Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 7:30 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 45 min = 0 h 45 min
2. 7:30 + 0:45 = 8:15 Uhr
Ergebnis:
8:15 Uhr
●40
Rechne um: 3 kg in g.
Lösung zeigen
1. 1 kg = 1.000 g
2. 3 · 1.000 = 3.000 g
Ergebnis:
3.000 g

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 14 Tore geschossen. Zum Finale kamen 240 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 9 Spiele.
15 − 9 = 6
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Gebraucht: 9 Spiele.
15 − 9 = 6
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Ergebnis:

6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 25 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 110 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 25 Kinder und 6 € je Karte.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 25 Kinder und 6 € je Karte.
2. 25 · 6 € = 150 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
150 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●2
Die 5b fährt mit 25 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 95 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 25 Kinder und 9 € je Karte.
2. 25 · 9 € = 225 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
225 €, die Filmdauer brauche ich nicht
★3
Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 95 Minuten. Der Film beginnt um 8:15 Uhr. Wann ist er zu Ende, und welche Angaben brauchst du dafür nicht?
Lösung zeigen
1. 95 Minuten sind 1 Stunde und 35 Minuten.
2. 8:15 Uhr plus 95 Minuten: 9:50 Uhr
3. Nicht gebraucht: Anzahl der Kinder und Preis.
Ergebnis:
9:50 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:27 Uhr. Welchen Bus M29 muss Paul spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 7:27 Uhr: 7:14, 7:24 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:24 Uhr an.
Er fährt um 6:56 Uhr ab.

Ankunft vor 7:27 Uhr: 7:14, 7:24 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:24 Uhr an.
Er fährt um 6:56 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 6:56 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Der Unterricht beginnt um 7:50 Uhr. Welchen Bus 248 muss Sofia spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
So fängst du an:
Ankunft vor 7:50 Uhr: 6:54, 7:09, 7:24, 7:39 Uhr.
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:50 Uhr: 6:54, 7:09, 7:24, 7:39 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:39 Uhr an.
3. Er fährt um 7:24 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:24 Uhr
●5
Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:51 Uhr, an 7:18 Uhr.
2. Von 6:51 bis 7:18 Uhr sind es 27 Minuten.
Ergebnis:
27 Minuten
★6
Noah ist um 6:51 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Noah auf den nächsten Bus 100?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:09 Uhr.
2. Von 6:51 bis 7:09 Uhr sind es 18 Minuten.
Ergebnis:
18 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Ben hat 56 Sticker. Noah hat 30 Sticker mehr als Ben. Wie viele Sticker hat Noah?

Schritt für Schritt

Noah hat mehr: der Streifen von Noah ist länger
56 + 30 = 86

Noah hat mehr: der Streifen von Noah ist länger
56 + 30 = 86

Ergebnis:

86 Sticker

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Ela hat 66 Murmeln. Mia hat 16 Murmeln mehr als Ela. Wie viele Murmeln hat Mia?
So fängst du an:
Mia hat mehr: der Streifen von Mia ist länger
Lösung zeigen
1. Mia hat mehr: der Streifen von Mia ist länger
2. 66 + 16 = 82
Ergebnis:
82 Murmeln
●8
Noah hat 87 Karten. Tim hat 25 Karten mehr als Noah. Wie viele Karten hat Tim?
Lösung zeigen
1. Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
2. 87 + 25 = 112
Ergebnis:
112 Karten
★9
Aylin hat 629 Karten. Jonas hat 131 Karten mehr als Aylin. Wie viele Karten hat Jonas?
Lösung zeigen
1. Jonas hat mehr: der Streifen von Jonas ist länger
2. 629 + 131 = 760
Ergebnis:
760 Karten

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Paul braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 33 Minuten für den Weg. Wann muss Paul spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 16:07 Uhr.
Noch 33 Minuten früher: 15:34 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 16:07 Uhr.
Noch 33 Minuten früher: 15:34 Uhr.

