Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:45 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 8:45 + 1:00 = 9:45 Uhr
Ergebnis:
9:45 Uhr
●40
Rechne um: 2 h in min.
Lösung zeigen
1. 1 h = 60 min
2. 2 · 60 = 120 min
Ergebnis:
120 min

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 32 Tore geschossen. Zum Finale kamen 370 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 6 Spiele.
15 − 6 = 9
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Gebraucht: 6 Spiele.
15 − 6 = 9
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Ergebnis:

9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 38 Tore geschossen. Zum Finale kamen 383 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 27 Tore geschossen. Zum Finale kamen 169 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 27 Tore geschossen. Zum Finale kamen 308 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 12 Spiele.
2. 15 − 12 = 3
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Ben ist um 6:47 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Ben auf den nächsten Bus M29?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 6:55 Uhr.
Von 6:47 bis 6:55 Uhr sind es 8 Minuten.

Der nächste fährt um 6:55 Uhr.
Von 6:47 bis 6:55 Uhr sind es 8 Minuten.

Ergebnis:

8 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
So fängst du an:
Zum Beispiel: ab 6:50 Uhr, an 7:18 Uhr.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:50 Uhr, an 7:18 Uhr.
2. Von 6:50 bis 7:18 Uhr sind es 28 Minuten.
Ergebnis:
28 Minuten
●5
Tom ist um 6:54 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Tom auf den nächsten Bus 100?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:03 Uhr.
2. Von 6:54 bis 7:03 Uhr sind es 9 Minuten.
Ergebnis:
9 Minuten
★6
Der Unterricht beginnt um 8:27 Uhr. Welchen Bus 248 muss Lea spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 8:27 Uhr: 7:10, 7:30, 7:50, 8:10 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 8:10 Uhr an.
3. Er fährt um 7:43 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:43 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Jonas hat 43 Bücher. Ela hat 11 Bücher mehr als Jonas. Wie viele Bücher hat Ela?

Schritt für Schritt

Ela hat mehr: der Streifen von Ela ist länger
43 + 11 = 54

Ela hat mehr: der Streifen von Ela ist länger
43 + 11 = 54

Ergebnis:

54 Bücher

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Tim hat 72 Bücher. Lina hat 15 Bücher mehr als Tim. Wie viele Bücher hat Lina?
So fängst du an:
Lina hat mehr: der Streifen von Lina ist länger
Lösung zeigen
1. Lina hat mehr: der Streifen von Lina ist länger
2. 72 + 15 = 87
Ergebnis:
87 Bücher
●8
Ela hat 82 Karten. Lina hat 18 Karten mehr als Ela. Wie viele Karten hat Lina?
Lösung zeigen
1. Lina hat mehr: der Streifen von Lina ist länger
2. 82 + 18 = 100
Ergebnis:
100 Karten
★9
Ela hat 790 Bücher, Lina hat 653 Bücher. Wie viele Bücher hat Ela mehr?
Lösung zeigen
1. Der Unterschied ist der Rest zwischen den Streifen
2. 790 − 653 = 137
Ergebnis:
137 Bücher

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Mia braucht 11 Minuten zum Umziehen und davor 24 Minuten für den Weg. Wann muss Mia spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 11 Minuten früher ist 15:19 Uhr.
Noch 24 Minuten früher: 14:55 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 11 Minuten früher ist 15:19 Uhr.
Noch 24 Minuten früher: 14:55 Uhr.

