Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 7:00 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 90 min = 1 h 30 min
2. 7:00 + 1:30 = 8:30 Uhr
Ergebnis:
8:30 Uhr
●40
Rechne um: 7 € in ct.
Lösung zeigen
1. 1 € = 100 ct
2. 7 · 100 = 700 ct
Ergebnis:
700 ct

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

28 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 7 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 2.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 2.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Ergebnis:

Der Preis für Erwachsene fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 33 Tore geschossen. Zum Finale kamen 316 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 11 Spiele.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 11 Spiele.
2. 15 − 11 = 4
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●2
Die 5b fährt mit 26 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 110 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 26 Kinder und 8 € je Karte.
2. 26 · 8 € = 208 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
208 €, die Filmdauer brauche ich nicht
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 24 Tore geschossen. Zum Finale kamen 254 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Sofia ist um 6:47 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Sofia auf den nächsten Bus M29?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 7:02 Uhr.
Von 6:47 bis 7:02 Uhr sind es 15 Minuten.

Der nächste fährt um 7:02 Uhr.
Von 6:47 bis 7:02 Uhr sind es 15 Minuten.

Ergebnis:

15 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
So fängst du an:
Zum Beispiel: ab 6:38 Uhr, an 6:51 Uhr.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:38 Uhr, an 6:51 Uhr.
2. Von 6:38 bis 6:51 Uhr sind es 13 Minuten.
Ergebnis:
13 Minuten
●5
Der Unterricht beginnt um 7:32 Uhr. Welchen Bus 100 muss Milan spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:32 Uhr: 7:08, 7:23 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:23 Uhr an.
3. Er fährt um 7:05 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:05 Uhr
★6
Ben braucht 12 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus 100 um 7:16 Uhr nehmen. Wann muss Ben spätestens los, und wann ist Ben an der Schule?
Lösung zeigen
1. Los: 12 Minuten vor 7:16 Uhr, also 7:04 Uhr.
2. Ankunft laut Fahrplan: 7:35 Uhr.
Ergebnis:
los um 7:04 Uhr, an um 7:35 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Lina hat 77 Murmeln. Tim hat 8 Murmeln mehr als Lina. Wie viele Murmeln hat Tim?

Schritt für Schritt

Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
77 + 8 = 85

Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
77 + 8 = 85

Ergebnis:

85 Murmeln

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Aylin hat 82 Bücher. Ben hat 20 Bücher weniger als Aylin. Wie viele Bücher hat Ben?
So fängst du an:
Ben hat weniger: der Streifen von Ben ist kürzer
Lösung zeigen
1. Ben hat weniger: der Streifen von Ben ist kürzer
2. 82 − 20 = 62
Ergebnis:
62 Bücher
●8
Ben hat 81 Sticker. Aylin hat 8 Sticker mehr als Ben. Wie viele Sticker hat Aylin?
Lösung zeigen
1. Aylin hat mehr: der Streifen von Aylin ist länger
2. 81 + 8 = 89
Ergebnis:
89 Sticker
★9
Aylin hat 553 Sticker, Noah hat 406 Sticker. Wie viele Sticker hat Aylin mehr?
Lösung zeigen
1. Der Unterschied ist der Rest zwischen den Streifen
2. 553 − 406 = 147
Ergebnis:
147 Sticker

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Paul kauft ein Buch für 6 €. Danach bekommt Paul 11 € geschenkt und hat jetzt 28 €. Wie viel Geld hatte Paul am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 28 € − 11 € = 17 €
Dann den Kauf: 17 € + 6 € = 23 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 28 € − 11 € = 17 €
Dann den Kauf: 17 € + 6 € = 23 €

Ergebnis:

