Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:45 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 90 min = 1 h 30 min
2. 8:45 + 1:30 = 10:15 Uhr
Ergebnis:
10:15 Uhr
●40
Rechne um: 7 m in dm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 10 dm
2. 7 · 10 = 70 dm
Ergebnis:
70 dm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

28 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 18 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 28 Kinder und 3 €.
28 · 3 € = 84 €
Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.

Gebraucht: 28 Kinder und 3 €.
28 · 3 € = 84 €
Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.

Ergebnis:

84 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 33 Tore geschossen. Zum Finale kamen 177 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 11 Spiele.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 11 Spiele.
2. 15 − 11 = 4
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●2
Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 120 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 120 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
★3
Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 4 €. Der Film dauert 105 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 105 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.

Schritt für Schritt

Zum Beispiel: ab 6:43 Uhr, an 7:04 Uhr.
Von 6:43 bis 7:04 Uhr sind es 21 Minuten.

Zum Beispiel: ab 6:43 Uhr, an 7:04 Uhr.
Von 6:43 bis 7:04 Uhr sind es 21 Minuten.

Ergebnis:

21 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Der Unterricht beginnt um 7:32 Uhr. Welchen Bus X34 muss Can spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
So fängst du an:
Ankunft vor 7:32 Uhr: 7:05, 7:15, 7:25 Uhr.
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:32 Uhr: 7:05, 7:15, 7:25 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:25 Uhr an.
3. Er fährt um 7:00 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:00 Uhr
●5
Der Unterricht beginnt um 8:07 Uhr. Welchen Bus X34 muss Paul spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 8:07 Uhr: 7:03, 7:23, 7:43, 8:03 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 8:03 Uhr an.
3. Er fährt um 7:49 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:49 Uhr
★6
Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:38 Uhr, an 6:58 Uhr.
2. Von 6:38 bis 6:58 Uhr sind es 20 Minuten.
Ergebnis:
20 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Ben hat 71 Bücher. Tim hat 14 Bücher mehr als Ben. Wie viele Bücher hat Tim?

Schritt für Schritt

Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
71 + 14 = 85

Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
71 + 14 = 85

Ergebnis:

85 Bücher

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Noah hat 46 Bücher. Tim hat 22 Bücher mehr als Noah. Wie viele Bücher hat Tim?
So fängst du an:
Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
Lösung zeigen
1. Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
2. 46 + 22 = 68
Ergebnis:
68 Bücher
●8
Mia hat 49 Karten. Tim hat 10 Karten mehr als Mia. Wie viele Karten hat Tim?
Lösung zeigen
1. Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
2. 49 + 10 = 59
Ergebnis:
59 Karten
★9
Ben hat 578 Karten. Ela hat 39 Karten mehr als Ben. Wie viele Karten hat Ela?
Lösung zeigen
1. Ela hat mehr: der Streifen von Ela ist länger
2. 578 + 39 = 617
Ergebnis:
617 Karten

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Tom kauft ein Buch für 18 €. Danach bekommt Tom 3 € geschenkt und hat jetzt 27 €. Wie viel Geld hatte Tom am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 27 € − 3 € = 24 €
Dann den Kauf: 24 € + 18 € = 42 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 27 € − 3 € = 24 €
Dann den Kauf: 24 € + 18 € = 42 €

Ergebnis:

42 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Mia kauft ein Buch für 18 €. Danach bekommt Mia 10 € geschenkt und hat jetzt 26 €. Wie viel Geld hatte Mia am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 26 € − 10 € = 16 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 26 € − 10 € = 16 €
2. Dann den Kauf: 16 € + 18 € = 34 €
Ergebnis:
34 €
●11
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Jonas braucht 11 Minuten zum Umziehen und davor 23 Minuten für den Weg. Wann muss Jonas spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 11 Minuten früher ist 16:04 Uhr.
2. Noch 23 Minuten früher: 15:41 Uhr.
Ergebnis:
15:41 Uhr
★12
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Paul braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 20 Minuten für den Weg. Wann muss Paul spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 15:16 Uhr.
2. Noch 20 Minuten früher: 14:56 Uhr.
Ergebnis:
14:56 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita zählt Lina 5 Fahrzeuge und 12 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
Das passt genau.
3 Fahrräder und 2 Dreiräder: 3 · 2 + 2 · 3 = 12

Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
Das passt genau.
3 Fahrräder und 2 Dreiräder: 3 · 2 + 2 · 3 = 12

Ergebnis:

3 Fahrräder, 2 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 5 Fahrzeuge mit 12 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
2. Das passt genau.
3. 3 Fahrräder und 2 Dreiräder: 3 · 2 + 2 · 3 = 12
Ergebnis:
2 Dreiräder
●14
In der Mensa zählt Lea 8 Tische und 34 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 7 Vierertische und 1 Sechsertisch: 7 · 4 + 1 · 6 = 34
Ergebnis:
7 Vierertische, 1 Sechsertisch
★15
Im Hof der Kita zählt Lina 16 Fahrzeuge und 42 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 8 Fahrräder und 8 Dreiräder ergeben 40 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 6 Fahrräder und 10 Dreiräder: 6 · 2 + 10 · 3 = 42
Ergebnis:
6 Fahrräder, 10 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Bleistift kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 6,30 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?

Schritt für Schritt

4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
Packung: 6,30 €
Einzeln ist günstiger.

4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
Packung: 6,30 €
Einzeln ist günstiger.

Ergebnis:

einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Bleistift kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 3,90 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?
So fängst du an:
4 einzeln: 4 · 0,90 € = 3,60 €
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 0,90 € = 3,60 €
2. Packung: 3,90 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €
★18
Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 6 Riegeln kostet 9,60 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Riegel braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 1,50 € = 9,00 €
2. Packung: 9,60 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 5 Kästen liegen je 6 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?

Schritt für Schritt

5 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
5 · 6 = 30

5 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
5 · 6 = 30

Ergebnis:

30 Bücher

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 7 Kästen liegen je 3 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
So fängst du an:
7 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 7 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
2. 7 · 3 = 21
Ergebnis:
21 Karten
●20
In 5 Kästen liegen je 3 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 5 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
2. 5 · 3 = 15
Ergebnis:
15 Bücher
★21
240 Murmeln werden gleichmäßig auf 8 Kästen verteilt. Wie viele Murmeln kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 240, 8 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 240 : 8 = 30
Ergebnis:
30 Murmeln

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Noah hat 60 Bücher, Ela hat 26 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
60 + 26 = 86

Zwei Teile, gesucht das Ganze
60 + 26 = 86

Ergebnis:

86 Bücher

AchtungRechenart in der Sachaufgabe falsch gewählt

So nicht

10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 16,81 €

So richtig

10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 10 € − 6,81 € = 3,19 €

Stell dir die Situation vor: Kommt etwas dazu, geht etwas weg, wird verteilt?

ÜbenJetzt du

○22
Ela hat 32 Sticker, Aylin hat 58 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 32 + 58 = 90
Ergebnis:
90 Sticker
●23
Ben hat 28 Sticker, Lina hat 20 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 28 + 20 = 48
Ergebnis:
48 Sticker
★24
Noah und Tim haben zusammen 526 Karten. Noah hat 353 Karten. Wie viele Karten hat Tim?
Lösung zeigen
1. Ganzes 526, ein Teil 353, gesucht der andere Teil
2. 526 − 353 = 173
Ergebnis:
173 Karten