Ergebnis:

14:55 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Sofia kauft ein Buch für 17 €. Danach bekommt Sofia 8 € geschenkt und hat jetzt 28 €. Wie viel Geld hatte Sofia am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 28 € − 8 € = 20 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 28 € − 8 € = 20 €
2. Dann den Kauf: 20 € + 17 € = 37 €
Ergebnis:
37 €
●11
Hanna kauft ein Buch für 15 €. Danach bekommt Hanna 11 € geschenkt und hat jetzt 27 €. Wie viel Geld hatte Hanna am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 27 € − 11 € = 16 €
2. Dann den Kauf: 16 € + 15 € = 31 €
Ergebnis:
31 €
★12
Milan kauft ein Buch für 15 €. Danach bekommt Milan 8 € geschenkt und hat jetzt 22 €. Wie viel Geld hatte Milan am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 22 € − 8 € = 14 €
2. Dann den Kauf: 14 € + 15 € = 29 €
Ergebnis:
29 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 5 Tische mit 22 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
4 Vierertische und 1 Sechsertisch: 4 · 4 + 1 · 6 = 22

Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
4 Vierertische und 1 Sechsertisch: 4 · 4 + 1 · 6 = 22

Ergebnis:

1 Sechsertisch

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 9 Tische mit 40 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 7 Vierertische und 2 Sechsertische: 7 · 4 + 2 · 6 = 40
Ergebnis:
2 Sechsertische
●14
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 5 Tiere mit 14 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Hühner und 2 Kaninchen ergeben 14 Beine.
2. Das passt genau.
3. 3 Hühner und 2 Kaninchen: 3 · 2 + 2 · 4 = 14
Ergebnis:
2 Kaninchen
★15
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 11 Tiere mit 34 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 6 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 32 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 5 Hühner und 6 Kaninchen: 5 · 2 + 6 · 4 = 34
Ergebnis:
6 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €

Ergebnis:

0,80 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
0,67 €
●17
Ein Tennisball kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 6 Bällen kostet 6,60 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bälle braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 1,20 € = 7,20 €
2. Packung: 6,60 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
2. Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,33 €

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 6 Kästen liegen je 7 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?

Schritt für Schritt

6 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
6 · 7 = 42

6 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
6 · 7 = 42

Ergebnis:

42 Murmeln

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 5 Kästen liegen je 6 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
So fängst du an:
5 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 5 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
2. 5 · 6 = 30
Ergebnis:
30 Sticker
●20
In 3 Kästen liegen je 9 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 3 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
2. 3 · 9 = 27
Ergebnis:
27 Sticker
★21
196 Bücher werden gleichmäßig auf 7 Kästen verteilt. Wie viele Bücher kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 196, 7 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 196 : 7 = 28
Ergebnis:
28 Bücher

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Noah hat 55 Karten, Mia hat 64 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
55 + 64 = 119

Zwei Teile, gesucht das Ganze
55 + 64 = 119

Ergebnis:

119 Karten

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Tim hat 57 Karten, Aylin hat 83 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 57 + 83 = 140
Ergebnis:
140 Karten
●23
Ben hat 41 Sticker, Noah hat 64 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 41 + 64 = 105
Ergebnis:
105 Sticker
★24
Ben und Tim haben zusammen 542 Karten. Ben hat 172 Karten. Wie viele Karten hat Tim?
Lösung zeigen
1. Ganzes 542, ein Teil 172, gesucht der andere Teil
2. 542 − 172 = 370
Ergebnis:
370 Karten

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 35 Tore geschossen. Zum Finale kamen 360 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 11 Spiele.
2. 15 − 11 = 4
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●26
Ein Regal hat 7 Böden mit je 9 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viele Seiten hat das dickste Buch? B: Wie viele Bücher stehen im Regal? C: Wie viel kostet ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 7 · 9 = 63.
3. Richtig ist B.
Ergebnis:
B, 63 Bücher
●27
Eine Allee ist 20 m lang. Alle 4 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 20 : 4 = 5
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 5 + 1 = 6
Ergebnis:
6 Bäume
●28
In der Schlange vor der Mensa steht Sofia an 11. Stelle von vorn und an 9. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 10 Kinder, dann Sofia, dahinter 8 Kinder.
2. 10 + 1 + 8 = 19
Ergebnis:
19 Kinder
●29
Zeynep kauft ein Buch für 12 €. Danach bekommt Zeynep 4 € geschenkt und hat jetzt 7 €. Wie viel Geld hatte Zeynep am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 7 € − 4 € = 3 €
2. Dann den Kauf: 3 € + 12 € = 15 €
Ergebnis:
15 €
●30
Im Hof der Kita zählt Aylin 8 Fahrzeuge und 20 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
2. Das passt genau.
3. 4 Fahrräder und 4 Dreiräder: 4 · 2 + 4 · 3 = 20
Ergebnis:
4 Fahrräder, 4 Dreiräder

