Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:00 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 45 min = 0 h 45 min
2. 8:00 + 0:45 = 8:45 Uhr
Ergebnis:
8:45 Uhr
●40
Rechne um: 15 h in min.
Lösung zeigen
1. 1 h = 60 min
2. 15 · 60 = 900 min
Ergebnis:
900 min

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 110 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 110 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 110 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Ergebnis:

Der Beginn des Films fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
28 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 16 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 10 Spiele gemacht und 14 Tore geschossen. Zum Finale kamen 415 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 32 Tore geschossen. Zum Finale kamen 300 Zuschauer. Wie viele Karten zu 3 € wurden für das Finale verkauft, wenn alle Zuschauer eine Karte hatten? Wie viel Geld kam zusammen?
Lösung zeigen
1. Karten: 300, so viele wie Zuschauer.
2. 300 · 3 € = 900 €
3. Nicht gebraucht: Spiele und Tore.
Ergebnis:
300 Karten, 900 €

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Noah ist um 6:41 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Noah auf den nächsten Bus X34?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 6:59 Uhr.
Von 6:41 bis 6:59 Uhr sind es 18 Minuten.

Der nächste fährt um 6:59 Uhr.
Von 6:41 bis 6:59 Uhr sind es 18 Minuten.

Ergebnis:

18 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Der Unterricht beginnt um 7:53 Uhr. Welchen Bus X34 muss Ben spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
So fängst du an:
Ankunft vor 7:53 Uhr: 7:10, 7:25, 7:40 Uhr.
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:53 Uhr: 7:10, 7:25, 7:40 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:40 Uhr an.
3. Er fährt um 7:19 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:19 Uhr
●5
Der Unterricht beginnt um 8:15 Uhr. Welchen Bus M29 muss Can spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 8:15 Uhr: 7:06, 7:26, 7:46, 8:06 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 8:06 Uhr an.
3. Er fährt um 7:46 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:46 Uhr
★6
Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:43 Uhr, an 6:57 Uhr.
2. Von 6:43 bis 6:57 Uhr sind es 14 Minuten.
Ergebnis:
14 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Lina hat 46 Karten. Tim hat 21 Karten mehr als Lina. Wie viele Karten hat Tim?

Schritt für Schritt

Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
46 + 21 = 67

Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
46 + 21 = 67

Ergebnis:

67 Karten

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Jonas hat 59 Murmeln. Ben hat 8 Murmeln mehr als Jonas. Wie viele Murmeln hat Ben?
So fängst du an:
Ben hat mehr: der Streifen von Ben ist länger
Lösung zeigen
1. Ben hat mehr: der Streifen von Ben ist länger
2. 59 + 8 = 67
Ergebnis:
67 Murmeln
●8
Ben hat 66 Murmeln. Tim hat 28 Murmeln weniger als Ben. Wie viele Murmeln hat Tim?
Lösung zeigen
1. Tim hat weniger: der Streifen von Tim ist kürzer
2. 66 − 28 = 38
Ergebnis:
38 Murmeln
★9
Jonas hat 321 Murmeln, Ben hat 169 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Jonas mehr?
Lösung zeigen
1. Der Unterschied ist der Rest zwischen den Streifen
2. 321 − 169 = 152
Ergebnis:
152 Murmeln

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Lea braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 32 Minuten für den Weg. Wann muss Lea spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 16:47 Uhr.
Noch 32 Minuten früher: 16:15 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 16:47 Uhr.
Noch 32 Minuten früher: 16:15 Uhr.

Ergebnis:

16:15 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Ben braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 31 Minuten für den Weg. Wann muss Ben spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 15:16 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 15:16 Uhr.
2. Noch 31 Minuten früher: 14:45 Uhr.
Ergebnis:
14:45 Uhr
●11
Tom kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Tom 6 € geschenkt und hat jetzt 16 €. Wie viel Geld hatte Tom am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 16 € − 6 € = 10 €
2. Dann den Kauf: 10 € + 7 € = 17 €
Ergebnis:
17 €
★12
Zeynep kauft ein Buch für 8 €. Danach bekommt Zeynep 4 € geschenkt und hat jetzt 26 €. Wie viel Geld hatte Zeynep am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 26 € − 4 € = 22 €
2. Dann den Kauf: 22 € + 8 € = 30 €
Ergebnis:
30 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 8 Tische mit 38 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
5 Vierertische und 3 Sechsertische: 5 · 4 + 3 · 6 = 38

Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
5 Vierertische und 3 Sechsertische: 5 · 4 + 3 · 6 = 38

Ergebnis:

3 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 10 Tiere mit 32 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 4 Hühner und 6 Kaninchen: 4 · 2 + 6 · 4 = 32
Ergebnis:
6 Kaninchen
●14
Auf einem Hof zählt Tom 6 Tiere und 22 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 1 Huhn und 5 Kaninchen: 1 · 2 + 5 · 4 = 22
Ergebnis:
1 Huhn, 5 Kaninchen
★15
Auf einem Hof zählt Can 18 Tiere und 52 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 9 Hühner und 9 Kaninchen ergeben 54 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 10 Hühner und 8 Kaninchen: 10 · 2 + 8 · 4 = 52
Ergebnis:
10 Hühner, 8 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Eine Saftflasche kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 4 Flaschen kostet 7,80 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Flaschen braucht?

Schritt für Schritt

4 einzeln: 4 · 1,80 € = 7,20 €
Packung: 7,80 €
Einzeln ist günstiger.

4 einzeln: 4 · 1,80 € = 7,20 €
Packung: 7,80 €
Einzeln ist günstiger.

Ergebnis:

einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €
●17
Eine Saftflasche kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 6 Flaschen kostet 8,00 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 1,50 € = 9,00 €
2. Packung: 8,00 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
0,67 €

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 7 Kästen liegen je 7 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?

Schritt für Schritt

7 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
7 · 7 = 49

7 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
7 · 7 = 49

Ergebnis:

49 Murmeln

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 7 Kästen liegen je 6 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
So fängst du an:
7 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 7 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
2. 7 · 6 = 42
Ergebnis:
42 Murmeln
●20
In 5 Kästen liegen je 8 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 5 gleiche Teile zu je 8, gesucht das Ganze
2. 5 · 8 = 40
Ergebnis:
40 Sticker
★21
310 Karten werden gleichmäßig auf 10 Kästen verteilt. Wie viele Karten kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 310, 10 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 310 : 10 = 31
Ergebnis:
31 Karten

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Jonas hat 32 Karten, Tim hat 52 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
32 + 52 = 84

Zwei Teile, gesucht das Ganze
32 + 52 = 84

Ergebnis:

84 Karten

AchtungRechenart in der Sachaufgabe falsch gewählt

So nicht

10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 16,81 €

So richtig

10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 10 € − 6,81 € = 3,19 €

Stell dir die Situation vor: Kommt etwas dazu, geht etwas weg, wird verteilt?

ÜbenJetzt du

○22
Noah hat 36 Sticker, Aylin hat 67 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 36 + 67 = 103
Ergebnis:
103 Sticker
●23
Lina hat 67 Karten, Ben hat 46 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 67 + 46 = 113
Ergebnis:
113 Karten
★24
Lina und Noah haben zusammen 589 Bücher. Lina hat 311 Bücher. Wie viele Bücher hat Noah?
Lösung zeigen
1. Ganzes 589, ein Teil 311, gesucht der andere Teil
2. 589 − 311 = 278
Ergebnis:
278 Bücher