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
27 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 9 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 3.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
●26
Ein Regal hat 5 Böden mit je 20 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viel kostet ein Buch? B: Wie viele Bücher stehen im Regal? C: Wie viele Seiten hat das dickste Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 5 · 20 = 100.
3. Richtig ist B.
Ergebnis:
B, 100 Bücher
●27
Der Unterricht beginnt um 7:41 Uhr. Welchen Bus X34 muss Jonas spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:41 Uhr: 7:21, 7:36 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:36 Uhr an.
3. Er fährt um 7:10 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:10 Uhr
●28
Ein Weg ist 21 m lang. Alle 3 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 21 : 3 = 7
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 7 + 1 = 8
Ergebnis:
8 Laternen
●29
Im Kino sitzt Mia auf Platz 7 von links. Zwischen Mia und Elias sitzen 1 Kinder, Elias sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Elias?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 7 ist Mia, dann 1 Plätze dazwischen.
2. 7 + 1 + 1 = 9
Ergebnis:
Platz 9
●30
Lina kauft ein Buch für 9 €. Danach bekommt Lina 3 € geschenkt und hat jetzt 22 €. Wie viel Geld hatte Lina am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 22 € − 3 € = 19 €
2. Dann den Kauf: 19 € + 9 € = 28 €
Ergebnis:
28 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 34 Tore geschossen. Zum Finale kamen 396 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Lina ist um 6:52 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lina auf den nächsten Bus 100?
Lösung zeigen
Ergebnis:
7 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Ela hat 72 Karten. Ben hat 16 Karten weniger als Ela. Wie viele Karten hat Ben?
Lösung zeigen
Ergebnis:
56 Karten
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Lea braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 31 Minuten für den Weg. Wann muss Lea spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
15:20 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 5 Fahrzeuge mit 13 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
3 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Eine Saftflasche kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 4 Flaschen kostet 3,90 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
einzeln
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 5 Kästen liegen je 7 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
35 Murmeln
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Mia hat 45 Karten, Tim hat 37 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
82 Karten

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Der Beginn des Films fehlt
Der Beginn des Films fehlt
den um 7:00 Uhr
den um 7:49 Uhr
20 Minuten
68 Bücher
59 Karten
617 Karten
34 €
15:41 Uhr
14:56 Uhr
2 Dreiräder
7 Vierertische, 1 Sechsertisch
6 Fahrräder, 10 Dreiräder
einzeln
1,67 €
einzeln
21 Karten
15 Bücher
30 Murmeln
90 Sticker
48 Sticker
173 Karten
Der Preis für Erwachsene fehlt
B, 100 Bücher
den um 7:10 Uhr
8 Laternen
Platz 9
28 €
6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
7 Minuten
56 Karten
15:20 Uhr
3 Dreiräder
einzeln
35 Murmeln
82 Karten
10:15 Uhr
70 dm

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:45 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 90 min = 1 h 30 min
2. 8:45 + 1:30 = 10:15 Uhr
Ergebnis:
10:15 Uhr
●40
Rechne um: 7 m in dm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 10 dm
2. 7 · 10 = 70 dm
Ergebnis:
70 dm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

28 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 18 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 28 Kinder und 3 €.
28 · 3 € = 84 €
Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.

Gebraucht: 28 Kinder und 3 €.
28 · 3 € = 84 €
Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.

Ergebnis:

84 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 33 Tore geschossen. Zum Finale kamen 177 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 11 Spiele.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 11 Spiele.
2. 15 − 11 = 4
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●2
Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 120 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 120 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
★3
Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 4 €. Der Film dauert 105 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 105 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.

Schritt für Schritt

Zum Beispiel: ab 6:43 Uhr, an 7:04 Uhr.
Von 6:43 bis 7:04 Uhr sind es 21 Minuten.

Zum Beispiel: ab 6:43 Uhr, an 7:04 Uhr.
Von 6:43 bis 7:04 Uhr sind es 21 Minuten.

Ergebnis:

21 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Der Unterricht beginnt um 7:32 Uhr. Welchen Bus X34 muss Can spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
So fängst du an:
Ankunft vor 7:32 Uhr: 7:05, 7:15, 7:25 Uhr.
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:32 Uhr: 7:05, 7:15, 7:25 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:25 Uhr an.
3. Er fährt um 7:00 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:00 Uhr
●5
Der Unterricht beginnt um 8:07 Uhr. Welchen Bus X34 muss Paul spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 8:07 Uhr: 7:03, 7:23, 7:43, 8:03 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 8:03 Uhr an.
3. Er fährt um 7:49 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:49 Uhr
★6
Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:38 Uhr, an 6:58 Uhr.
2. Von 6:38 bis 6:58 Uhr sind es 20 Minuten.
Ergebnis:
20 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Ben hat 71 Bücher. Tim hat 14 Bücher mehr als Ben. Wie viele Bücher hat Tim?