23 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Lea braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 16 Minuten für den Weg. Wann muss Lea spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 15:50 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 15:50 Uhr.
2. Noch 16 Minuten früher: 15:34 Uhr.
Ergebnis:
15:34 Uhr
●11
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Elias braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 20 Minuten für den Weg. Wann muss Elias spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 15:17 Uhr.
2. Noch 20 Minuten früher: 14:57 Uhr.
Ergebnis:
14:57 Uhr
★12
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Can braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 35 Minuten für den Weg. Wann muss Can spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 15:55 Uhr.
2. Noch 35 Minuten früher: 15:20 Uhr.
Ergebnis:
15:20 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita zählt Lea 7 Fahrzeuge und 17 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
Das passt genau.
4 Fahrräder und 3 Dreiräder: 4 · 2 + 3 · 3 = 17

Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
Das passt genau.
4 Fahrräder und 3 Dreiräder: 4 · 2 + 3 · 3 = 17

Ergebnis:

4 Fahrräder, 3 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 8 Tische mit 38 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 5 Vierertische und 3 Sechsertische: 5 · 4 + 3 · 6 = 38
Ergebnis:
3 Sechsertische
●14
Auf einem Hof zählt Lina 10 Tiere und 28 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 6 Hühner und 4 Kaninchen: 6 · 2 + 4 · 4 = 28
Ergebnis:
6 Hühner, 4 Kaninchen
★15
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 15 Fahrzeuge mit 44 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 8 Fahrräder und 7 Dreiräder ergeben 37 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 1 Fahrrad und 14 Dreiräder: 1 · 2 + 14 · 3 = 44
Ergebnis:
14 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Eine Saftflasche kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 17,40 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?

Schritt für Schritt

10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
Packung: 17,40 €
Die Packung ist günstiger.

10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
Packung: 17,40 €
Die Packung ist günstiger.

Ergebnis:

die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
Ergebnis:
1,00 €
●17
Ein Müsliriegel kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 4 Riegeln kostet 3,00 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Riegel braucht?
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 0,90 € = 3,60 €
2. Packung: 3,00 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Eine Fahrt kostet 2,60 €. Eine Monatskarte kostet 40,00 €. Emma fährt im Monat 18-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 18 · 2,60 € = 46,80 €
2. Monatskarte: 40,00 €
3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
Ergebnis:
Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 6 Kästen liegen je 4 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?

Schritt für Schritt

6 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
6 · 4 = 24

6 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
6 · 4 = 24

Ergebnis:

24 Karten

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 5 Kästen liegen je 3 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
So fängst du an:
5 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 5 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
2. 5 · 3 = 15
Ergebnis:
15 Karten
●20
In 4 Kästen liegen je 5 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 4 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
2. 4 · 5 = 20
Ergebnis:
20 Karten
★21
246 Karten werden gleichmäßig auf 6 Kästen verteilt. Wie viele Karten kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 246, 6 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 246 : 6 = 41
Ergebnis:
41 Karten

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Jonas hat 58 Bücher, Mia hat 48 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
58 + 48 = 106

Zwei Teile, gesucht das Ganze
58 + 48 = 106

Ergebnis:

106 Bücher

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Ela hat 82 Karten, Noah hat 75 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 82 + 75 = 157
Ergebnis:
157 Karten
●23
Ben hat 66 Murmeln, Tim hat 84 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 66 + 84 = 150
Ergebnis:
150 Murmeln
★24
Noah und Lina haben zusammen 727 Bücher. Noah hat 446 Bücher. Wie viele Bücher hat Lina?
Lösung zeigen
1. Ganzes 727, ein Teil 446, gesucht der andere Teil
2. 727 − 446 = 281
Ergebnis:
281 Bücher