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die 5b fährt mit 29 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 120 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 7:55 Uhr. Welchen Bus 248 muss Elias spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 7:20 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Jonas hat 58 Karten. Tim hat 8 Karten weniger als Jonas. Wie viele Karten hat Tim?
Lösung zeigen
Ergebnis:
50 Karten
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Paul braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 29 Minuten für den Weg. Wann muss Paul spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
16:26 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 10 Fahrzeuge mit 23 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
3 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,00 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 5 Kästen liegen je 4 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
20 Murmeln
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Aylin hat 36 Sticker, Ben hat 90 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
126 Sticker

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Die Tore im Finale fehlen
Die Tore im Finale fehlen
3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
28 Minuten
9 Minuten
den um 7:43 Uhr
87 Bücher
100 Karten
137 Bücher
37 €
31 €
29 €
2 Sechsertische
2 Kaninchen
6 Kaninchen
0,67 €
die Packung
1,33 €
30 Sticker
27 Sticker
28 Bücher
140 Karten
105 Sticker
370 Karten
4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
B, 63 Bücher
6 Bäume
19 Kinder
15 €
4 Fahrräder, 4 Dreiräder
Der Beginn des Films fehlt
den um 7:20 Uhr
50 Karten
16:26 Uhr
3 Dreiräder
1,00 €
20 Murmeln
126 Sticker
9:45 Uhr
120 min

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:45 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 8:45 + 1:00 = 9:45 Uhr
Ergebnis:
9:45 Uhr
●40
Rechne um: 2 h in min.
Lösung zeigen
1. 1 h = 60 min
2. 2 · 60 = 120 min
Ergebnis:
120 min

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 32 Tore geschossen. Zum Finale kamen 370 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 6 Spiele.
15 − 6 = 9
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Gebraucht: 6 Spiele.
15 − 6 = 9
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Ergebnis:

9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 38 Tore geschossen. Zum Finale kamen 383 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 27 Tore geschossen. Zum Finale kamen 169 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 27 Tore geschossen. Zum Finale kamen 308 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 12 Spiele.
2. 15 − 12 = 3
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Ben ist um 6:47 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Ben auf den nächsten Bus M29?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 6:55 Uhr.
Von 6:47 bis 6:55 Uhr sind es 8 Minuten.

Der nächste fährt um 6:55 Uhr.
Von 6:47 bis 6:55 Uhr sind es 8 Minuten.

Ergebnis:

8 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
So fängst du an:
Zum Beispiel: ab 6:50 Uhr, an 7:18 Uhr.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:50 Uhr, an 7:18 Uhr.
2. Von 6:50 bis 7:18 Uhr sind es 28 Minuten.
Ergebnis:
28 Minuten
●5
Tom ist um 6:54 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Tom auf den nächsten Bus 100?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:03 Uhr.
2. Von 6:54 bis 7:03 Uhr sind es 9 Minuten.
Ergebnis:
9 Minuten
★6
Der Unterricht beginnt um 8:27 Uhr. Welchen Bus 248 muss Lea spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 8:27 Uhr: 7:10, 7:30, 7:50, 8:10 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 8:10 Uhr an.
3. Er fährt um 7:43 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:43 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Jonas hat 43 Bücher. Ela hat 11 Bücher mehr als Jonas. Wie viele Bücher hat Ela?

