Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:15 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 45 min = 0 h 45 min
2. 8:15 + 0:45 = 9:00 Uhr
Ergebnis:
9:00 Uhr
●40
Rechne um: 4 m in cm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 100 cm
2. 4 · 100 = 400 cm
Ergebnis:
400 cm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 10 Spiele gemacht und 22 Tore geschossen. Zum Finale kamen 305 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.

Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.

Ergebnis:

Die Tore im Finale fehlen

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 26 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 110 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 110 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 15 Tore geschossen. Zum Finale kamen 211 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 7 Spiele.
2. 15 − 7 = 8
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
8 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
★3
29 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 15 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Tom ist um 6:59 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Tom auf den nächsten Bus X34?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 7:03 Uhr.
Von 6:59 bis 7:03 Uhr sind es 4 Minuten.

Der nächste fährt um 7:03 Uhr.
Von 6:59 bis 7:03 Uhr sind es 4 Minuten.

Ergebnis:

4 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
So fängst du an:
Zum Beispiel: ab 6:55 Uhr, an 7:16 Uhr.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:55 Uhr, an 7:16 Uhr.
2. Von 6:55 bis 7:16 Uhr sind es 21 Minuten.
Ergebnis:
21 Minuten
●5
Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:54 Uhr, an 7:17 Uhr.
2. Von 6:54 bis 7:17 Uhr sind es 23 Minuten.
Ergebnis:
23 Minuten
★6
Noah braucht 9 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus 248 um 7:11 Uhr nehmen. Wann muss Noah spätestens los, und wann ist Noah an der Schule?
Lösung zeigen
1. Los: 9 Minuten vor 7:11 Uhr, also 7:02 Uhr.
2. Ankunft laut Fahrplan: 7:38 Uhr.
Ergebnis:
los um 7:02 Uhr, an um 7:38 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Tim hat 88 Bücher. Mia hat 16 Bücher mehr als Tim. Wie viele Bücher hat Mia?

Schritt für Schritt

Mia hat mehr: der Streifen von Mia ist länger
88 + 16 = 104

Mia hat mehr: der Streifen von Mia ist länger
88 + 16 = 104

Ergebnis:

104 Bücher

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Jonas hat 64 Karten. Aylin hat 16 Karten mehr als Jonas. Wie viele Karten hat Aylin?
So fängst du an:
Aylin hat mehr: der Streifen von Aylin ist länger
Lösung zeigen
1. Aylin hat mehr: der Streifen von Aylin ist länger
2. 64 + 16 = 80
Ergebnis:
80 Karten
●8
Mia hat 44 Karten. Aylin hat 8 Karten weniger als Mia. Wie viele Karten hat Aylin?
Lösung zeigen
1. Aylin hat weniger: der Streifen von Aylin ist kürzer
2. 44 − 8 = 36
Ergebnis:
36 Karten
★9
Mia hat 586 Bücher. Jonas hat 190 Bücher weniger als Mia. Wie viele Bücher hat Jonas?
Lösung zeigen
1. Jonas hat weniger: der Streifen von Jonas ist kürzer
2. 586 − 190 = 396
Ergebnis:
396 Bücher

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Aylin braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 21 Minuten für den Weg. Wann muss Aylin spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 16:02 Uhr.
Noch 21 Minuten früher: 15:41 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 16:02 Uhr.
Noch 21 Minuten früher: 15:41 Uhr.

Ergebnis:

15:41 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Milan braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 19 Minuten für den Weg. Wann muss Milan spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 15:21 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 15:21 Uhr.
2. Noch 19 Minuten früher: 15:02 Uhr.
Ergebnis:
15:02 Uhr
●11
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Zeynep braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 31 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 15:20 Uhr.
2. Noch 31 Minuten früher: 14:49 Uhr.
Ergebnis:
14:49 Uhr
★12
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Lea braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 35 Minuten für den Weg. Wann muss Lea spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 16:09 Uhr.
2. Noch 35 Minuten früher: 15:34 Uhr.
Ergebnis:
15:34 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 5 Tiere mit 18 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 3 Hühner und 2 Kaninchen ergeben 14 Beine.
Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
1 Huhn und 4 Kaninchen: 1 · 2 + 4 · 4 = 18

