − 828 = 150
Ergebnis:
150 Murmeln

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Sofia kauft ein Buch für 17 €. Danach bekommt Sofia 4 € geschenkt und hat jetzt 26 €. Wie viel Geld hatte Sofia am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 26 € − 4 € = 22 €
Dann den Kauf: 22 € + 17 € = 39 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 26 € − 4 € = 22 €
Dann den Kauf: 22 € + 17 € = 39 €

Ergebnis:

39 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Noah kauft ein Buch für 16 €. Danach bekommt Noah 9 € geschenkt und hat jetzt 16 €. Wie viel Geld hatte Noah am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 16 € − 9 € = 7 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 16 € − 9 € = 7 €
2. Dann den Kauf: 7 € + 16 € = 23 €
Ergebnis:
23 €
●11
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Tom braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 29 Minuten für den Weg. Wann muss Tom spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 15:52 Uhr.
2. Noch 29 Minuten früher: 15:23 Uhr.
Ergebnis:
15:23 Uhr
★12
Aylin verschenkt 5 Sammelkarten. Dann verdoppelt sich die Sammlung durch ein Tauschspiel, und zuletzt kauft Aylin noch 6 Karten dazu. Jetzt sind es 56. Wie viele Karten waren es am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts: 56 − 6 = 50
2. Verdoppeln rückgängig: 50 : 2 = 25
3. Verschenken rückgängig: 25 + 5 = 30
Ergebnis:
30 Karten

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 8 Tische mit 38 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
5 Vierertische und 3 Sechsertische: 5 · 4 + 3 · 6 = 38

Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
5 Vierertische und 3 Sechsertische: 5 · 4 + 3 · 6 = 38

Ergebnis:

3 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof zählt Elias 6 Tiere und 16 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 4 Hühner und 2 Kaninchen: 4 · 2 + 2 · 4 = 16
Ergebnis:
4 Hühner, 2 Kaninchen
●14
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 8 Tische mit 40 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
2. Das passt genau.
3. 4 Vierertische und 4 Sechsertische: 4 · 4 + 4 · 6 = 40
Ergebnis:
4 Sechsertische
★15
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 15 Tiere mit 40 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 8 Hühner und 7 Kaninchen ergeben 44 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 10 Hühner und 5 Kaninchen: 10 · 2 + 5 · 4 = 40
Ergebnis:
5 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 4 Riegeln kostet 5,70 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Riegel braucht?

Schritt für Schritt

4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
Packung: 5,70 €
Die Packung ist günstiger.

4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
Packung: 5,70 €
Die Packung ist günstiger.

Ergebnis:

die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Bleistift kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 6 Bleistiften kostet 7,50 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bleistifte braucht?
So fängst du an:
6 einzeln: 6 · 1,20 € = 7,20 €
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 1,20 € = 7,20 €
2. Packung: 7,50 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
●17
Eine Saftflasche kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 11,70 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 1,20 € = 12,00 €
2. Packung: 11,70 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Eine Fahrt kostet 3,00 €. Eine Monatskarte kostet 58,00 €. Ben fährt im Monat 19-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 19 · 3,00 € = 57,00 €
2. Monatskarte: 58,00 €
3. Einzeln ist günstiger: Die Karte lohnt sich nicht.
Ergebnis:
Nein

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 4 Kästen liegen je 7 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?

Schritt für Schritt

4 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
4 · 7 = 28

4 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
4 · 7 = 28

Ergebnis:

28 Murmeln

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 3 Kästen liegen je 9 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
So fängst du an:
3 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 3 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
2. 3 · 9 = 27
Ergebnis:
27 Murmeln
●20
In 4 Kästen liegen je 6 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 4 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
2. 4 · 6 = 24
Ergebnis:
24 Sticker
★21
320 Sticker werden gleichmäßig auf 10 Kästen verteilt. Wie viele Sticker kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 320, 10 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 320 : 10 = 32
Ergebnis:
32 Sticker

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Lina hat 64 Sticker, Aylin hat 66 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
64 + 66 = 130

Zwei Teile, gesucht das Ganze
64 + 66 = 130

Ergebnis:

130 Sticker

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Tim hat 36 Murmeln, Mia hat 29 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 36 + 29 = 65
Ergebnis:
65 Murmeln
●23
Tim hat 59 Karten, Ela hat 70 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 59 + 70 = 129
Ergebnis:
129 Karten
★24
Jonas und Mia haben zusammen 597 Karten. Jonas hat 252 Karten. Wie viele Karten hat Mia?
Lösung zeigen
1. Ganzes 597, ein Teil 252, gesucht der andere Teil
2. 597 − 252 = 345
Ergebnis:
345 Karten