Schritt für Schritt

Ela hat mehr: der Streifen von Ela ist länger
43 + 11 = 54

Ela hat mehr: der Streifen von Ela ist länger
43 + 11 = 54

Ergebnis:

54 Bücher

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Tim hat 72 Bücher. Lina hat 15 Bücher mehr als Tim. Wie viele Bücher hat Lina?
So fängst du an:
Lina hat mehr: der Streifen von Lina ist länger
Lösung zeigen
1. Lina hat mehr: der Streifen von Lina ist länger
2. 72 + 15 = 87
Ergebnis:
87 Bücher
●8
Ela hat 82 Karten. Lina hat 18 Karten mehr als Ela. Wie viele Karten hat Lina?
Lösung zeigen
1. Lina hat mehr: der Streifen von Lina ist länger
2. 82 + 18 = 100
Ergebnis:
100 Karten
★9
Ela hat 790 Bücher, Lina hat 653 Bücher. Wie viele Bücher hat Ela mehr?
Lösung zeigen
1. Der Unterschied ist der Rest zwischen den Streifen
2. 790 − 653 = 137
Ergebnis:
137 Bücher

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Mia braucht 11 Minuten zum Umziehen und davor 24 Minuten für den Weg. Wann muss Mia spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 11 Minuten früher ist 15:19 Uhr.
Noch 24 Minuten früher: 14:55 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 11 Minuten früher ist 15:19 Uhr.
Noch 24 Minuten früher: 14:55 Uhr.

Ergebnis:

14:55 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Sofia kauft ein Buch für 17 €. Danach bekommt Sofia 8 € geschenkt und hat jetzt 28 €. Wie viel Geld hatte Sofia am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 28 € − 8 € = 20 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 28 € − 8 € = 20 €
2. Dann den Kauf: 20 € + 17 € = 37 €
Ergebnis:
37 €
●11
Hanna kauft ein Buch für 15 €. Danach bekommt Hanna 11 € geschenkt und hat jetzt 27 €. Wie viel Geld hatte Hanna am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 27 € − 11 € = 16 €
2. Dann den Kauf: 16 € + 15 € = 31 €
Ergebnis:
31 €
★12
Milan kauft ein Buch für 15 €. Danach bekommt Milan 8 € geschenkt und hat jetzt 22 €. Wie viel Geld hatte Milan am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 22 € − 8 € = 14 €
2. Dann den Kauf: 14 € + 15 € = 29 €
Ergebnis:
29 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 5 Tische mit 22 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
4 Vierertische und 1 Sechsertisch: 4 · 4 + 1 · 6 = 22

Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
4 Vierertische und 1 Sechsertisch: 4 · 4 + 1 · 6 = 22

Ergebnis:

1 Sechsertisch

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 9 Tische mit 40 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 7 Vierertische und 2 Sechsertische: 7 · 4 + 2 · 6 = 40
Ergebnis:
2 Sechsertische
●14
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 5 Tiere mit 14 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Hühner und 2 Kaninchen ergeben 14 Beine.
2. Das passt genau.
3. 3 Hühner und 2 Kaninchen: 3 · 2 + 2 · 4 = 14
Ergebnis:
2 Kaninchen
★15
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 11 Tiere mit 34 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 6 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 32 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 5 Hühner und 6 Kaninchen: 5 · 2 + 6 · 4 = 34
Ergebnis:
6 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €

Ergebnis:

0,80 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
0,67 €
●17
Ein Tennisball kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 6 Bällen kostet 6,60 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bälle braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 1,20 € = 7,20 €
2. Packung: 6,60 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
2. Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,33 €

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 6 Kästen liegen je 7 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?