Probieren: 3 Hühner und 2 Kaninchen ergeben 14 Beine.
Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
1 Huhn und 4 Kaninchen: 1 · 2 + 4 · 4 = 18

Ergebnis:

4 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa zählt Hanna 7 Tische und 34 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
2. Das passt genau.
3. 4 Vierertische und 3 Sechsertische: 4 · 4 + 3 · 6 = 34
Ergebnis:
4 Vierertische, 3 Sechsertische
●14
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 9 Tiere mit 30 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 26 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 3 Hühner und 6 Kaninchen: 3 · 2 + 6 · 4 = 30
Ergebnis:
6 Kaninchen
★15
In der Mensa zählt Can 11 Tische und 58 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 6 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 54 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 4 Vierertische und 7 Sechsertische: 4 · 4 + 7 · 6 = 58
Ergebnis:
4 Vierertische, 7 Sechsertische

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Ergebnis:

1,33 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Müsliriegel kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 6 Riegeln kostet 4,40 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Riegel braucht?
So fängst du an:
6 einzeln: 6 · 0,90 € = 5,40 €
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 0,90 € = 5,40 €
2. Packung: 4,40 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
0,67 €
★18
Eine Fahrt kostet 2,40 €. Eine Monatskarte kostet 58,00 €. Aylin fährt im Monat 12-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 12 · 2,40 € = 28,80 €
2. Monatskarte: 58,00 €
3. Einzeln ist günstiger: Die Karte lohnt sich nicht.
Ergebnis:
Nein

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 8 Kästen liegen je 4 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?

Schritt für Schritt

8 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
8 · 4 = 32

8 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
8 · 4 = 32

Ergebnis:

32 Karten

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 8 Kästen liegen je 9 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
So fängst du an:
8 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 8 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
2. 8 · 9 = 72
Ergebnis:
72 Bücher
●20
In 3 Kästen liegen je 9 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 3 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
2. 3 · 9 = 27
Ergebnis:
27 Bücher
★21
286 Karten werden gleichmäßig auf 11 Kästen verteilt. Wie viele Karten kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 286, 11 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 286 : 11 = 26
Ergebnis:
26 Karten

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Tim hat 38 Murmeln, Mia hat 50 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
38 + 50 = 88

Zwei Teile, gesucht das Ganze
38 + 50 = 88

Ergebnis:

88 Murmeln

AchtungStellenwert einer Ziffer verwechselt

So nicht

2500 + 50 = 2505

So richtig

2500 + 50 = 2550

Leg die Zahl in die Stellentafel. Lies ab, an welcher Stelle die Ziffer steht.

ÜbenJetzt du

○22
Jonas hat 26 Bücher, Ben hat 76 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 26 + 76 = 102
Ergebnis:
102 Bücher
●23
Noah hat 42 Karten, Ben hat 50 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 42 + 50 = 92
Ergebnis:
92 Karten
★24
Lina und Mia haben zusammen 686 Karten. Lina hat 375 Karten. Wie viele Karten hat Mia?
Lösung zeigen
1. Ganzes 686, ein Teil 375, gesucht der andere Teil
2. 686 − 375 = 311
Ergebnis:
311 Karten

