Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:15 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 90 min = 1 h 30 min
2. 8:15 + 1:30 = 9:45 Uhr
Ergebnis:
9:45 Uhr
●40
Rechne um: 9 m in dm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 10 dm
2. 9 · 10 = 90 dm
Ergebnis:
90 dm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 25 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 105 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 25 Kinder und 6 € je Karte.
25 · 6 € = 150 €
Nicht gebraucht: die Filmdauer.

Gebraucht: 25 Kinder und 6 € je Karte.
25 · 6 € = 150 €
Nicht gebraucht: die Filmdauer.

Ergebnis:

150 €, die Filmdauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 26 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 26 Kinder und 9 € je Karte.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 26 Kinder und 9 € je Karte.
2. 26 · 9 € = 234 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
234 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●2
24 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 11 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 3.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
★3
Die 5b fährt mit 26 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 95 Minuten. Der Film beginnt um 8:30 Uhr. Wann ist er zu Ende, und welche Angaben brauchst du dafür nicht?
Lösung zeigen
1. 95 Minuten sind 1 Stunde und 35 Minuten.
2. 8:30 Uhr plus 95 Minuten: 10:05 Uhr
3. Nicht gebraucht: Anzahl der Kinder und Preis.
Ergebnis:
10:05 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.

Schritt für Schritt

Zum Beispiel: ab 6:42 Uhr, an 7:08 Uhr.
Von 6:42 bis 7:08 Uhr sind es 26 Minuten.

Zum Beispiel: ab 6:42 Uhr, an 7:08 Uhr.
Von 6:42 bis 7:08 Uhr sind es 26 Minuten.

Ergebnis:

26 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Noah ist um 6:46 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Noah auf den nächsten Bus X34?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 6:51 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:51 Uhr.
2. Von 6:46 bis 6:51 Uhr sind es 5 Minuten.
Ergebnis:
5 Minuten
●5
Der Unterricht beginnt um 7:58 Uhr. Welchen Bus M29 muss Mia spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:58 Uhr: 7:05, 7:25, 7:45 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:45 Uhr an.
3. Er fährt um 7:27 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:27 Uhr
★6
Der Unterricht beginnt um 8:27 Uhr. Welchen Bus 248 muss Can spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 8:27 Uhr: 7:10, 7:30, 7:50, 8:10 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 8:10 Uhr an.
3. Er fährt um 7:48 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:48 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Lina hat 88 Bücher. Aylin hat 25 Bücher weniger als Lina. Wie viele Bücher hat Aylin?

Schritt für Schritt

Aylin hat weniger: der Streifen von Aylin ist kürzer
88 − 25 = 63

Aylin hat weniger: der Streifen von Aylin ist kürzer
88 − 25 = 63

Ergebnis:

63 Bücher

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Tim hat 53 Sticker. Mia hat 10 Sticker mehr als Tim. Wie viele Sticker hat Mia?
So fängst du an:
Mia hat mehr: der Streifen von Mia ist länger
Lösung zeigen
1. Mia hat mehr: der Streifen von Mia ist länger
2. 53 + 10 = 63
Ergebnis:
63 Sticker
●8
Tim hat 43 Murmeln. Lina hat 27 Murmeln mehr als Tim. Wie viele Murmeln hat Lina?
Lösung zeigen
1. Lina hat mehr: der Streifen von Lina ist länger
2. 43 + 27 = 70
Ergebnis:
70 Murmeln
★9
Lina hat 466 Murmeln, Aylin hat 596 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Aylin mehr?
Lösung zeigen
1. Der Unterschied ist der Rest zwischen den Streifen
2. 596 − 466 = 130
Ergebnis:
130 Murmeln

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Mia braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 22 Minuten für den Weg. Wann muss Mia spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 16:51 Uhr.
Noch 22 Minuten früher: 16:29 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 16:51 Uhr.
Noch 22 Minuten früher: 16:29 Uhr.