Schritt für Schritt

6 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
6 · 7 = 42

6 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
6 · 7 = 42

Ergebnis:

42 Murmeln

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 5 Kästen liegen je 6 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
So fängst du an:
5 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 5 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
2. 5 · 6 = 30
Ergebnis:
30 Sticker
●20
In 3 Kästen liegen je 9 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 3 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
2. 3 · 9 = 27
Ergebnis:
27 Sticker
★21
196 Bücher werden gleichmäßig auf 7 Kästen verteilt. Wie viele Bücher kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 196, 7 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 196 : 7 = 28
Ergebnis:
28 Bücher

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Noah hat 55 Karten, Mia hat 64 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
55 + 64 = 119

Zwei Teile, gesucht das Ganze
55 + 64 = 119

Ergebnis:

119 Karten

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Tim hat 57 Karten, Aylin hat 83 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 57 + 83 = 140
Ergebnis:
140 Karten
●23
Ben hat 41 Sticker, Noah hat 64 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 41 + 64 = 105
Ergebnis:
105 Sticker
★24
Ben und Tim haben zusammen 542 Karten. Ben hat 172 Karten. Wie viele Karten hat Tim?
Lösung zeigen
1. Ganzes 542, ein Teil 172, gesucht der andere Teil
2. 542 − 172 = 370
Ergebnis:
370 Karten

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 35 Tore geschossen. Zum Finale kamen 360 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 11 Spiele.
2. 15 − 11 = 4
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●26
Ein Regal hat 7 Böden mit je 9 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viele Seiten hat das dickste Buch? B: Wie viele Bücher stehen im Regal? C: Wie viel kostet ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 7 · 9 = 63.
3. Richtig ist B.
Ergebnis:
B, 63 Bücher
●27
Eine Allee ist 20 m lang. Alle 4 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 20 : 4 = 5
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 5 + 1 = 6
Ergebnis:
6 Bäume
●28
In der Schlange vor der Mensa steht Sofia an 11. Stelle von vorn und an 9. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 10 Kinder, dann Sofia, dahinter 8 Kinder.
2. 10 + 1 + 8 = 19
Ergebnis:
19 Kinder
●29
Zeynep kauft ein Buch für 12 €. Danach bekommt Zeynep 4 € geschenkt und hat jetzt 7 €. Wie viel Geld hatte Zeynep am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 7 € − 4 € = 3 €
2. Dann den Kauf: 3 € + 12 € = 15 €
Ergebnis:
15 €
●30
Im Hof der Kita zählt Aylin 8 Fahrzeuge und 20 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
2. Das passt genau.
3. 4 Fahrräder und 4 Dreiräder: 4 · 2 + 4 · 3 = 20
Ergebnis:
4 Fahrräder, 4 Dreiräder

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die 5b fährt mit 29 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 120 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 7:55 Uhr. Welchen Bus 248 muss Elias spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 7:20 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Jonas hat 58 Karten. Tim hat 8 Karten weniger als Jonas. Wie viele Karten hat Tim?
Lösung zeigen
Ergebnis:
50 Karten
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Paul braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 29 Minuten für den Weg. Wann muss Paul spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
16:26 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 10 Fahrzeuge mit 23 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
3 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,00 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 5 Kästen liegen je 4 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
20 Murmeln
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Aylin hat 36 Sticker, Ben hat 90 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
126 Sticker

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Die Tore im Finale fehlen
Die Tore im Finale fehlen
3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
28 Minuten
9 Minuten
den um 7:43 Uhr
87 Bücher
100 Karten
137 Bücher
37 €
31 €
29 €
2 Sechsertische
2 Kaninchen
6 Kaninchen
0,67 €
die Packung
1,33 €
30 Sticker
27 Sticker
28 Bücher
140 Karten
105 Sticker
370 Karten
4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
B, 63 Bücher
6 Bäume
19 Kinder
15 €
4 Fahrräder, 4 Dreiräder
Der Beginn des Films fehlt
den um 7:20 Uhr
50 Karten
16:26 Uhr
3 Dreiräder
1,00 €
20 Murmeln
126 Sticker
9:45 Uhr
120 min