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 14 Tore geschossen. Zum Finale kamen 231 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 8 Spiele.
2. 15 − 8 = 7
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
7 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●26
Ein Regal hat 9 Böden mit je 16 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viele Seiten hat das dickste Buch? B: Wie viele Bücher stehen im Regal? C: Wie viel kostet ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 9 · 16 = 144.
3. Richtig ist B.
Ergebnis:
B, 144 Bücher
●27
Der Unterricht beginnt um 7:57 Uhr. Welchen Bus 248 muss Noah spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:57 Uhr: 7:11, 7:31, 7:51 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:51 Uhr an.
3. Er fährt um 7:26 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:26 Uhr
●28
An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Hanna sagt: „22 m Zaun mit einem Pfahl alle 2 m braucht 11 Pfähle.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. 22 : 2 = 11 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 12.
Ergebnis:
Nein, 12 Pfähle
●29
Im Kino sitzt Noah auf Platz 6 von links. Zwischen Noah und Hanna sitzen 2 Kinder, Hanna sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Hanna?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 6 ist Noah, dann 2 Plätze dazwischen.
2. 6 + 2 + 1 = 9
Ergebnis:
Platz 9
●30
Noah kauft ein Buch für 8 €. Danach bekommt Noah 10 € geschenkt und hat jetzt 28 €. Wie viel Geld hatte Noah am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 28 € − 10 € = 18 €
2. Dann den Kauf: 18 € + 8 € = 26 €
Ergebnis:
26 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die 5b fährt mit 29 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
261 €, die Filmdauer brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Tom ist um 7:00 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Tom auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
Ergebnis:
3 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Jonas hat 43 Murmeln. Tim hat 16 Murmeln weniger als Jonas. Wie viele Murmeln hat Tim?
Lösung zeigen
Ergebnis:
27 Murmeln
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Zeynep kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Zeynep 4 € geschenkt und hat jetzt 26 €. Wie viel Geld hatte Zeynep am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
29 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
In der Mensa zählt Milan 10 Tische und 58 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1 Vierertisch, 9 Sechsertische
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Eine Saftflasche kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 4 Flaschen kostet 9,70 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
die Packung
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 4 Kästen liegen je 7 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
28 Karten
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Jonas hat 31 Bücher, Ben hat 22 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
53 Bücher

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Der Beginn des Films fehlt
8 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Der Preis für Erwachsene fehlt
21 Minuten
23 Minuten
los um 7:02 Uhr, an um 7:38 Uhr
80 Karten
36 Karten
396 Bücher
15:02 Uhr
14:49 Uhr
15:34 Uhr
4 Vierertische, 3 Sechsertische
6 Kaninchen
4 Vierertische, 7 Sechsertische
die Packung
0,67 €
Nein
72 Bücher
27 Bücher
26 Karten
102 Bücher
92 Karten
311 Karten
7 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
B, 144 Bücher
den um 7:26 Uhr
Nein, 12 Pfähle
Platz 9
26 €
261 €, die Filmdauer brauche ich nicht
3 Minuten
27 Murmeln
29 €
1 Vierertisch, 9 Sechsertische
die Packung
28 Karten
53 Bücher
9:00 Uhr
400 cm

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:15 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 45 min = 0 h 45 min
2. 8:15 + 0:45 = 9:00 Uhr
Ergebnis:
9:00 Uhr
●40
Rechne um: 4 m in cm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 100 cm
2. 4 · 100 = 400 cm
Ergebnis:
400 cm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 10 Spiele gemacht und 22 Tore geschossen. Zum Finale kamen 305 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.

Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.

Ergebnis:

Die Tore im Finale fehlen

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 26 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 110 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 110 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 15 Tore geschossen. Zum Finale kamen 211 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 7 Spiele.
2. 15 − 7 = 8
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
8 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
★3
29 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 15 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Tom ist um 6:59 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Tom auf den nächsten Bus X34?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 7:03 Uhr.
Von 6:59 bis 7:03 Uhr sind es 4 Minuten.

Der nächste fährt um 7:03 Uhr.
Von 6:59 bis 7:03 Uhr sind es 4 Minuten.

Ergebnis:

4 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
So fängst du an:
Zum Beispiel: ab 6:55 Uhr, an 7:16 Uhr.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:55 Uhr, an 7:16 Uhr.
2. Von 6:55 bis 7:16 Uhr sind es 21 Minuten.
Ergebnis:
21 Minuten
●5
Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:54 Uhr, an 7:17 Uhr.
2. Von 6:54 bis 7:17 Uhr sind es 23 Minuten.
Ergebnis:
23 Minuten
★6
Noah braucht 9 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus 248 um 7:11 Uhr nehmen. Wann muss Noah spätestens los, und wann ist Noah an der Schule?
Lösung zeigen
1. Los: 9 Minuten vor 7:11 Uhr, also 7:02 Uhr.
2. Ankunft laut Fahrplan: 7:38 Uhr.
Ergebnis:
los um 7:02 Uhr, an um 7:38 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Tim hat 88 Bücher. Mia hat 16 Bücher mehr als Tim. Wie viele Bücher hat Mia?