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
28 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 12 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 28 Kinder und 4 €.
2. 28 · 4 € = 112 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
112 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
●26
Auf einem Schiff sind 40 Schafe und 16 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?
Lösung zeigen
1. Die Angaben handeln von Tieren.
2. Über den Kapitän steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Der Unterricht beginnt um 7:43 Uhr. Welchen Bus M29 muss Jonas spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:43 Uhr: 7:21, 7:31, 7:41 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:41 Uhr an.
3. Er fährt um 7:15 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:15 Uhr
●28
Entlang eines Weges stehen 12 Zaunpfähle im Abstand von 4 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 12 Zaunpfähle haben 11 Abstände dazwischen.
2. 11 · 4 m = 44 m
Ergebnis:
44 m
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Lea an 14. Stelle von vorn und an 5. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 13 Kinder, dann Lea, dahinter 4 Kinder.
2. 13 + 1 + 4 = 18
Ergebnis:
18 Kinder
●30
Tom kauft ein Buch für 6 €. Danach bekommt Tom 5 € geschenkt und hat jetzt 10 €. Wie viel Geld hatte Tom am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 10 € − 5 € = 5 €
2. Dann den Kauf: 5 € + 6 € = 11 €
Ergebnis:
11 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 37 Tore geschossen. Zum Finale kamen 247 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Mia ist um 6:51 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Mia auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
Ergebnis:
7 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Ben hat 66 Bücher. Noah hat 8 Bücher mehr als Ben. Wie viele Bücher hat Noah?
Lösung zeigen
Ergebnis:
74 Bücher
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Lea braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 24 Minuten für den Weg. Wann muss Lea spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
15:37 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 6 Fahrzeuge mit 17 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
5 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,80 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 8 Kästen liegen je 9 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
72 Murmeln
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Tim hat 57 Murmeln, Aylin hat 31 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
88 Murmeln

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

132 €, die Filmdauer brauche ich nicht
132 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
10:50 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht
7 Minuten
16 Minuten
los um 7:20 Uhr, an um 7:49 Uhr
36 Sticker
11 Murmeln
150 Murmeln
23 €
15:23 Uhr
30 Karten
4 Hühner, 2 Kaninchen
4 Sechsertische
5 Kaninchen
einzeln
die Packung
Nein
27 Murmeln
24 Sticker
32 Sticker
65 Murmeln
129 Karten
345 Karten
112 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
nicht lösbar
den um 7:15 Uhr
44 m
18 Kinder
11 €
Die Tore im Finale fehlen
7 Minuten
74 Bücher
15:37 Uhr
5 Dreiräder
0,80 €
72 Murmeln
88 Murmeln
10:00 Uhr
700 cm

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:30 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 90 min = 1 h 30 min
2. 8:30 + 1:30 = 10:00 Uhr
Ergebnis:
10:00 Uhr
●40
Rechne um: 7 m in cm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 100 cm
2. 7 · 100 = 700 cm
Ergebnis:
700 cm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 29 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 95 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 95 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Ergebnis:

Der Beginn des Films fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 22 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 95 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 22 Kinder und 6 € je Karte.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 22 Kinder und 6 € je Karte.
2. 22 · 6 € = 132 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
132 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●2
22 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 13 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 22 Kinder und 6 €.
2. 22 · 6 € = 132 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
132 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
★3
Die 5b fährt mit 30 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 110 Minuten. Der Film beginnt um 9:00 Uhr. Wann ist er zu Ende, und welche Angaben brauchst du dafür nicht?
Lösung zeigen
1. 110 Minuten sind 1 Stunde und 50 Minuten.
2. 9:00 Uhr plus 110 Minuten: 10:50 Uhr
3. Nicht gebraucht: Anzahl der Kinder und Preis.
Ergebnis:
10:50 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Can ist um 6:51 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Can auf den nächsten Bus X34?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 7:07 Uhr.
Von 6:51 bis 7:07 Uhr sind es 16 Minuten.

Der nächste fährt um 7:07 Uhr.
Von 6:51 bis 7:07 Uhr sind es 16 Minuten.