Schritt für Schritt

Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
71 + 14 = 85

Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
71 + 14 = 85

Ergebnis:

85 Bücher

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Noah hat 46 Bücher. Tim hat 22 Bücher mehr als Noah. Wie viele Bücher hat Tim?
So fängst du an:
Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
Lösung zeigen
1. Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
2. 46 + 22 = 68
Ergebnis:
68 Bücher
●8
Mia hat 49 Karten. Tim hat 10 Karten mehr als Mia. Wie viele Karten hat Tim?
Lösung zeigen
1. Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
2. 49 + 10 = 59
Ergebnis:
59 Karten
★9
Ben hat 578 Karten. Ela hat 39 Karten mehr als Ben. Wie viele Karten hat Ela?
Lösung zeigen
1. Ela hat mehr: der Streifen von Ela ist länger
2. 578 + 39 = 617
Ergebnis:
617 Karten

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Tom kauft ein Buch für 18 €. Danach bekommt Tom 3 € geschenkt und hat jetzt 27 €. Wie viel Geld hatte Tom am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 27 € − 3 € = 24 €
Dann den Kauf: 24 € + 18 € = 42 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 27 € − 3 € = 24 €
Dann den Kauf: 24 € + 18 € = 42 €

Ergebnis:

42 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Mia kauft ein Buch für 18 €. Danach bekommt Mia 10 € geschenkt und hat jetzt 26 €. Wie viel Geld hatte Mia am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 26 € − 10 € = 16 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 26 € − 10 € = 16 €
2. Dann den Kauf: 16 € + 18 € = 34 €
Ergebnis:
34 €
●11
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Jonas braucht 11 Minuten zum Umziehen und davor 23 Minuten für den Weg. Wann muss Jonas spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 11 Minuten früher ist 16:04 Uhr.
2. Noch 23 Minuten früher: 15:41 Uhr.
Ergebnis:
15:41 Uhr
★12
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Paul braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 20 Minuten für den Weg. Wann muss Paul spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 15:16 Uhr.
2. Noch 20 Minuten früher: 14:56 Uhr.
Ergebnis:
14:56 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita zählt Lina 5 Fahrzeuge und 12 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
Das passt genau.
3 Fahrräder und 2 Dreiräder: 3 · 2 + 2 · 3 = 12

Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
Das passt genau.
3 Fahrräder und 2 Dreiräder: 3 · 2 + 2 · 3 = 12

Ergebnis:

3 Fahrräder, 2 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 5 Fahrzeuge mit 12 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
2. Das passt genau.
3. 3 Fahrräder und 2 Dreiräder: 3 · 2 + 2 · 3 = 12
Ergebnis:
2 Dreiräder
●14
In der Mensa zählt Lea 8 Tische und 34 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 7 Vierertische und 1 Sechsertisch: 7 · 4 + 1 · 6 = 34
Ergebnis:
7 Vierertische, 1 Sechsertisch
★15
Im Hof der Kita zählt Lina 16 Fahrzeuge und 42 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 8 Fahrräder und 8 Dreiräder ergeben 40 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 6 Fahrräder und 10 Dreiräder: 6 · 2 + 10 · 3 = 42
Ergebnis:
6 Fahrräder, 10 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Bleistift kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 6,30 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?

Schritt für Schritt

4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
Packung: 6,30 €
Einzeln ist günstiger.

4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
Packung: 6,30 €
Einzeln ist günstiger.

Ergebnis:

einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Bleistift kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 3,90 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?
So fängst du an:
4 einzeln: 4 · 0,90 € = 3,60 €
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 0,90 € = 3,60 €
2. Packung: 3,90 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €
★18
Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 6 Riegeln kostet 9,60 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Riegel braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 1,50 € = 9,00 €
2. Packung: 9,60 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 5 Kästen liegen je 6 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?