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 26 Tore geschossen. Zum Finale kamen 235 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
●26
Ein Regal hat 9 Böden mit je 11 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viel kostet ein Buch? B: Wie viele Seiten hat das dickste Buch? C: Wie viele Bücher stehen im Regal?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 9 · 11 = 99.
3. Richtig ist C.
Ergebnis:
C, 99 Bücher
●27
Der Unterricht beginnt um 7:35 Uhr. Welchen Bus X34 muss Zeynep spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:35 Uhr: 7:11, 7:21, 7:31 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:31 Uhr an.
3. Er fährt um 7:09 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:09 Uhr
●28
Entlang eines Weges stehen 10 Zaunpfähle im Abstand von 4 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 10 Zaunpfähle haben 9 Abstände dazwischen.
2. 9 · 4 m = 36 m
Ergebnis:
36 m
●29
Im Kino sitzt Noah auf Platz 4 von links. Zwischen Noah und Milan sitzen 5 Kinder, Milan sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Milan?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 4 ist Noah, dann 5 Plätze dazwischen.
2. 4 + 5 + 1 = 10
Ergebnis:
Platz 10
●30
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Zeynep braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 18 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 16:09 Uhr.
2. Noch 18 Minuten früher: 15:51 Uhr.
Ergebnis:
15:51 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
25 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 14 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
150 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Lea ist um 6:57 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lea auf den nächsten Bus M29?
Lösung zeigen
Ergebnis:
15 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Noah hat 86 Karten. Mia hat 28 Karten mehr als Noah. Wie viele Karten hat Mia?
Lösung zeigen
Ergebnis:
114 Karten
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Elias braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 17 Minuten für den Weg. Wann muss Elias spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
15:48 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 10 Fahrzeuge mit 27 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
7 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,80 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 6 Kästen liegen je 9 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
54 Karten
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Ela hat 84 Karten, Noah hat 25 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
109 Karten

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Der Preis für Erwachsene fehlt
Die Tore im Finale fehlen
300 Karten, 900 €
den um 7:19 Uhr
den um 7:46 Uhr
14 Minuten
67 Murmeln
38 Murmeln
152 Murmeln
14:45 Uhr
17 €
30 €
6 Kaninchen
1 Huhn, 5 Kaninchen
10 Hühner, 8 Kaninchen
1,67 €
die Packung
0,67 €
42 Murmeln
40 Sticker
31 Karten
103 Sticker
113 Karten
278 Bücher
Die Tore im Finale fehlen
C, 99 Bücher
den um 7:09 Uhr
36 m
Platz 10
15:51 Uhr
150 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
15 Minuten
114 Karten
15:48 Uhr
7 Dreiräder
0,80 €
54 Karten
109 Karten
8:45 Uhr
900 min

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:00 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 45 min = 0 h 45 min
2. 8:00 + 0:45 = 8:45 Uhr
Ergebnis:
8:45 Uhr
●40
Rechne um: 15 h in min.
Lösung zeigen
1. 1 h = 60 min
2. 15 · 60 = 900 min
Ergebnis:
900 min

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 110 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 110 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 110 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Ergebnis:

Der Beginn des Films fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
28 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 16 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 10 Spiele gemacht und 14 Tore geschossen. Zum Finale kamen 415 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 32 Tore geschossen. Zum Finale kamen 300 Zuschauer. Wie viele Karten zu 3 € wurden für das Finale verkauft, wenn alle Zuschauer eine Karte hatten? Wie viel Geld kam zusammen?
Lösung zeigen
1. Karten: 300, so viele wie Zuschauer.
2. 300 · 3 € = 900 €
3. Nicht gebraucht: Spiele und Tore.
Ergebnis:
300 Karten, 900 €

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Noah ist um 6:41 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Noah auf den nächsten Bus X34?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 6:59 Uhr.
Von 6:41 bis 6:59 Uhr sind es 18 Minuten.

Der nächste fährt um 6:59 Uhr.
Von 6:41 bis 6:59 Uhr sind es 18 Minuten.

Ergebnis:

18 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Der Unterricht beginnt um 7:53 Uhr. Welchen Bus X34 muss Ben spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
So fängst du an:
Ankunft vor 7:53 Uhr: 7:10, 7:25, 7:40 Uhr.
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:53 Uhr: 7:10, 7:25, 7:40 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:40 Uhr an.
3. Er fährt um 7:19 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:19 Uhr
●5
Der Unterricht beginnt um 8:15 Uhr. Welchen Bus M29 muss Can spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 8:15 Uhr: 7:06, 7:26, 7:46, 8:06 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 8:06 Uhr an.
3. Er fährt um 7:46 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:46 Uhr
★6
Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:43 Uhr, an 6:57 Uhr.
2. Von 6:43 bis 6:57 Uhr sind es 14 Minuten.
Ergebnis:
14 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Lina hat 46 Karten. Tim hat 21 Karten mehr als Lina. Wie viele Karten hat Tim?

