Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:00 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 45 min = 0 h 45 min
2. 8:00 + 0:45 = 8:45 Uhr
Ergebnis:
8:45 Uhr
●40
Rechne um: 15 h in min.
Lösung zeigen
1. 1 h = 60 min
2. 15 · 60 = 900 min
Ergebnis:
900 min

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 24 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 120 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 120 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 120 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Ergebnis:

Der Beginn des Films fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 105 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 105 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
●2
Die 5b fährt mit 27 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 110 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 27 Kinder und 5 € je Karte.
2. 27 · 5 € = 135 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
135 €, die Filmdauer brauche ich nicht
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 18 Tore geschossen. Zum Finale kamen 147 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 12 Spiele.
2. 15 − 12 = 3
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:50 Uhr. Welchen Bus M29 muss Lea spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 7:50 Uhr: 6:58, 7:13, 7:28, 7:43 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:43 Uhr an.
Er fährt um 7:28 Uhr ab.

Ankunft vor 7:50 Uhr: 6:58, 7:13, 7:28, 7:43 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:43 Uhr an.
Er fährt um 7:28 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 7:28 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
So fängst du an:
Zum Beispiel: ab 6:46 Uhr, an 7:05 Uhr.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:46 Uhr, an 7:05 Uhr.
2. Von 6:46 bis 7:05 Uhr sind es 19 Minuten.
Ergebnis:
19 Minuten
●5
Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:51 Uhr, an 7:11 Uhr.
2. Von 6:51 bis 7:11 Uhr sind es 20 Minuten.
Ergebnis:
20 Minuten
★6
Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:39 Uhr, an 6:56 Uhr.
2. Von 6:39 bis 6:56 Uhr sind es 17 Minuten.
Ergebnis:
17 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Aylin hat 79 Murmeln. Ela hat 28 Murmeln weniger als Aylin. Wie viele Murmeln hat Ela?

Schritt für Schritt

Ela hat weniger: der Streifen von Ela ist kürzer
79 − 28 = 51

Ela hat weniger: der Streifen von Ela ist kürzer
79 − 28 = 51

Ergebnis:

51 Murmeln

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Aylin hat 61 Murmeln. Lina hat 16 Murmeln mehr als Aylin. Wie viele Murmeln hat Lina?
So fängst du an:
Lina hat mehr: der Streifen von Lina ist länger
Lösung zeigen
1. Lina hat mehr: der Streifen von Lina ist länger
2. 61 + 16 = 77
Ergebnis:
77 Murmeln
●8
Jonas hat 75 Bücher. Ben hat 30 Bücher mehr als Jonas. Wie viele Bücher hat Ben?
Lösung zeigen
1. Ben hat mehr: der Streifen von Ben ist länger
2. 75 + 30 = 105
Ergebnis:
105 Bücher
★9
Noah hat 774 Bücher, Ela hat 592 Bücher. Wie viele Bücher hat Noah mehr?
Lösung zeigen
1. Der Unterschied ist der Rest zwischen den Streifen
2. 774 − 592 = 182
Ergebnis:
182 Bücher

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Hanna kauft ein Buch für 16 €. Danach bekommt Hanna 6 € geschenkt und hat jetzt 31 €. Wie viel Geld hatte Hanna am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 31 € − 6 € = 25 €
Dann den Kauf: 25 € + 16 € = 41 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 31 € − 6 € = 25 €
Dann den Kauf: 25 € + 16 € = 41 €

Ergebnis:

41 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Paul kauft ein Buch für 17 €. Danach bekommt Paul 8 € geschenkt und hat jetzt 32 €. Wie viel Geld hatte Paul am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 32 € − 8 € = 24 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 32 € − 8 € = 24 €
2. Dann den Kauf: 24 € + 17 € = 41 €
Ergebnis:
41 €
●11
Noah kauft ein Buch für 8 €. Danach bekommt Noah 9 € geschenkt und hat jetzt 25 €. Wie viel Geld hatte Noah am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 25 € − 9 € = 16 €
2. Dann den Kauf: 16 € + 8 € = 24 €
Ergebnis:
24 €
★12
Elias kauft ein Buch für 6 €. Danach bekommt Elias 12 € geschenkt und hat jetzt 23 €. Wie viel Geld hatte Elias am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 23 € − 12 € = 11 €
2. Dann den Kauf: 11 € + 6 € = 17 €
Ergebnis:
17 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 5 Fahrzeuge mit 14 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
1 Fahrrad und 4 Dreiräder: 1 · 2 + 4 · 3 = 14

Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
1 Fahrrad und 4 Dreiräder: 1 · 2 + 4 · 3 = 14

Ergebnis:

4 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Im Hof der Kita zählt Lea 8 Fahrzeuge und 20 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
2. Das passt genau.
3. 4 Fahrräder und 4 Dreiräder: 4 · 2 + 4 · 3 = 20
Ergebnis:
4 Fahrräder, 4 Dreiräder
●14
In der Mensa zählt Jonas 5 Tische und 28 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 1 Vierertisch und 4 Sechsertische: 1 · 4 + 4 · 6 = 28
Ergebnis:
1 Vierertisch, 4 Sechsertische
★15
Im Hof der Kita zählt Can 10 Fahrzeuge und 28 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 2 Fahrräder und 8 Dreiräder: 2 · 2 + 8 · 3 = 28
Ergebnis:
2 Fahrräder, 8 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €

Ergebnis:

0,80 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Tennisball kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 10 Bällen kostet 18,30 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bälle braucht?
So fängst du an:
10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
2. Packung: 18,30 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €
★18
Eine Saftflasche kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 6 Flaschen kostet 4,80 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 0,90 € = 5,40 €
2. Packung: 4,80 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 5 Kästen liegen je 5 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?

Schritt für Schritt

5 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
5 · 5 = 25

5 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
5 · 5 = 25

Ergebnis:

25 Bücher

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 5 Kästen liegen je 6 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
So fängst du an:
5 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 5 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
2. 5 · 6 = 30
Ergebnis:
30 Sticker
●20
In 5 Kästen liegen je 6 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 5 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
2. 5 · 6 = 30
Ergebnis:
30 Bücher
★21
308 Sticker werden gleichmäßig auf 11 Kästen verteilt. Wie viele Sticker kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 308, 11 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 308 : 11 = 28
Ergebnis:
28 Sticker

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Jonas hat 60 Bücher, Ben hat 81 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
60 + 81 = 141

Zwei Teile, gesucht das Ganze
60 + 81 = 141

Ergebnis:

141 Bücher

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Aylin hat 75 Murmeln, Noah hat 30 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 75 + 30 = 105
Ergebnis:
105 Murmeln
●23
Mia hat 58 Murmeln, Aylin hat 44 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 58 + 44 = 102
Ergebnis:
102 Murmeln
★24
Ela und Aylin haben zusammen 755 Sticker. Ela hat 419 Sticker. Wie viele Sticker hat Aylin?
Lösung zeigen
1. Ganzes 755, ein Teil 419, gesucht der andere Teil
2. 755 − 419 = 336
Ergebnis:
336 Sticker

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die 5b fährt mit 30 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 95 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 30 Kinder und 9 € je Karte.
2. 30 · 9 € = 270 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
270 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●26
Ein Regal hat 9 Böden. Auf jedem stehen 20 Bücher. Wie viele Seiten hat ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: 9 Böden, 20 Bücher je Boden.
2. Über die Seiten steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Milan sagt: „60 m Zaun mit einem Pfahl alle 10 m braucht 6 Pfähle.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. 60 : 10 = 6 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 7.
Ergebnis:
Nein, 7 Pfähle
●28
Im Kino sitzt Emma auf Platz 4 von links. Zwischen Emma und Lina sitzen 1 Kinder, Lina sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Lina?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 4 ist Emma, dann 1 Plätze dazwischen.
2. 4 + 1 + 1 = 6
Ergebnis:
Platz 6
●29
Can kauft ein Buch für 10 €. Danach bekommt Can 12 € geschenkt und hat jetzt 17 €. Wie viel Geld hatte Can am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 17 € − 12 € = 5 €
2. Dann den Kauf: 5 € + 10 € = 15 €
Ergebnis:
15 €
●30
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 7 Fahrzeuge mit 20 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 1 Fahrrad und 6 Dreiräder: 1 · 2 + 6 · 3 = 20
Ergebnis:
6 Dreiräder