Schritt für Schritt

Mia hat mehr: der Streifen von Mia ist länger
88 + 16 = 104

Mia hat mehr: der Streifen von Mia ist länger
88 + 16 = 104

Ergebnis:

104 Bücher

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Jonas hat 64 Karten. Aylin hat 16 Karten mehr als Jonas. Wie viele Karten hat Aylin?
So fängst du an:
Aylin hat mehr: der Streifen von Aylin ist länger
Lösung zeigen
1. Aylin hat mehr: der Streifen von Aylin ist länger
2. 64 + 16 = 80
Ergebnis:
80 Karten
●8
Mia hat 44 Karten. Aylin hat 8 Karten weniger als Mia. Wie viele Karten hat Aylin?
Lösung zeigen
1. Aylin hat weniger: der Streifen von Aylin ist kürzer
2. 44 − 8 = 36
Ergebnis:
36 Karten
★9
Mia hat 586 Bücher. Jonas hat 190 Bücher weniger als Mia. Wie viele Bücher hat Jonas?
Lösung zeigen
1. Jonas hat weniger: der Streifen von Jonas ist kürzer
2. 586 − 190 = 396
Ergebnis:
396 Bücher

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Aylin braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 21 Minuten für den Weg. Wann muss Aylin spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 16:02 Uhr.
Noch 21 Minuten früher: 15:41 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 16:02 Uhr.
Noch 21 Minuten früher: 15:41 Uhr.

Ergebnis:

15:41 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Milan braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 19 Minuten für den Weg. Wann muss Milan spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 15:21 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 15:21 Uhr.
2. Noch 19 Minuten früher: 15:02 Uhr.
Ergebnis:
15:02 Uhr
●11
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Zeynep braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 31 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 15:20 Uhr.
2. Noch 31 Minuten früher: 14:49 Uhr.
Ergebnis:
14:49 Uhr
★12
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Lea braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 35 Minuten für den Weg. Wann muss Lea spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 16:09 Uhr.
2. Noch 35 Minuten früher: 15:34 Uhr.
Ergebnis:
15:34 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 5 Tiere mit 18 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 3 Hühner und 2 Kaninchen ergeben 14 Beine.
Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
1 Huhn und 4 Kaninchen: 1 · 2 + 4 · 4 = 18

Probieren: 3 Hühner und 2 Kaninchen ergeben 14 Beine.
Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
1 Huhn und 4 Kaninchen: 1 · 2 + 4 · 4 = 18

Ergebnis:

4 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa zählt Hanna 7 Tische und 34 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
2. Das passt genau.
3. 4 Vierertische und 3 Sechsertische: 4 · 4 + 3 · 6 = 34
Ergebnis:
4 Vierertische, 3 Sechsertische
●14
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 9 Tiere mit 30 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 26 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 3 Hühner und 6 Kaninchen: 3 · 2 + 6 · 4 = 30
Ergebnis:
6 Kaninchen
★15
In der Mensa zählt Can 11 Tische und 58 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 6 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 54 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 4 Vierertische und 7 Sechsertische: 4 · 4 + 7 · 6 = 58
Ergebnis:
4 Vierertische, 7 Sechsertische

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Ergebnis:

1,33 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Müsliriegel kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 6 Riegeln kostet 4,40 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Riegel braucht?
So fängst du an:
6 einzeln: 6 · 0,90 € = 5,40 €
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 0,90 € = 5,40 €
2. Packung: 4,40 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
0,67 €
★18
Eine Fahrt kostet 2,40 €. Eine Monatskarte kostet 58,00 €. Aylin fährt im Monat 12-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 12 · 2,40 € = 28,80 €
2. Monatskarte: 58,00 €
3. Einzeln ist günstiger: Die Karte lohnt sich nicht.
Ergebnis:
Nein

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 8 Kästen liegen je 4 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?

Schritt für Schritt

8 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
8 · 4 = 32

8 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
8 · 4 = 32

Ergebnis:

32 Karten

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 8 Kästen liegen je 9 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
So fängst du an:
8 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 8 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
2. 8 · 9 = 72
Ergebnis:
72 Bücher
●20
In 3 Kästen liegen je 9 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 3 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
2. 3 · 9 = 27
Ergebnis:
27 Bücher
★21
286 Karten werden gleichmäßig auf 11 Kästen verteilt. Wie viele Karten kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 286, 11 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 286 : 11 = 26
Ergebnis:
26 Karten

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Tim hat 38 Murmeln, Mia hat 50 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
38 + 50 = 88

Zwei Teile, gesucht das Ganze
38 + 50 = 88

Ergebnis:

88 Murmeln

AchtungStellenwert einer Ziffer verwechselt

So nicht

2500 + 50 = 2505

So richtig

2500 + 50 = 2550

Leg die Zahl in die Stellentafel. Lies ab, an welcher Stelle die Ziffer steht.