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
28 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 12 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 28 Kinder und 7 €.
2. 28 · 7 € = 196 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
196 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
●26
Auf einem Schiff sind 14 Schafe und 21 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?
Lösung zeigen
1. Die Angaben handeln von Tieren.
2. Über den Kapitän steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Tom ist um 6:53 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Tom auf den nächsten Bus M29?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:08 Uhr.
2. Von 6:53 bis 7:08 Uhr sind es 15 Minuten.
Ergebnis:
15 Minuten
●28
Entlang eines Weges stehen 7 Bäume im Abstand von 2 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 7 Bäume haben 6 Abstände dazwischen.
2. 6 · 2 m = 12 m
Ergebnis:
12 m
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Noah an 13. Stelle von vorn und an 3. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 12 Kinder, dann Noah, dahinter 2 Kinder.
2. 12 + 1 + 2 = 15
Ergebnis:
15 Kinder
●30
Lina kauft ein Buch für 6 €. Danach bekommt Lina 3 € geschenkt und hat jetzt 20 €. Wie viel Geld hatte Lina am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 20 € − 3 € = 17 €
2. Dann den Kauf: 17 € + 6 € = 23 €
Ergebnis:
23 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
27 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 14 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 8:06 Uhr. Welchen Bus X34 muss Ben spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 7:43 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Mia hat 88 Bücher. Jonas hat 14 Bücher mehr als Mia. Wie viele Bücher hat Jonas?
Lösung zeigen
Ergebnis:
102 Bücher
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Emma braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 15 Minuten für den Weg. Wann muss Emma spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
16:38 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 8 Fahrzeuge mit 18 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Bleistift kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 5,10 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
einzeln
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 8 Kästen liegen je 7 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
56 Bücher
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Lina hat 60 Karten, Noah hat 22 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
82 Karten

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
208 €, die Filmdauer brauche ich nicht
Die Tore im Finale fehlen
13 Minuten
den um 7:05 Uhr
los um 7:04 Uhr, an um 7:35 Uhr
62 Bücher
89 Sticker
147 Sticker
15:34 Uhr
14:57 Uhr
15:20 Uhr
3 Sechsertische
6 Hühner, 4 Kaninchen
14 Dreiräder
1,00 €
die Packung
Ja
15 Karten
20 Karten
41 Karten
157 Karten
150 Murmeln
281 Bücher
196 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
nicht lösbar
15 Minuten
12 m
15 Kinder
23 €
Der Preis für Erwachsene fehlt
den um 7:43 Uhr
102 Bücher
16:38 Uhr
2 Dreiräder
einzeln
56 Bücher
82 Karten
8:30 Uhr
700 ct

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 7:00 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 90 min = 1 h 30 min
2. 7:00 + 1:30 = 8:30 Uhr
Ergebnis:
8:30 Uhr
●40
Rechne um: 7 € in ct.
Lösung zeigen
1. 1 € = 100 ct
2. 7 · 100 = 700 ct
Ergebnis:
700 ct

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

28 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 7 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 2.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 2.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Ergebnis:

Der Preis für Erwachsene fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 33 Tore geschossen. Zum Finale kamen 316 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 11 Spiele.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 11 Spiele.
2. 15 − 11 = 4
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●2
Die 5b fährt mit 26 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 110 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 26 Kinder und 8 € je Karte.
2. 26 · 8 € = 208 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
208 €, die Filmdauer brauche ich nicht
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 24 Tore geschossen. Zum Finale kamen 254 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Sofia ist um 6:47 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Sofia auf den nächsten Bus M29?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 7:02 Uhr.
Von 6:47 bis 7:02 Uhr sind es 15 Minuten.

Der nächste fährt um 7:02 Uhr.
Von 6:47 bis 7:02 Uhr sind es 15 Minuten.

Ergebnis:

15 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
So fängst du an:
Zum Beispiel: ab 6:38 Uhr, an 6:51 Uhr.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:38 Uhr, an 6:51 Uhr.
2. Von 6:38 bis 6:51 Uhr sind es 13 Minuten.
Ergebnis:
13 Minuten
●5
Der Unterricht beginnt um 7:32 Uhr. Welchen Bus 100 muss Milan spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:32 Uhr: 7:08, 7:23 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:23 Uhr an.
3. Er fährt um 7:05 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:05 Uhr
★6
Ben braucht 12 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus 100 um 7:16 Uhr nehmen. Wann muss Ben spätestens los, und wann ist Ben an der Schule?
Lösung zeigen
1. Los: 12 Minuten vor 7:16 Uhr, also 7:04 Uhr.
2. Ankunft laut Fahrplan: 7:35 Uhr.
Ergebnis:
los um 7:04 Uhr, an um 7:35 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Lina hat 77 Murmeln. Tim hat 8 Murmeln mehr als Lina. Wie viele Murmeln hat Tim?