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
24 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 10 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
168 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 7:33 Uhr. Welchen Bus M29 muss Emma spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 6:58 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Noah hat 57 Bücher. Jonas hat 22 Bücher mehr als Noah. Wie viele Bücher hat Jonas?
Lösung zeigen
Ergebnis:
79 Bücher
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Emma braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 27 Minuten für den Weg. Wann muss Emma spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
16:25 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere mit 28 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
6 Kaninchen
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,67 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 6 Kästen liegen je 6 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
36 Murmeln
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Mia hat 88 Bücher, Tim hat 46 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
134 Bücher

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Der Beginn des Films fehlt
135 €, die Filmdauer brauche ich nicht
3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
19 Minuten
20 Minuten
17 Minuten
77 Murmeln
105 Bücher
182 Bücher
41 €
24 €
17 €
4 Fahrräder, 4 Dreiräder
1 Vierertisch, 4 Sechsertische
2 Fahrräder, 8 Dreiräder
einzeln
1,67 €
die Packung
30 Sticker
30 Bücher
28 Sticker
105 Murmeln
102 Murmeln
336 Sticker
270 €, die Filmdauer brauche ich nicht
nicht lösbar
Nein, 7 Pfähle
Platz 6
15 €
6 Dreiräder
168 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
den um 6:58 Uhr
79 Bücher
16:25 Uhr
6 Kaninchen
1,67 €
36 Murmeln
134 Bücher
8:45 Uhr
900 min

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:00 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 45 min = 0 h 45 min
2. 8:00 + 0:45 = 8:45 Uhr
Ergebnis:
8:45 Uhr
●40
Rechne um: 15 h in min.
Lösung zeigen
1. 1 h = 60 min
2. 15 · 60 = 900 min
Ergebnis:
900 min

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 24 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 120 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 120 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 120 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Ergebnis:

Der Beginn des Films fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 105 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 105 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
●2
Die 5b fährt mit 27 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 110 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 27 Kinder und 5 € je Karte.
2. 27 · 5 € = 135 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
135 €, die Filmdauer brauche ich nicht
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 18 Tore geschossen. Zum Finale kamen 147 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 12 Spiele.
2. 15 − 12 = 3
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:50 Uhr. Welchen Bus M29 muss Lea spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 7:50 Uhr: 6:58, 7:13, 7:28, 7:43 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:43 Uhr an.
Er fährt um 7:28 Uhr ab.

Ankunft vor 7:50 Uhr: 6:58, 7:13, 7:28, 7:43 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:43 Uhr an.
Er fährt um 7:28 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 7:28 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
So fängst du an:
Zum Beispiel: ab 6:46 Uhr, an 7:05 Uhr.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:46 Uhr, an 7:05 Uhr.
2. Von 6:46 bis 7:05 Uhr sind es 19 Minuten.
Ergebnis:
19 Minuten
●5
Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:51 Uhr, an 7:11 Uhr.
2. Von 6:51 bis 7:11 Uhr sind es 20 Minuten.
Ergebnis:
20 Minuten
★6
Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:39 Uhr, an 6:56 Uhr.
2. Von 6:39 bis 6:56 Uhr sind es 17 Minuten.
Ergebnis:
17 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Aylin hat 79 Murmeln. Ela hat 28 Murmeln weniger als Aylin. Wie viele Murmeln hat Ela?