Ergebnis:

16:29 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Hanna kauft ein Buch für 10 €. Danach bekommt Hanna 11 € geschenkt und hat jetzt 17 €. Wie viel Geld hatte Hanna am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 17 € − 11 € = 6 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 17 € − 11 € = 6 €
2. Dann den Kauf: 6 € + 10 € = 16 €
Ergebnis:
16 €
●11
Can kauft ein Buch für 6 €. Danach bekommt Can 6 € geschenkt und hat jetzt 8 €. Wie viel Geld hatte Can am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 8 € − 6 € = 2 €
2. Dann den Kauf: 2 € + 6 € = 8 €
Ergebnis:
8 €
★12
Paul kauft ein Buch für 15 €. Danach bekommt Paul 9 € geschenkt und hat jetzt 33 €. Wie viel Geld hatte Paul am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 33 € − 9 € = 24 €
2. Dann den Kauf: 24 € + 15 € = 39 €
Ergebnis:
39 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof zählt Tom 7 Tiere und 18 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
5 Hühner und 2 Kaninchen: 5 · 2 + 2 · 4 = 18

Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
5 Hühner und 2 Kaninchen: 5 · 2 + 2 · 4 = 18

Ergebnis:

5 Hühner, 2 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 6 Tiere mit 14 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 5 Hühner und 1 Kaninchen: 5 · 2 + 1 · 4 = 14
Ergebnis:
1 Kaninchen
●14
In der Mensa zählt Tom 8 Tische und 46 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 1 Vierertisch und 7 Sechsertische: 1 · 4 + 7 · 6 = 46
Ergebnis:
1 Vierertisch, 7 Sechsertische
★15
Im Hof der Kita zählt Lea 11 Fahrzeuge und 26 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 6 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 27 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 7 Fahrräder und 4 Dreiräder: 7 · 2 + 4 · 3 = 26
Ergebnis:
7 Fahrräder, 4 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €

Ergebnis:

1,00 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Bleistift kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 10 Bleistiften kostet 24,00 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bleistifte braucht?
So fängst du an:
10 einzeln: 10 · 2,50 € = 25,00 €
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 2,50 € = 25,00 €
2. Packung: 24,00 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
●17
Eine Saftflasche kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 11,40 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 1,20 € = 12,00 €
2. Packung: 11,40 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Eine Fahrt kostet 2,80 €. Eine Monatskarte kostet 40,00 €. Jonas fährt im Monat 23-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 23 · 2,80 € = 64,40 €
2. Monatskarte: 40,00 €
3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
Ergebnis:
Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 4 Kästen liegen je 4 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?

Schritt für Schritt

4 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
4 · 4 = 16

4 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
4 · 4 = 16

Ergebnis:

16 Bücher

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 4 Kästen liegen je 7 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
So fängst du an:
4 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 4 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
2. 4 · 7 = 28
Ergebnis:
28 Murmeln
●20
In 5 Kästen liegen je 5 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 5 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
2. 5 · 5 = 25
Ergebnis:
25 Murmeln
★21
270 Sticker werden gleichmäßig auf 10 Kästen verteilt. Wie viele Sticker kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 270, 10 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 270 : 10 = 27
Ergebnis:
27 Sticker

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Ela hat 49 Sticker, Lina hat 52 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
49 + 52 = 101

Zwei Teile, gesucht das Ganze
49 + 52 = 101

Ergebnis:

101 Sticker

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Noah hat 72 Murmeln, Mia hat 30 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 72 + 30 = 102
Ergebnis:
102 Murmeln
●23
Ben hat 47 Bücher, Tim hat 58 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 47 + 58 = 105
Ergebnis:
105 Bücher
★24
Jonas und Lina haben zusammen 657 Bücher. Jonas hat 474 Bücher. Wie viele Bücher hat Lina?
Lösung zeigen
1. Ganzes 657, ein Teil 474, gesucht der andere Teil
2. 657 − 474 = 183
Ergebnis:
183 Bücher