Schritt für Schritt

Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
77 + 8 = 85

Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
77 + 8 = 85

Ergebnis:

85 Murmeln

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Aylin hat 82 Bücher. Ben hat 20 Bücher weniger als Aylin. Wie viele Bücher hat Ben?
So fängst du an:
Ben hat weniger: der Streifen von Ben ist kürzer
Lösung zeigen
1. Ben hat weniger: der Streifen von Ben ist kürzer
2. 82 − 20 = 62
Ergebnis:
62 Bücher
●8
Ben hat 81 Sticker. Aylin hat 8 Sticker mehr als Ben. Wie viele Sticker hat Aylin?
Lösung zeigen
1. Aylin hat mehr: der Streifen von Aylin ist länger
2. 81 + 8 = 89
Ergebnis:
89 Sticker
★9
Aylin hat 553 Sticker, Noah hat 406 Sticker. Wie viele Sticker hat Aylin mehr?
Lösung zeigen
1. Der Unterschied ist der Rest zwischen den Streifen
2. 553 − 406 = 147
Ergebnis:
147 Sticker

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Paul kauft ein Buch für 6 €. Danach bekommt Paul 11 € geschenkt und hat jetzt 28 €. Wie viel Geld hatte Paul am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 28 € − 11 € = 17 €
Dann den Kauf: 17 € + 6 € = 23 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 28 € − 11 € = 17 €
Dann den Kauf: 17 € + 6 € = 23 €

Ergebnis:

23 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Lea braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 16 Minuten für den Weg. Wann muss Lea spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 15:50 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 15:50 Uhr.
2. Noch 16 Minuten früher: 15:34 Uhr.
Ergebnis:
15:34 Uhr
●11
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Elias braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 20 Minuten für den Weg. Wann muss Elias spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 15:17 Uhr.
2. Noch 20 Minuten früher: 14:57 Uhr.
Ergebnis:
14:57 Uhr
★12
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Can braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 35 Minuten für den Weg. Wann muss Can spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 15:55 Uhr.
2. Noch 35 Minuten früher: 15:20 Uhr.
Ergebnis:
15:20 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita zählt Lea 7 Fahrzeuge und 17 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
Das passt genau.
4 Fahrräder und 3 Dreiräder: 4 · 2 + 3 · 3 = 17

Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
Das passt genau.
4 Fahrräder und 3 Dreiräder: 4 · 2 + 3 · 3 = 17

Ergebnis:

4 Fahrräder, 3 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 8 Tische mit 38 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 5 Vierertische und 3 Sechsertische: 5 · 4 + 3 · 6 = 38
Ergebnis:
3 Sechsertische
●14
Auf einem Hof zählt Lina 10 Tiere und 28 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 6 Hühner und 4 Kaninchen: 6 · 2 + 4 · 4 = 28
Ergebnis:
6 Hühner, 4 Kaninchen
★15
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 15 Fahrzeuge mit 44 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 8 Fahrräder und 7 Dreiräder ergeben 37 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 1 Fahrrad und 14 Dreiräder: 1 · 2 + 14 · 3 = 44
Ergebnis:
14 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Eine Saftflasche kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 17,40 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?

Schritt für Schritt

10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
Packung: 17,40 €
Die Packung ist günstiger.

10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
Packung: 17,40 €
Die Packung ist günstiger.

Ergebnis:

die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
Ergebnis:
1,00 €
●17
Ein Müsliriegel kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 4 Riegeln kostet 3,00 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Riegel braucht?
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 0,90 € = 3,60 €
2. Packung: 3,00 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Eine Fahrt kostet 2,60 €. Eine Monatskarte kostet 40,00 €. Emma fährt im Monat 18-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 18 · 2,60 € = 46,80 €
2. Monatskarte: 40,00 €
3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
Ergebnis:
Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 6 Kästen liegen je 4 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?