Ergebnis:

16 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Hanna ist um 6:59 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Hanna auf den nächsten Bus M29?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 7:06 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:06 Uhr.
2. Von 6:59 bis 7:06 Uhr sind es 7 Minuten.
Ergebnis:
7 Minuten
●5
Elias ist um 6:55 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Elias auf den nächsten Bus M29?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:11 Uhr.
2. Von 6:55 bis 7:11 Uhr sind es 16 Minuten.
Ergebnis:
16 Minuten
★6
Hanna braucht 5 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus M29 um 7:25 Uhr nehmen. Wann muss Hanna spätestens los, und wann ist Hanna an der Schule?
Lösung zeigen
1. Los: 5 Minuten vor 7:25 Uhr, also 7:20 Uhr.
2. Ankunft laut Fahrplan: 7:49 Uhr.
Ergebnis:
los um 7:20 Uhr, an um 7:49 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Ben hat 64 Bücher. Mia hat 19 Bücher weniger als Ben. Wie viele Bücher hat Mia?

Schritt für Schritt

Mia hat weniger: der Streifen von Mia ist kürzer
64 − 19 = 45

Mia hat weniger: der Streifen von Mia ist kürzer
64 − 19 = 45

Ergebnis:

45 Bücher

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Jonas hat 60 Sticker. Noah hat 24 Sticker weniger als Jonas. Wie viele Sticker hat Noah?
So fängst du an:
Noah hat weniger: der Streifen von Noah ist kürzer
Lösung zeigen
1. Noah hat weniger: der Streifen von Noah ist kürzer
2. 60 − 24 = 36
Ergebnis:
36 Sticker
●8
Ela hat 41 Murmeln. Noah hat 30 Murmeln weniger als Ela. Wie viele Murmeln hat Noah?
Lösung zeigen
1. Noah hat weniger: der Streifen von Noah ist kürzer
2. 41 − 30 = 11
Ergebnis:
11 Murmeln
★9
Noah hat 828 Murmeln, Jonas hat 978 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Jonas mehr?
Lösung zeigen
1. Der Unterschied ist der Rest zwischen den Streifen
2. 978 − 828 = 150
Ergebnis:
150 Murmeln

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Sofia kauft ein Buch für 17 €. Danach bekommt Sofia 4 € geschenkt und hat jetzt 26 €. Wie viel Geld hatte Sofia am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 26 € − 4 € = 22 €
Dann den Kauf: 22 € + 17 € = 39 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 26 € − 4 € = 22 €
Dann den Kauf: 22 € + 17 € = 39 €

Ergebnis:

39 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Noah kauft ein Buch für 16 €. Danach bekommt Noah 9 € geschenkt und hat jetzt 16 €. Wie viel Geld hatte Noah am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 16 € − 9 € = 7 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 16 € − 9 € = 7 €
2. Dann den Kauf: 7 € + 16 € = 23 €
Ergebnis:
23 €
●11
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Tom braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 29 Minuten für den Weg. Wann muss Tom spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 15:52 Uhr.
2. Noch 29 Minuten früher: 15:23 Uhr.
Ergebnis:
15:23 Uhr
★12
Aylin verschenkt 5 Sammelkarten. Dann verdoppelt sich die Sammlung durch ein Tauschspiel, und zuletzt kauft Aylin noch 6 Karten dazu. Jetzt sind es 56. Wie viele Karten waren es am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts: 56 − 6 = 50
2. Verdoppeln rückgängig: 50 : 2 = 25
3. Verschenken rückgängig: 25 + 5 = 30
Ergebnis:
30 Karten

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 8 Tische mit 38 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
5 Vierertische und 3 Sechsertische: 5 · 4 + 3 · 6 = 38

Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
5 Vierertische und 3 Sechsertische: 5 · 4 + 3 · 6 = 38

Ergebnis:

3 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof zählt Elias 6 Tiere und 16 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 4 Hühner und 2 Kaninchen: 4 · 2 + 2 · 4 = 16
Ergebnis:
4 Hühner, 2 Kaninchen
●14
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 8 Tische mit 40 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
2. Das passt genau.
3. 4 Vierertische und 4 Sechsertische: 4 · 4 + 4 · 6 = 40
Ergebnis:
4 Sechsertische
★15
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 15 Tiere mit 40 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 8 Hühner und 7 Kaninchen ergeben 44 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 10 Hühner und 5 Kaninchen: 10 · 2 + 5 · 4 = 40
Ergebnis:
5 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 4 Riegeln kostet 5,70 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Riegel braucht?

Schritt für Schritt

4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
Packung: 5,70 €
Die Packung ist günstiger.

4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
Packung: 5,70 €
Die Packung ist günstiger.