Ergebnis:

15:34 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Can kauft ein Buch für 16 €. Danach bekommt Can 3 € geschenkt und hat jetzt 6 €. Wie viel Geld hatte Can am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 6 € − 3 € = 3 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 6 € − 3 € = 3 €
2. Dann den Kauf: 3 € + 16 € = 19 €
Ergebnis:
19 €
●11
Paul kauft ein Buch für 18 €. Danach bekommt Paul 5 € geschenkt und hat jetzt 22 €. Wie viel Geld hatte Paul am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 22 € − 5 € = 17 €
2. Dann den Kauf: 17 € + 18 € = 35 €
Ergebnis:
35 €
★12
Ben verschenkt 4 Sammelkarten. Dann verdoppelt sich die Sammlung durch ein Tauschspiel, und zuletzt kauft Ben noch 4 Karten dazu. Jetzt sind es 44. Wie viele Karten waren es am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts: 44 − 4 = 40
2. Verdoppeln rückgängig: 40 : 2 = 20
3. Verschenken rückgängig: 20 + 4 = 24
Ergebnis:
24 Karten

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 8 Fahrzeuge mit 19 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
5 Fahrräder und 3 Dreiräder: 5 · 2 + 3 · 3 = 19

Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
5 Fahrräder und 3 Dreiräder: 5 · 2 + 3 · 3 = 19

Ergebnis:

3 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Im Hof der Kita zählt Mia 7 Fahrzeuge und 17 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
2. Das passt genau.
3. 4 Fahrräder und 3 Dreiräder: 4 · 2 + 3 · 3 = 17
Ergebnis:
4 Fahrräder, 3 Dreiräder
●14
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 6 Tiere mit 22 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 1 Huhn und 5 Kaninchen: 1 · 2 + 5 · 4 = 22
Ergebnis:
5 Kaninchen
★15
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 12 Tische mit 56 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 6 Vierertische und 6 Sechsertische ergeben 60 Plätze.
2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 8 Vierertische und 4 Sechsertische: 8 · 4 + 4 · 6 = 56
Ergebnis:
4 Sechsertische

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Bleistift kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 6,90 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?

Schritt für Schritt

4 einzeln: 4 · 1,80 € = 7,20 €
Packung: 6,90 €
Die Packung ist günstiger.

4 einzeln: 4 · 1,80 € = 7,20 €
Packung: 6,90 €
Die Packung ist günstiger.

Ergebnis:

die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
2. Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,33 €
●17
Eine Saftflasche kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 6 Flaschen kostet 11,40 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 1,80 € = 10,80 €
2. Packung: 11,40 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
★18
Eine Fahrt kostet 3,00 €. Eine Monatskarte kostet 40,00 €. Jonas fährt im Monat 20-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 20 · 3,00 € = 60,00 €
2. Monatskarte: 40,00 €
3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
Ergebnis:
Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 4 Kästen liegen je 8 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?

Schritt für Schritt

4 gleiche Teile zu je 8, gesucht das Ganze
4 · 8 = 32

4 gleiche Teile zu je 8, gesucht das Ganze
4 · 8 = 32

Ergebnis:

32 Murmeln

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 6 Kästen liegen je 5 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
So fängst du an:
6 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 6 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
2. 6 · 5 = 30
Ergebnis:
30 Murmeln
●20
In 4 Kästen liegen je 6 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 4 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
2. 4 · 6 = 24
Ergebnis:
24 Karten
★21
351 Karten werden gleichmäßig auf 9 Kästen verteilt. Wie viele Karten kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 351, 9 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 351 : 9 = 39
Ergebnis:
39 Karten

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Mia hat 65 Murmeln, Aylin hat 57 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
65 + 57 = 122

Zwei Teile, gesucht das Ganze
65 + 57 = 122

Ergebnis:

122 Murmeln

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Ben hat 77 Murmeln, Ela hat 86 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 77 + 86 = 163
Ergebnis:
163 Murmeln
●23
Ela hat 27 Karten, Ben hat 26 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 27 + 26 = 53
Ergebnis:
53 Karten
★24
Tim und Aylin haben zusammen 526 Murmeln. Tim hat 320 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Aylin?
Lösung zeigen
1. Ganzes 526, ein Teil 320, gesucht der andere Teil
2. 526 − 320 = 206
Ergebnis:
206 Murmeln