Schritt für Schritt

Ela hat weniger: der Streifen von Ela ist kürzer
79 − 28 = 51

Ela hat weniger: der Streifen von Ela ist kürzer
79 − 28 = 51

Ergebnis:

51 Murmeln

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Aylin hat 61 Murmeln. Lina hat 16 Murmeln mehr als Aylin. Wie viele Murmeln hat Lina?
So fängst du an:
Lina hat mehr: der Streifen von Lina ist länger
Lösung zeigen
1. Lina hat mehr: der Streifen von Lina ist länger
2. 61 + 16 = 77
Ergebnis:
77 Murmeln
●8
Jonas hat 75 Bücher. Ben hat 30 Bücher mehr als Jonas. Wie viele Bücher hat Ben?
Lösung zeigen
1. Ben hat mehr: der Streifen von Ben ist länger
2. 75 + 30 = 105
Ergebnis:
105 Bücher
★9
Noah hat 774 Bücher, Ela hat 592 Bücher. Wie viele Bücher hat Noah mehr?
Lösung zeigen
1. Der Unterschied ist der Rest zwischen den Streifen
2. 774 − 592 = 182
Ergebnis:
182 Bücher

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Hanna kauft ein Buch für 16 €. Danach bekommt Hanna 6 € geschenkt und hat jetzt 31 €. Wie viel Geld hatte Hanna am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 31 € − 6 € = 25 €
Dann den Kauf: 25 € + 16 € = 41 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 31 € − 6 € = 25 €
Dann den Kauf: 25 € + 16 € = 41 €

Ergebnis:

41 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Paul kauft ein Buch für 17 €. Danach bekommt Paul 8 € geschenkt und hat jetzt 32 €. Wie viel Geld hatte Paul am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 32 € − 8 € = 24 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 32 € − 8 € = 24 €
2. Dann den Kauf: 24 € + 17 € = 41 €
Ergebnis:
41 €
●11
Noah kauft ein Buch für 8 €. Danach bekommt Noah 9 € geschenkt und hat jetzt 25 €. Wie viel Geld hatte Noah am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 25 € − 9 € = 16 €
2. Dann den Kauf: 16 € + 8 € = 24 €
Ergebnis:
24 €
★12
Elias kauft ein Buch für 6 €. Danach bekommt Elias 12 € geschenkt und hat jetzt 23 €. Wie viel Geld hatte Elias am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 23 € − 12 € = 11 €
2. Dann den Kauf: 11 € + 6 € = 17 €
Ergebnis:
17 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 5 Fahrzeuge mit 14 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
1 Fahrrad und 4 Dreiräder: 1 · 2 + 4 · 3 = 14

Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
1 Fahrrad und 4 Dreiräder: 1 · 2 + 4 · 3 = 14

Ergebnis:

4 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Im Hof der Kita zählt Lea 8 Fahrzeuge und 20 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
2. Das passt genau.
3. 4 Fahrräder und 4 Dreiräder: 4 · 2 + 4 · 3 = 20
Ergebnis:
4 Fahrräder, 4 Dreiräder
●14
In der Mensa zählt Jonas 5 Tische und 28 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 1 Vierertisch und 4 Sechsertische: 1 · 4 + 4 · 6 = 28
Ergebnis:
1 Vierertisch, 4 Sechsertische
★15
Im Hof der Kita zählt Can 10 Fahrzeuge und 28 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 2 Fahrräder und 8 Dreiräder: 2 · 2 + 8 · 3 = 28
Ergebnis:
2 Fahrräder, 8 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €

Ergebnis:

0,80 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Tennisball kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 10 Bällen kostet 18,30 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bälle braucht?
So fängst du an:
10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
2. Packung: 18,30 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €
★18
Eine Saftflasche kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 6 Flaschen kostet 4,80 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 0,90 € = 5,40 €
2. Packung: 4,80 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 5 Kästen liegen je 5 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?