Schritt für Schritt

Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
46 + 21 = 67

Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
46 + 21 = 67

Ergebnis:

67 Karten

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Jonas hat 59 Murmeln. Ben hat 8 Murmeln mehr als Jonas. Wie viele Murmeln hat Ben?
So fängst du an:
Ben hat mehr: der Streifen von Ben ist länger
Lösung zeigen
1. Ben hat mehr: der Streifen von Ben ist länger
2. 59 + 8 = 67
Ergebnis:
67 Murmeln
●8
Ben hat 66 Murmeln. Tim hat 28 Murmeln weniger als Ben. Wie viele Murmeln hat Tim?
Lösung zeigen
1. Tim hat weniger: der Streifen von Tim ist kürzer
2. 66 − 28 = 38
Ergebnis:
38 Murmeln
★9
Jonas hat 321 Murmeln, Ben hat 169 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Jonas mehr?
Lösung zeigen
1. Der Unterschied ist der Rest zwischen den Streifen
2. 321 − 169 = 152
Ergebnis:
152 Murmeln

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Lea braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 32 Minuten für den Weg. Wann muss Lea spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 16:47 Uhr.
Noch 32 Minuten früher: 16:15 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 16:47 Uhr.
Noch 32 Minuten früher: 16:15 Uhr.

Ergebnis:

16:15 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Ben braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 31 Minuten für den Weg. Wann muss Ben spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 15:16 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 15:16 Uhr.
2. Noch 31 Minuten früher: 14:45 Uhr.
Ergebnis:
14:45 Uhr
●11
Tom kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Tom 6 € geschenkt und hat jetzt 16 €. Wie viel Geld hatte Tom am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 16 € − 6 € = 10 €
2. Dann den Kauf: 10 € + 7 € = 17 €
Ergebnis:
17 €
★12
Zeynep kauft ein Buch für 8 €. Danach bekommt Zeynep 4 € geschenkt und hat jetzt 26 €. Wie viel Geld hatte Zeynep am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 26 € − 4 € = 22 €
2. Dann den Kauf: 22 € + 8 € = 30 €
Ergebnis:
30 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 8 Tische mit 38 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
5 Vierertische und 3 Sechsertische: 5 · 4 + 3 · 6 = 38

Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
5 Vierertische und 3 Sechsertische: 5 · 4 + 3 · 6 = 38

Ergebnis:

3 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 10 Tiere mit 32 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 4 Hühner und 6 Kaninchen: 4 · 2 + 6 · 4 = 32
Ergebnis:
6 Kaninchen
●14
Auf einem Hof zählt Tom 6 Tiere und 22 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 1 Huhn und 5 Kaninchen: 1 · 2 + 5 · 4 = 22
Ergebnis:
1 Huhn, 5 Kaninchen
★15
Auf einem Hof zählt Can 18 Tiere und 52 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 9 Hühner und 9 Kaninchen ergeben 54 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 10 Hühner und 8 Kaninchen: 10 · 2 + 8 · 4 = 52
Ergebnis:
10 Hühner, 8 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Eine Saftflasche kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 4 Flaschen kostet 7,80 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Flaschen braucht?

Schritt für Schritt

4 einzeln: 4 · 1,80 € = 7,20 €
Packung: 7,80 €
Einzeln ist günstiger.

4 einzeln: 4 · 1,80 € = 7,20 €
Packung: 7,80 €
Einzeln ist günstiger.

Ergebnis:

einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €
●17
Eine Saftflasche kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 6 Flaschen kostet 8,00 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 1,50 € = 9,00 €
2. Packung: 8,00 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
0,67 €

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 7 Kästen liegen je 7 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?