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
26 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 7 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 26 Kinder und 4 €.
2. 26 · 4 € = 104 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
104 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
●26
Ein Regal hat 4 Böden mit je 10 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viele Bücher stehen im Regal? B: Wie viele Seiten hat das dickste Buch? C: Wie viel kostet ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 4 · 10 = 40.
3. Richtig ist A.
Ergebnis:
A, 40 Bücher
●27
Der Unterricht beginnt um 7:51 Uhr. Welchen Bus 248 muss Lina spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:51 Uhr: 7:08, 7:23, 7:38 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:38 Uhr an.
3. Er fährt um 7:25 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:25 Uhr
●28
Ein Zaun ist 110 m lang. Alle 10 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 110 : 10 = 11
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 11 + 1 = 12
Ergebnis:
12 Zaunpfähle
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Elias an 12. Stelle von vorn und an 9. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 11 Kinder, dann Elias, dahinter 8 Kinder.
2. 11 + 1 + 8 = 20
Ergebnis:
20 Kinder
●30
Sofia kauft ein Buch für 17 €. Danach bekommt Sofia 5 € geschenkt und hat jetzt 12 €. Wie viel Geld hatte Sofia am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 12 € − 5 € = 7 €
2. Dann den Kauf: 7 € + 17 € = 24 €
Ergebnis:
24 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 105 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
207 €, die Filmdauer brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 7:48 Uhr. Welchen Bus 100 muss Zeynep spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 7:24 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Ben hat 71 Karten. Noah hat 19 Karten mehr als Ben. Wie viele Karten hat Noah?
Lösung zeigen
Ergebnis:
90 Karten
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Zeynep kauft ein Buch für 15 €. Danach bekommt Zeynep 7 € geschenkt und hat jetzt 27 €. Wie viel Geld hatte Zeynep am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
35 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 9 Fahrzeuge mit 26 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
8 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Müsliriegel kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 10 Riegeln kostet 9,60 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Riegel braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
einzeln
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 8 Kästen liegen je 7 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
56 Murmeln
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Jonas hat 36 Bücher, Ben hat 46 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
82 Bücher

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

150 €, die Filmdauer brauche ich nicht
225 €, die Filmdauer brauche ich nicht
9:50 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht
den um 7:24 Uhr
27 Minuten
18 Minuten
82 Murmeln
112 Karten
760 Karten
19 €
35 €
24 Karten
4 Fahrräder, 3 Dreiräder
5 Kaninchen
4 Sechsertische
1,33 €
einzeln
Ja
30 Murmeln
24 Karten
39 Karten
163 Murmeln
53 Karten
206 Murmeln
104 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
A, 40 Bücher
den um 7:25 Uhr
12 Zaunpfähle
20 Kinder
24 €
207 €, die Filmdauer brauche ich nicht
den um 7:24 Uhr
90 Karten
35 €
8 Dreiräder
einzeln
56 Murmeln
82 Bücher
8:15 Uhr
3.000 g

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 7:30 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 45 min = 0 h 45 min
2. 7:30 + 0:45 = 8:15 Uhr
Ergebnis:
8:15 Uhr
●40
Rechne um: 3 kg in g.
Lösung zeigen
1. 1 kg = 1.000 g
2. 3 · 1.000 = 3.000 g
Ergebnis:
3.000 g

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 14 Tore geschossen. Zum Finale kamen 240 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 9 Spiele.
15 − 9 = 6
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Gebraucht: 9 Spiele.
15 − 9 = 6
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Ergebnis:

6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 25 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 110 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 25 Kinder und 6 € je Karte.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 25 Kinder und 6 € je Karte.
2. 25 · 6 € = 150 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
150 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●2
Die 5b fährt mit 25 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 95 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 25 Kinder und 9 € je Karte.
2. 25 · 9 € = 225 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
225 €, die Filmdauer brauche ich nicht
★3
Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 95 Minuten. Der Film beginnt um 8:15 Uhr. Wann ist er zu Ende, und welche Angaben brauchst du dafür nicht?
Lösung zeigen
1. 95 Minuten sind 1 Stunde und 35 Minuten.
2. 8:15 Uhr plus 95 Minuten: 9:50 Uhr
3. Nicht gebraucht: Anzahl der Kinder und Preis.
Ergebnis:
9:50 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:27 Uhr. Welchen Bus M29 muss Paul spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 7:27 Uhr: 7:14, 7:24 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:24 Uhr an.
Er fährt um 6:56 Uhr ab.

Ankunft vor 7:27 Uhr: 7:14, 7:24 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:24 Uhr an.
Er fährt um 6:56 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 6:56 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Der Unterricht beginnt um 7:50 Uhr. Welchen Bus 248 muss Sofia spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
So fängst du an:
Ankunft vor 7:50 Uhr: 6:54, 7:09, 7:24, 7:39 Uhr.
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:50 Uhr: 6:54, 7:09, 7:24, 7:39 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:39 Uhr an.
3. Er fährt um 7:24 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:24 Uhr
●5
Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:51 Uhr, an 7:18 Uhr.
2. Von 6:51 bis 7:18 Uhr sind es 27 Minuten.
Ergebnis:
27 Minuten
★6
Noah ist um 6:51 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Noah auf den nächsten Bus 100?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:09 Uhr.
2. Von 6:51 bis 7:09 Uhr sind es 18 Minuten.
Ergebnis:
18 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Ben hat 56 Sticker. Noah hat 30 Sticker mehr als Ben. Wie viele Sticker hat Noah?