Schritt für Schritt

5 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
5 · 5 = 25

5 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
5 · 5 = 25

Ergebnis:

25 Bücher

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 5 Kästen liegen je 6 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
So fängst du an:
5 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 5 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
2. 5 · 6 = 30
Ergebnis:
30 Sticker
●20
In 5 Kästen liegen je 6 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 5 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
2. 5 · 6 = 30
Ergebnis:
30 Bücher
★21
308 Sticker werden gleichmäßig auf 11 Kästen verteilt. Wie viele Sticker kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 308, 11 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 308 : 11 = 28
Ergebnis:
28 Sticker

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Jonas hat 60 Bücher, Ben hat 81 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
60 + 81 = 141

Zwei Teile, gesucht das Ganze
60 + 81 = 141

Ergebnis:

141 Bücher

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Aylin hat 75 Murmeln, Noah hat 30 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 75 + 30 = 105
Ergebnis:
105 Murmeln
●23
Mia hat 58 Murmeln, Aylin hat 44 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 58 + 44 = 102
Ergebnis:
102 Murmeln
★24
Ela und Aylin haben zusammen 755 Sticker. Ela hat 419 Sticker. Wie viele Sticker hat Aylin?
Lösung zeigen
1. Ganzes 755, ein Teil 419, gesucht der andere Teil
2. 755 − 419 = 336
Ergebnis:
336 Sticker

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die 5b fährt mit 30 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 95 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 30 Kinder und 9 € je Karte.
2. 30 · 9 € = 270 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
270 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●26
Ein Regal hat 9 Böden. Auf jedem stehen 20 Bücher. Wie viele Seiten hat ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: 9 Böden, 20 Bücher je Boden.
2. Über die Seiten steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Milan sagt: „60 m Zaun mit einem Pfahl alle 10 m braucht 6 Pfähle.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. 60 : 10 = 6 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 7.
Ergebnis:
Nein, 7 Pfähle
●28
Im Kino sitzt Emma auf Platz 4 von links. Zwischen Emma und Lina sitzen 1 Kinder, Lina sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Lina?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 4 ist Emma, dann 1 Plätze dazwischen.
2. 4 + 1 + 1 = 6
Ergebnis:
Platz 6
●29
Can kauft ein Buch für 10 €. Danach bekommt Can 12 € geschenkt und hat jetzt 17 €. Wie viel Geld hatte Can am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 17 € − 12 € = 5 €
2. Dann den Kauf: 5 € + 10 € = 15 €
Ergebnis:
15 €
●30
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 7 Fahrzeuge mit 20 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 1 Fahrrad und 6 Dreiräder: 1 · 2 + 6 · 3 = 20
Ergebnis:
6 Dreiräder

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
24 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 10 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
168 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 7:33 Uhr. Welchen Bus M29 muss Emma spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 6:58 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Noah hat 57 Bücher. Jonas hat 22 Bücher mehr als Noah. Wie viele Bücher hat Jonas?
Lösung zeigen
Ergebnis:
79 Bücher
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Emma braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 27 Minuten für den Weg. Wann muss Emma spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
16:25 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere mit 28 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
6 Kaninchen
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,67 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 6 Kästen liegen je 6 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
36 Murmeln
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Mia hat 88 Bücher, Tim hat 46 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
134 Bücher

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

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Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Der Beginn des Films fehlt
135 €, die Filmdauer brauche ich nicht
3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
19 Minuten
20 Minuten
17 Minuten
77 Murmeln
105 Bücher
182 Bücher
41 €
24 €
17 €
4 Fahrräder, 4 Dreiräder
1 Vierertisch, 4 Sechsertische
2 Fahrräder, 8 Dreiräder
einzeln
1,67 €
die Packung
30 Sticker
30 Bücher
28 Sticker
105 Murmeln
102 Murmeln
336 Sticker
270 €, die Filmdauer brauche ich nicht
nicht lösbar
Nein, 7 Pfähle
Platz 6
15 €
6 Dreiräder
168 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
den um 6:58 Uhr
79 Bücher
16:25 Uhr
6 Kaninchen
1,67 €
36 Murmeln
134 Bücher
8:45 Uhr
900 min