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die 5b fährt mit 26 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 110 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 26 Kinder und 9 € je Karte.
2. 26 · 9 € = 234 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
234 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●26
In der Klasse sind 25 Kinder. Sie spielen in 5 Teams. Wie viele Tore fallen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. Über Tore steht nichts im Text.
2. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Can ist um 6:59 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Can auf den nächsten Bus 100?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:02 Uhr.
2. Von 6:59 bis 7:02 Uhr sind es 3 Minuten.
Ergebnis:
3 Minuten
●28
An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Noah sagt: „110 m Zaun mit einem Pfahl alle 10 m braucht 11 Pfähle.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. 110 : 10 = 11 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 12.
Ergebnis:
Nein, 12 Pfähle
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Milan an 5. Stelle von vorn und an 8. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 4 Kinder, dann Milan, dahinter 7 Kinder.
2. 4 + 1 + 7 = 12
Ergebnis:
12 Kinder
●30
Paul kauft ein Buch für 10 €. Danach bekommt Paul 12 € geschenkt und hat jetzt 30 €. Wie viel Geld hatte Paul am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 30 € − 12 € = 18 €
2. Dann den Kauf: 18 € + 10 € = 28 €
Ergebnis:
28 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
29 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 10 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
174 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 8:22 Uhr. Welchen Bus 248 muss Ben spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 7:52 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Ben hat 76 Sticker. Mia hat 13 Sticker mehr als Ben. Wie viele Sticker hat Mia?
Lösung zeigen
Ergebnis:
89 Sticker
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Can kauft ein Buch für 10 €. Danach bekommt Can 3 € geschenkt und hat jetzt 13 €. Wie viel Geld hatte Can am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
20 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
In der Mensa zählt Can 6 Tische und 28 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
4 Vierertische, 2 Sechsertische
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,80 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 3 Kästen liegen je 4 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
12 Murmeln
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Jonas hat 84 Karten, Ela hat 89 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
173 Karten

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

234 €, die Filmdauer brauche ich nicht
Der Preis für Erwachsene fehlt
10:05 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht
5 Minuten
den um 7:27 Uhr
den um 7:48 Uhr
63 Sticker
70 Murmeln
130 Murmeln
16 €
8 €
39 €
1 Kaninchen
1 Vierertisch, 7 Sechsertische
7 Fahrräder, 4 Dreiräder
die Packung
die Packung
Ja
28 Murmeln
25 Murmeln
27 Sticker
102 Murmeln
105 Bücher
183 Bücher
234 €, die Filmdauer brauche ich nicht
nicht lösbar
3 Minuten
Nein, 12 Pfähle
12 Kinder
28 €
174 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
den um 7:52 Uhr
89 Sticker
20 €
4 Vierertische, 2 Sechsertische
0,80 €
12 Murmeln
173 Karten
9:45 Uhr
90 dm

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:15 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 90 min = 1 h 30 min
2. 8:15 + 1:30 = 9:45 Uhr
Ergebnis:
9:45 Uhr
●40
Rechne um: 9 m in dm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 10 dm
2. 9 · 10 = 90 dm
Ergebnis:
90 dm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 25 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 105 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 25 Kinder und 6 € je Karte.
25 · 6 € = 150 €
Nicht gebraucht: die Filmdauer.

Gebraucht: 25 Kinder und 6 € je Karte.
25 · 6 € = 150 €
Nicht gebraucht: die Filmdauer.

Ergebnis:

150 €, die Filmdauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 26 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 26 Kinder und 9 € je Karte.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 26 Kinder und 9 € je Karte.
2. 26 · 9 € = 234 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
234 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●2
24 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 11 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 3.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
★3
Die 5b fährt mit 26 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 95 Minuten. Der Film beginnt um 8:30 Uhr. Wann ist er zu Ende, und welche Angaben brauchst du dafür nicht?
Lösung zeigen
1. 95 Minuten sind 1 Stunde und 35 Minuten.
2. 8:30 Uhr plus 95 Minuten: 10:05 Uhr
3. Nicht gebraucht: Anzahl der Kinder und Preis.
Ergebnis:
10:05 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.

Schritt für Schritt

Zum Beispiel: ab 6:42 Uhr, an 7:08 Uhr.
Von 6:42 bis 7:08 Uhr sind es 26 Minuten.