Schritt für Schritt

Noah hat mehr: der Streifen von Noah ist länger
56 + 30 = 86

Noah hat mehr: der Streifen von Noah ist länger
56 + 30 = 86

Ergebnis:

86 Sticker

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Ela hat 66 Murmeln. Mia hat 16 Murmeln mehr als Ela. Wie viele Murmeln hat Mia?
So fängst du an:
Mia hat mehr: der Streifen von Mia ist länger
Lösung zeigen
1. Mia hat mehr: der Streifen von Mia ist länger
2. 66 + 16 = 82
Ergebnis:
82 Murmeln
●8
Noah hat 87 Karten. Tim hat 25 Karten mehr als Noah. Wie viele Karten hat Tim?
Lösung zeigen
1. Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
2. 87 + 25 = 112
Ergebnis:
112 Karten
★9
Aylin hat 629 Karten. Jonas hat 131 Karten mehr als Aylin. Wie viele Karten hat Jonas?
Lösung zeigen
1. Jonas hat mehr: der Streifen von Jonas ist länger
2. 629 + 131 = 760
Ergebnis:
760 Karten

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Paul braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 33 Minuten für den Weg. Wann muss Paul spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 16:07 Uhr.
Noch 33 Minuten früher: 15:34 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 16:07 Uhr.
Noch 33 Minuten früher: 15:34 Uhr.

Ergebnis:

15:34 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Can kauft ein Buch für 16 €. Danach bekommt Can 3 € geschenkt und hat jetzt 6 €. Wie viel Geld hatte Can am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 6 € − 3 € = 3 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 6 € − 3 € = 3 €
2. Dann den Kauf: 3 € + 16 € = 19 €
Ergebnis:
19 €
●11
Paul kauft ein Buch für 18 €. Danach bekommt Paul 5 € geschenkt und hat jetzt 22 €. Wie viel Geld hatte Paul am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 22 € − 5 € = 17 €
2. Dann den Kauf: 17 € + 18 € = 35 €
Ergebnis:
35 €
★12
Ben verschenkt 4 Sammelkarten. Dann verdoppelt sich die Sammlung durch ein Tauschspiel, und zuletzt kauft Ben noch 4 Karten dazu. Jetzt sind es 44. Wie viele Karten waren es am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts: 44 − 4 = 40
2. Verdoppeln rückgängig: 40 : 2 = 20
3. Verschenken rückgängig: 20 + 4 = 24
Ergebnis:
24 Karten

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 8 Fahrzeuge mit 19 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
5 Fahrräder und 3 Dreiräder: 5 · 2 + 3 · 3 = 19

Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
5 Fahrräder und 3 Dreiräder: 5 · 2 + 3 · 3 = 19

Ergebnis:

3 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Im Hof der Kita zählt Mia 7 Fahrzeuge und 17 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
2. Das passt genau.
3. 4 Fahrräder und 3 Dreiräder: 4 · 2 + 3 · 3 = 17
Ergebnis:
4 Fahrräder, 3 Dreiräder
●14
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 6 Tiere mit 22 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 1 Huhn und 5 Kaninchen: 1 · 2 + 5 · 4 = 22
Ergebnis:
5 Kaninchen
★15
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 12 Tische mit 56 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 6 Vierertische und 6 Sechsertische ergeben 60 Plätze.
2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 8 Vierertische und 4 Sechsertische: 8 · 4 + 4 · 6 = 56
Ergebnis:
4 Sechsertische

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Bleistift kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 6,90 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?

Schritt für Schritt

4 einzeln: 4 · 1,80 € = 7,20 €
Packung: 6,90 €
Die Packung ist günstiger.

4 einzeln: 4 · 1,80 € = 7,20 €
Packung: 6,90 €
Die Packung ist günstiger.

Ergebnis:

die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
2. Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,33 €
●17
Eine Saftflasche kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 6 Flaschen kostet 11,40 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 1,80 € = 10,80 €
2. Packung: 11,40 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
★18
Eine Fahrt kostet 3,00 €. Eine Monatskarte kostet 40,00 €. Jonas fährt im Monat 20-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 20 · 3,00 € = 60,00 €
2. Monatskarte: 40,00 €
3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
Ergebnis:
Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 4 Kästen liegen je 8 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?