Ergebnis:

die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Bleistift kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 6 Bleistiften kostet 7,50 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bleistifte braucht?
So fängst du an:
6 einzeln: 6 · 1,20 € = 7,20 €
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 1,20 € = 7,20 €
2. Packung: 7,50 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
●17
Eine Saftflasche kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 11,70 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 1,20 € = 12,00 €
2. Packung: 11,70 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Eine Fahrt kostet 3,00 €. Eine Monatskarte kostet 58,00 €. Ben fährt im Monat 19-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 19 · 3,00 € = 57,00 €
2. Monatskarte: 58,00 €
3. Einzeln ist günstiger: Die Karte lohnt sich nicht.
Ergebnis:
Nein

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 4 Kästen liegen je 7 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?

Schritt für Schritt

4 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
4 · 7 = 28

4 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
4 · 7 = 28

Ergebnis:

28 Murmeln

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 3 Kästen liegen je 9 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
So fängst du an:
3 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 3 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
2. 3 · 9 = 27
Ergebnis:
27 Murmeln
●20
In 4 Kästen liegen je 6 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 4 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
2. 4 · 6 = 24
Ergebnis:
24 Sticker
★21
320 Sticker werden gleichmäßig auf 10 Kästen verteilt. Wie viele Sticker kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 320, 10 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 320 : 10 = 32
Ergebnis:
32 Sticker

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Lina hat 64 Sticker, Aylin hat 66 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
64 + 66 = 130

Zwei Teile, gesucht das Ganze
64 + 66 = 130

Ergebnis:

130 Sticker

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Tim hat 36 Murmeln, Mia hat 29 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 36 + 29 = 65
Ergebnis:
65 Murmeln
●23
Tim hat 59 Karten, Ela hat 70 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 59 + 70 = 129
Ergebnis:
129 Karten
★24
Jonas und Mia haben zusammen 597 Karten. Jonas hat 252 Karten. Wie viele Karten hat Mia?
Lösung zeigen
1. Ganzes 597, ein Teil 252, gesucht der andere Teil
2. 597 − 252 = 345
Ergebnis:
345 Karten

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
28 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 12 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 28 Kinder und 4 €.
2. 28 · 4 € = 112 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
112 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
●26
Auf einem Schiff sind 40 Schafe und 16 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?
Lösung zeigen
1. Die Angaben handeln von Tieren.
2. Über den Kapitän steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Der Unterricht beginnt um 7:43 Uhr. Welchen Bus M29 muss Jonas spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:43 Uhr: 7:21, 7:31, 7:41 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:41 Uhr an.
3. Er fährt um 7:15 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:15 Uhr
●28
Entlang eines Weges stehen 12 Zaunpfähle im Abstand von 4 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 12 Zaunpfähle haben 11 Abstände dazwischen.
2. 11 · 4 m = 44 m
Ergebnis:
44 m
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Lea an 14. Stelle von vorn und an 5. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 13 Kinder, dann Lea, dahinter 4 Kinder.
2. 13 + 1 + 4 = 18
Ergebnis:
18 Kinder
●30
Tom kauft ein Buch für 6 €. Danach bekommt Tom 5 € geschenkt und hat jetzt 10 €. Wie viel Geld hatte Tom am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 10 € − 5 € = 5 €
2. Dann den Kauf: 5 € + 6 € = 11 €
Ergebnis:
11 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 37 Tore geschossen. Zum Finale kamen 247 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Mia ist um 6:51 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Mia auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
Ergebnis:
7 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Ben hat 66 Bücher. Noah hat 8 Bücher mehr als Ben. Wie viele Bücher hat Noah?
Lösung zeigen
Ergebnis:
74 Bücher
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Lea braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 24 Minuten für den Weg. Wann muss Lea spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
15:37 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 6 Fahrzeuge mit 17 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
5 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,80 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 8 Kästen liegen je 9 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
72 Murmeln
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Tim hat 57 Murmeln, Aylin hat 31 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
88 Murmeln

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

132 €, die Filmdauer brauche ich nicht
132 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
10:50 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht
7 Minuten
16 Minuten
los um 7:20 Uhr, an um 7:49 Uhr
36 Sticker
11 Murmeln
150 Murmeln
23 €
15:23 Uhr
30 Karten
4 Hühner, 2 Kaninchen
4 Sechsertische
5 Kaninchen
einzeln
die Packung
Nein
27 Murmeln
24 Sticker
32 Sticker
65 Murmeln
129 Karten
345 Karten
112 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
nicht lösbar
den um 7:15 Uhr
44 m
18 Kinder
11 €
Die Tore im Finale fehlen
7 Minuten
74 Bücher
15:37 Uhr
5 Dreiräder
0,80 €
72 Murmeln
88 Murmeln
10:00 Uhr
700 cm