ÜbenJetzt du

○22
Jonas hat 26 Bücher, Ben hat 76 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 26 + 76 = 102
Ergebnis:
102 Bücher
●23
Noah hat 42 Karten, Ben hat 50 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 42 + 50 = 92
Ergebnis:
92 Karten
★24
Lina und Mia haben zusammen 686 Karten. Lina hat 375 Karten. Wie viele Karten hat Mia?
Lösung zeigen
1. Ganzes 686, ein Teil 375, gesucht der andere Teil
2. 686 − 375 = 311
Ergebnis:
311 Karten

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 14 Tore geschossen. Zum Finale kamen 231 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 8 Spiele.
2. 15 − 8 = 7
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
7 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●26
Ein Regal hat 9 Böden mit je 16 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viele Seiten hat das dickste Buch? B: Wie viele Bücher stehen im Regal? C: Wie viel kostet ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 9 · 16 = 144.
3. Richtig ist B.
Ergebnis:
B, 144 Bücher
●27
Der Unterricht beginnt um 7:57 Uhr. Welchen Bus 248 muss Noah spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:57 Uhr: 7:11, 7:31, 7:51 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:51 Uhr an.
3. Er fährt um 7:26 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:26 Uhr
●28
An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Hanna sagt: „22 m Zaun mit einem Pfahl alle 2 m braucht 11 Pfähle.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. 22 : 2 = 11 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 12.
Ergebnis:
Nein, 12 Pfähle
●29
Im Kino sitzt Noah auf Platz 6 von links. Zwischen Noah und Hanna sitzen 2 Kinder, Hanna sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Hanna?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 6 ist Noah, dann 2 Plätze dazwischen.
2. 6 + 2 + 1 = 9
Ergebnis:
Platz 9
●30
Noah kauft ein Buch für 8 €. Danach bekommt Noah 10 € geschenkt und hat jetzt 28 €. Wie viel Geld hatte Noah am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 28 € − 10 € = 18 €
2. Dann den Kauf: 18 € + 8 € = 26 €
Ergebnis:
26 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die 5b fährt mit 29 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
261 €, die Filmdauer brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Tom ist um 7:00 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Tom auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
Ergebnis:
3 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Jonas hat 43 Murmeln. Tim hat 16 Murmeln weniger als Jonas. Wie viele Murmeln hat Tim?
Lösung zeigen
Ergebnis:
27 Murmeln
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Zeynep kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Zeynep 4 € geschenkt und hat jetzt 26 €. Wie viel Geld hatte Zeynep am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
29 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
In der Mensa zählt Milan 10 Tische und 58 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1 Vierertisch, 9 Sechsertische
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Eine Saftflasche kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 4 Flaschen kostet 9,70 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
die Packung
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 4 Kästen liegen je 7 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
28 Karten
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Jonas hat 31 Bücher, Ben hat 22 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
53 Bücher

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Der Beginn des Films fehlt
8 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Der Preis für Erwachsene fehlt
21 Minuten
23 Minuten
los um 7:02 Uhr, an um 7:38 Uhr
80 Karten
36 Karten
396 Bücher
15:02 Uhr
14:49 Uhr
15:34 Uhr
4 Vierertische, 3 Sechsertische
6 Kaninchen
4 Vierertische, 7 Sechsertische
die Packung
0,67 €
Nein
72 Bücher
27 Bücher
26 Karten
102 Bücher
92 Karten
311 Karten
7 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
B, 144 Bücher
den um 7:26 Uhr
Nein, 12 Pfähle
Platz 9
26 €
261 €, die Filmdauer brauche ich nicht
3 Minuten
27 Murmeln
29 €
1 Vierertisch, 9 Sechsertische
die Packung
28 Karten
53 Bücher
9:00 Uhr
400 cm