Schritt für Schritt

6 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
6 · 4 = 24

6 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
6 · 4 = 24

Ergebnis:

24 Karten

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 5 Kästen liegen je 3 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
So fängst du an:
5 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 5 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
2. 5 · 3 = 15
Ergebnis:
15 Karten
●20
In 4 Kästen liegen je 5 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 4 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
2. 4 · 5 = 20
Ergebnis:
20 Karten
★21
246 Karten werden gleichmäßig auf 6 Kästen verteilt. Wie viele Karten kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 246, 6 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 246 : 6 = 41
Ergebnis:
41 Karten

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Jonas hat 58 Bücher, Mia hat 48 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
58 + 48 = 106

Zwei Teile, gesucht das Ganze
58 + 48 = 106

Ergebnis:

106 Bücher

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Ela hat 82 Karten, Noah hat 75 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 82 + 75 = 157
Ergebnis:
157 Karten
●23
Ben hat 66 Murmeln, Tim hat 84 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 66 + 84 = 150
Ergebnis:
150 Murmeln
★24
Noah und Lina haben zusammen 727 Bücher. Noah hat 446 Bücher. Wie viele Bücher hat Lina?
Lösung zeigen
1. Ganzes 727, ein Teil 446, gesucht der andere Teil
2. 727 − 446 = 281
Ergebnis:
281 Bücher

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
28 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 12 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 28 Kinder und 7 €.
2. 28 · 7 € = 196 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
196 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
●26
Auf einem Schiff sind 14 Schafe und 21 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?
Lösung zeigen
1. Die Angaben handeln von Tieren.
2. Über den Kapitän steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Tom ist um 6:53 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Tom auf den nächsten Bus M29?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:08 Uhr.
2. Von 6:53 bis 7:08 Uhr sind es 15 Minuten.
Ergebnis:
15 Minuten
●28
Entlang eines Weges stehen 7 Bäume im Abstand von 2 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 7 Bäume haben 6 Abstände dazwischen.
2. 6 · 2 m = 12 m
Ergebnis:
12 m
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Noah an 13. Stelle von vorn und an 3. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 12 Kinder, dann Noah, dahinter 2 Kinder.
2. 12 + 1 + 2 = 15
Ergebnis:
15 Kinder
●30
Lina kauft ein Buch für 6 €. Danach bekommt Lina 3 € geschenkt und hat jetzt 20 €. Wie viel Geld hatte Lina am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 20 € − 3 € = 17 €
2. Dann den Kauf: 17 € + 6 € = 23 €
Ergebnis:
23 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
27 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 14 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 8:06 Uhr. Welchen Bus X34 muss Ben spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 7:43 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Mia hat 88 Bücher. Jonas hat 14 Bücher mehr als Mia. Wie viele Bücher hat Jonas?
Lösung zeigen
Ergebnis:
102 Bücher
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Emma braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 15 Minuten für den Weg. Wann muss Emma spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
16:38 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 8 Fahrzeuge mit 18 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Bleistift kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 5,10 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
einzeln
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 8 Kästen liegen je 7 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
56 Bücher
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Lina hat 60 Karten, Noah hat 22 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
82 Karten

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
208 €, die Filmdauer brauche ich nicht
Die Tore im Finale fehlen
13 Minuten
den um 7:05 Uhr
los um 7:04 Uhr, an um 7:35 Uhr
62 Bücher
89 Sticker
147 Sticker
15:34 Uhr
14:57 Uhr
15:20 Uhr
3 Sechsertische
6 Hühner, 4 Kaninchen
14 Dreiräder
1,00 €
die Packung
Ja
15 Karten
20 Karten
41 Karten
157 Karten
150 Murmeln
281 Bücher
196 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
nicht lösbar
15 Minuten
12 m
15 Kinder
23 €
Der Preis für Erwachsene fehlt
den um 7:43 Uhr
102 Bücher
16:38 Uhr
2 Dreiräder
einzeln
56 Bücher
82 Karten
8:30 Uhr
700 ct