Schritt für Schritt

5 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
5 · 6 = 30

5 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
5 · 6 = 30

Ergebnis:

30 Bücher

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 7 Kästen liegen je 3 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
So fängst du an:
7 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 7 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
2. 7 · 3 = 21
Ergebnis:
21 Karten
●20
In 5 Kästen liegen je 3 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 5 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
2. 5 · 3 = 15
Ergebnis:
15 Bücher
★21
240 Murmeln werden gleichmäßig auf 8 Kästen verteilt. Wie viele Murmeln kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 240, 8 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 240 : 8 = 30
Ergebnis:
30 Murmeln

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Noah hat 60 Bücher, Ela hat 26 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
60 + 26 = 86

Zwei Teile, gesucht das Ganze
60 + 26 = 86

Ergebnis:

86 Bücher

AchtungRechenart in der Sachaufgabe falsch gewählt

So nicht

10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 16,81 €

So richtig

10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 10 € − 6,81 € = 3,19 €

Stell dir die Situation vor: Kommt etwas dazu, geht etwas weg, wird verteilt?

ÜbenJetzt du

○22
Ela hat 32 Sticker, Aylin hat 58 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 32 + 58 = 90
Ergebnis:
90 Sticker
●23
Ben hat 28 Sticker, Lina hat 20 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 28 + 20 = 48
Ergebnis:
48 Sticker
★24
Noah und Tim haben zusammen 526 Karten. Noah hat 353 Karten. Wie viele Karten hat Tim?
Lösung zeigen
1. Ganzes 526, ein Teil 353, gesucht der andere Teil
2. 526 − 353 = 173
Ergebnis:
173 Karten

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
27 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 9 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 3.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
●26
Ein Regal hat 5 Böden mit je 20 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viel kostet ein Buch? B: Wie viele Bücher stehen im Regal? C: Wie viele Seiten hat das dickste Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 5 · 20 = 100.
3. Richtig ist B.
Ergebnis:
B, 100 Bücher
●27
Der Unterricht beginnt um 7:41 Uhr. Welchen Bus X34 muss Jonas spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:41 Uhr: 7:21, 7:36 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:36 Uhr an.
3. Er fährt um 7:10 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:10 Uhr
●28
Ein Weg ist 21 m lang. Alle 3 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 21 : 3 = 7
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 7 + 1 = 8
Ergebnis:
8 Laternen
●29
Im Kino sitzt Mia auf Platz 7 von links. Zwischen Mia und Elias sitzen 1 Kinder, Elias sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Elias?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 7 ist Mia, dann 1 Plätze dazwischen.
2. 7 + 1 + 1 = 9
Ergebnis:
Platz 9
●30
Lina kauft ein Buch für 9 €. Danach bekommt Lina 3 € geschenkt und hat jetzt 22 €. Wie viel Geld hatte Lina am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 22 € − 3 € = 19 €
2. Dann den Kauf: 19 € + 9 € = 28 €
Ergebnis:
28 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 34 Tore geschossen. Zum Finale kamen 396 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Lina ist um 6:52 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lina auf den nächsten Bus 100?
Lösung zeigen
Ergebnis:
7 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Ela hat 72 Karten. Ben hat 16 Karten weniger als Ela. Wie viele Karten hat Ben?
Lösung zeigen
Ergebnis:
56 Karten
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Lea braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 31 Minuten für den Weg. Wann muss Lea spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
15:20 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 5 Fahrzeuge mit 13 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
3 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Eine Saftflasche kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 4 Flaschen kostet 3,90 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
einzeln
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 5 Kästen liegen je 7 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
35 Murmeln
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Mia hat 45 Karten, Tim hat 37 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
82 Karten

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

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Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Der Beginn des Films fehlt
Der Beginn des Films fehlt
den um 7:00 Uhr
den um 7:49 Uhr
20 Minuten
68 Bücher
59 Karten
617 Karten
34 €
15:41 Uhr
14:56 Uhr
2 Dreiräder
7 Vierertische, 1 Sechsertisch
6 Fahrräder, 10 Dreiräder
einzeln
1,67 €
einzeln
21 Karten
15 Bücher
30 Murmeln
90 Sticker
48 Sticker
173 Karten
Der Preis für Erwachsene fehlt
B, 100 Bücher
den um 7:10 Uhr
8 Laternen
Platz 9
28 €
6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
7 Minuten
56 Karten
15:20 Uhr
3 Dreiräder
einzeln
35 Murmeln
82 Karten
10:15 Uhr
70 dm