Schritt für Schritt

7 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
7 · 7 = 49

7 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
7 · 7 = 49

Ergebnis:

49 Murmeln

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 7 Kästen liegen je 6 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
So fängst du an:
7 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 7 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
2. 7 · 6 = 42
Ergebnis:
42 Murmeln
●20
In 5 Kästen liegen je 8 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 5 gleiche Teile zu je 8, gesucht das Ganze
2. 5 · 8 = 40
Ergebnis:
40 Sticker
★21
310 Karten werden gleichmäßig auf 10 Kästen verteilt. Wie viele Karten kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 310, 10 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 310 : 10 = 31
Ergebnis:
31 Karten

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Jonas hat 32 Karten, Tim hat 52 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
32 + 52 = 84

Zwei Teile, gesucht das Ganze
32 + 52 = 84

Ergebnis:

84 Karten

AchtungRechenart in der Sachaufgabe falsch gewählt

So nicht

10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 16,81 €

So richtig

10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 10 € − 6,81 € = 3,19 €

Stell dir die Situation vor: Kommt etwas dazu, geht etwas weg, wird verteilt?

ÜbenJetzt du

○22
Noah hat 36 Sticker, Aylin hat 67 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 36 + 67 = 103
Ergebnis:
103 Sticker
●23
Lina hat 67 Karten, Ben hat 46 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 67 + 46 = 113
Ergebnis:
113 Karten
★24
Lina und Noah haben zusammen 589 Bücher. Lina hat 311 Bücher. Wie viele Bücher hat Noah?
Lösung zeigen
1. Ganzes 589, ein Teil 311, gesucht der andere Teil
2. 589 − 311 = 278
Ergebnis:
278 Bücher

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 26 Tore geschossen. Zum Finale kamen 235 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
●26
Ein Regal hat 9 Böden mit je 11 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viel kostet ein Buch? B: Wie viele Seiten hat das dickste Buch? C: Wie viele Bücher stehen im Regal?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 9 · 11 = 99.
3. Richtig ist C.
Ergebnis:
C, 99 Bücher
●27
Der Unterricht beginnt um 7:35 Uhr. Welchen Bus X34 muss Zeynep spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:35 Uhr: 7:11, 7:21, 7:31 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:31 Uhr an.
3. Er fährt um 7:09 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:09 Uhr
●28
Entlang eines Weges stehen 10 Zaunpfähle im Abstand von 4 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 10 Zaunpfähle haben 9 Abstände dazwischen.
2. 9 · 4 m = 36 m
Ergebnis:
36 m
●29
Im Kino sitzt Noah auf Platz 4 von links. Zwischen Noah und Milan sitzen 5 Kinder, Milan sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Milan?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 4 ist Noah, dann 5 Plätze dazwischen.
2. 4 + 5 + 1 = 10
Ergebnis:
Platz 10
●30
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Zeynep braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 18 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 16:09 Uhr.
2. Noch 18 Minuten früher: 15:51 Uhr.
Ergebnis:
15:51 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
25 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 14 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
150 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Lea ist um 6:57 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lea auf den nächsten Bus M29?
Lösung zeigen
Ergebnis:
15 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Noah hat 86 Karten. Mia hat 28 Karten mehr als Noah. Wie viele Karten hat Mia?
Lösung zeigen
Ergebnis:
114 Karten
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Elias braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 17 Minuten für den Weg. Wann muss Elias spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
15:48 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 10 Fahrzeuge mit 27 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
7 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,80 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 6 Kästen liegen je 9 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
54 Karten
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Ela hat 84 Karten, Noah hat 25 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
109 Karten

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

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Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Der Preis für Erwachsene fehlt
Die Tore im Finale fehlen
300 Karten, 900 €
den um 7:19 Uhr
den um 7:46 Uhr
14 Minuten
67 Murmeln
38 Murmeln
152 Murmeln
14:45 Uhr
17 €
30 €
6 Kaninchen
1 Huhn, 5 Kaninchen
10 Hühner, 8 Kaninchen
1,67 €
die Packung
0,67 €
42 Murmeln
40 Sticker
31 Karten
103 Sticker
113 Karten
278 Bücher
Die Tore im Finale fehlen
C, 99 Bücher
den um 7:09 Uhr
36 m
Platz 10
15:51 Uhr
150 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
15 Minuten
114 Karten
15:48 Uhr
7 Dreiräder
0,80 €
54 Karten
109 Karten
8:45 Uhr
900 min