Schritt für Schritt

4 gleiche Teile zu je 8, gesucht das Ganze
4 · 8 = 32

4 gleiche Teile zu je 8, gesucht das Ganze
4 · 8 = 32

Ergebnis:

32 Murmeln

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 6 Kästen liegen je 5 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
So fängst du an:
6 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 6 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
2. 6 · 5 = 30
Ergebnis:
30 Murmeln
●20
In 4 Kästen liegen je 6 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 4 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
2. 4 · 6 = 24
Ergebnis:
24 Karten
★21
351 Karten werden gleichmäßig auf 9 Kästen verteilt. Wie viele Karten kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 351, 9 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 351 : 9 = 39
Ergebnis:
39 Karten

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Mia hat 65 Murmeln, Aylin hat 57 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
65 + 57 = 122

Zwei Teile, gesucht das Ganze
65 + 57 = 122

Ergebnis:

122 Murmeln

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Ben hat 77 Murmeln, Ela hat 86 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 77 + 86 = 163
Ergebnis:
163 Murmeln
●23
Ela hat 27 Karten, Ben hat 26 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 27 + 26 = 53
Ergebnis:
53 Karten
★24
Tim und Aylin haben zusammen 526 Murmeln. Tim hat 320 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Aylin?
Lösung zeigen
1. Ganzes 526, ein Teil 320, gesucht der andere Teil
2. 526 − 320 = 206
Ergebnis:
206 Murmeln

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
26 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 7 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 26 Kinder und 4 €.
2. 26 · 4 € = 104 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
104 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
●26
Ein Regal hat 4 Böden mit je 10 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viele Bücher stehen im Regal? B: Wie viele Seiten hat das dickste Buch? C: Wie viel kostet ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 4 · 10 = 40.
3. Richtig ist A.
Ergebnis:
A, 40 Bücher
●27
Der Unterricht beginnt um 7:51 Uhr. Welchen Bus 248 muss Lina spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:51 Uhr: 7:08, 7:23, 7:38 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:38 Uhr an.
3. Er fährt um 7:25 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:25 Uhr
●28
Ein Zaun ist 110 m lang. Alle 10 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 110 : 10 = 11
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 11 + 1 = 12
Ergebnis:
12 Zaunpfähle
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Elias an 12. Stelle von vorn und an 9. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 11 Kinder, dann Elias, dahinter 8 Kinder.
2. 11 + 1 + 8 = 20
Ergebnis:
20 Kinder
●30
Sofia kauft ein Buch für 17 €. Danach bekommt Sofia 5 € geschenkt und hat jetzt 12 €. Wie viel Geld hatte Sofia am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 12 € − 5 € = 7 €
2. Dann den Kauf: 7 € + 17 € = 24 €
Ergebnis:
24 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 105 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
207 €, die Filmdauer brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 7:48 Uhr. Welchen Bus 100 muss Zeynep spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 7:24 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Ben hat 71 Karten. Noah hat 19 Karten mehr als Ben. Wie viele Karten hat Noah?
Lösung zeigen
Ergebnis:
90 Karten
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Zeynep kauft ein Buch für 15 €. Danach bekommt Zeynep 7 € geschenkt und hat jetzt 27 €. Wie viel Geld hatte Zeynep am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
35 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 9 Fahrzeuge mit 26 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
8 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Müsliriegel kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 10 Riegeln kostet 9,60 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Riegel braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
einzeln
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 8 Kästen liegen je 7 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
56 Murmeln
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Jonas hat 36 Bücher, Ben hat 46 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
82 Bücher

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

150 €, die Filmdauer brauche ich nicht
225 €, die Filmdauer brauche ich nicht
9:50 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht
den um 7:24 Uhr
27 Minuten
18 Minuten
82 Murmeln
112 Karten
760 Karten
19 €
35 €
24 Karten
4 Fahrräder, 3 Dreiräder
5 Kaninchen
4 Sechsertische
1,33 €
einzeln
Ja
30 Murmeln
24 Karten
39 Karten
163 Murmeln
53 Karten
206 Murmeln
104 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
A, 40 Bücher
den um 7:25 Uhr
12 Zaunpfähle
20 Kinder
24 €
207 €, die Filmdauer brauche ich nicht
den um 7:24 Uhr
90 Karten
35 €
8 Dreiräder
einzeln
56 Murmeln
82 Bücher
8:15 Uhr
3.000 g