Zum Beispiel: ab 6:42 Uhr, an 7:08 Uhr.
Von 6:42 bis 7:08 Uhr sind es 26 Minuten.

Ergebnis:

26 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Noah ist um 6:46 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Noah auf den nächsten Bus X34?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 6:51 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:51 Uhr.
2. Von 6:46 bis 6:51 Uhr sind es 5 Minuten.
Ergebnis:
5 Minuten
●5
Der Unterricht beginnt um 7:58 Uhr. Welchen Bus M29 muss Mia spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:58 Uhr: 7:05, 7:25, 7:45 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:45 Uhr an.
3. Er fährt um 7:27 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:27 Uhr
★6
Der Unterricht beginnt um 8:27 Uhr. Welchen Bus 248 muss Can spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 8:27 Uhr: 7:10, 7:30, 7:50, 8:10 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 8:10 Uhr an.
3. Er fährt um 7:48 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:48 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Lina hat 88 Bücher. Aylin hat 25 Bücher weniger als Lina. Wie viele Bücher hat Aylin?

Schritt für Schritt

Aylin hat weniger: der Streifen von Aylin ist kürzer
88 − 25 = 63

Aylin hat weniger: der Streifen von Aylin ist kürzer
88 − 25 = 63

Ergebnis:

63 Bücher

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Tim hat 53 Sticker. Mia hat 10 Sticker mehr als Tim. Wie viele Sticker hat Mia?
So fängst du an:
Mia hat mehr: der Streifen von Mia ist länger
Lösung zeigen
1. Mia hat mehr: der Streifen von Mia ist länger
2. 53 + 10 = 63
Ergebnis:
63 Sticker
●8
Tim hat 43 Murmeln. Lina hat 27 Murmeln mehr als Tim. Wie viele Murmeln hat Lina?
Lösung zeigen
1. Lina hat mehr: der Streifen von Lina ist länger
2. 43 + 27 = 70
Ergebnis:
70 Murmeln
★9
Lina hat 466 Murmeln, Aylin hat 596 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Aylin mehr?
Lösung zeigen
1. Der Unterschied ist der Rest zwischen den Streifen
2. 596 − 466 = 130
Ergebnis:
130 Murmeln

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Mia braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 22 Minuten für den Weg. Wann muss Mia spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 16:51 Uhr.
Noch 22 Minuten früher: 16:29 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 16:51 Uhr.
Noch 22 Minuten früher: 16:29 Uhr.

Ergebnis:

16:29 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Hanna kauft ein Buch für 10 €. Danach bekommt Hanna 11 € geschenkt und hat jetzt 17 €. Wie viel Geld hatte Hanna am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 17 € − 11 € = 6 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 17 € − 11 € = 6 €
2. Dann den Kauf: 6 € + 10 € = 16 €
Ergebnis:
16 €
●11
Can kauft ein Buch für 6 €. Danach bekommt Can 6 € geschenkt und hat jetzt 8 €. Wie viel Geld hatte Can am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 8 € − 6 € = 2 €
2. Dann den Kauf: 2 € + 6 € = 8 €
Ergebnis:
8 €
★12
Paul kauft ein Buch für 15 €. Danach bekommt Paul 9 € geschenkt und hat jetzt 33 €. Wie viel Geld hatte Paul am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 33 € − 9 € = 24 €
2. Dann den Kauf: 24 € + 15 € = 39 €
Ergebnis:
39 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof zählt Tom 7 Tiere und 18 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
5 Hühner und 2 Kaninchen: 5 · 2 + 2 · 4 = 18

Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
5 Hühner und 2 Kaninchen: 5 · 2 + 2 · 4 = 18

Ergebnis:

5 Hühner, 2 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 6 Tiere mit 14 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 5 Hühner und 1 Kaninchen: 5 · 2 + 1 · 4 = 14
Ergebnis:
1 Kaninchen
●14
In der Mensa zählt Tom 8 Tische und 46 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 1 Vierertisch und 7 Sechsertische: 1 · 4 + 7 · 6 = 46
Ergebnis:
1 Vierertisch, 7 Sechsertische
★15
Im Hof der Kita zählt Lea 11 Fahrzeuge und 26 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 6 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 27 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 7 Fahrräder und 4 Dreiräder: 7 · 2 + 4 · 3 = 26
Ergebnis:
7 Fahrräder, 4 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €

Ergebnis:

1,00 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Bleistift kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 10 Bleistiften kostet 24,00 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bleistifte braucht?
So fängst du an:
10 einzeln: 10 · 2,50 € = 25,00 €
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 2,50 € = 25,00 €
2. Packung: 24,00 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
●17
Eine Saftflasche kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 11,40 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 1,20 € = 12,00 €
2. Packung: 11,40 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Eine Fahrt kostet 2,80 €. Eine Monatskarte kostet 40,00 €. Jonas fährt im Monat 23-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 23 · 2,80 € = 64,40 €
2. Monatskarte: 40,00 €
3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
Ergebnis:
Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 4 Kästen liegen je 4 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?

Schritt für Schritt

4 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
4 · 4 = 16

4 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
4 · 4 = 16

Ergebnis:

16 Bücher

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 4 Kästen liegen je 7 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
So fängst du an:
4 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 4 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
2. 4 · 7 = 28
Ergebnis:
28 Murmeln
●20
In 5 Kästen liegen je 5 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 5 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
2. 5 · 5 = 25
Ergebnis:
25 Murmeln
★21
270 Sticker werden gleichmäßig auf 10 Kästen verteilt. Wie viele Sticker kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 270, 10 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 270 : 10 = 27
Ergebnis:
27 Sticker

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Ela hat 49 Sticker, Lina hat 52 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
49 + 52 = 101

Zwei Teile, gesucht das Ganze
49 + 52 = 101

Ergebnis:

101 Sticker

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Noah hat 72 Murmeln, Mia hat 30 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 72 + 30 = 102
Ergebnis:
102 Murmeln
●23
Ben hat 47 Bücher, Tim hat 58 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 47 + 58 = 105
Ergebnis:
105 Bücher
★24
Jonas und Lina haben zusammen 657 Bücher. Jonas hat 474 Bücher. Wie viele Bücher hat Lina?
Lösung zeigen
1. Ganzes 657, ein Teil 474, gesucht der andere Teil
2. 657 − 474 = 183
Ergebnis:
183 Bücher

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die 5b fährt mit 26 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 110 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 26 Kinder und 9 € je Karte.
2. 26 · 9 € = 234 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
234 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●26
In der Klasse sind 25 Kinder. Sie spielen in 5 Teams. Wie viele Tore fallen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. Über Tore steht nichts im Text.
2. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Can ist um 6:59 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Can auf den nächsten Bus 100?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:02 Uhr.
2. Von 6:59 bis 7:02 Uhr sind es 3 Minuten.
Ergebnis:
3 Minuten
●28
An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Noah sagt: „110 m Zaun mit einem Pfahl alle 10 m braucht 11 Pfähle.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. 110 : 10 = 11 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 12.
Ergebnis:
Nein, 12 Pfähle
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Milan an 5. Stelle von vorn und an 8. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 4 Kinder, dann Milan, dahinter 7 Kinder.
2. 4 + 1 + 7 = 12
Ergebnis:
12 Kinder
●30
Paul kauft ein Buch für 10 €. Danach bekommt Paul 12 € geschenkt und hat jetzt 30 €. Wie viel Geld hatte Paul am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 30 € − 12 € = 18 €
2. Dann den Kauf: 18 € + 10 € = 28 €
Ergebnis:
28 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
29 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 10 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
174 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 8:22 Uhr. Welchen Bus 248 muss Ben spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 7:52 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Ben hat 76 Sticker. Mia hat 13 Sticker mehr als Ben. Wie viele Sticker hat Mia?
Lösung zeigen
Ergebnis:
89 Sticker
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Can kauft ein Buch für 10 €. Danach bekommt Can 3 € geschenkt und hat jetzt 13 €. Wie viel Geld hatte Can am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
20 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
In der Mensa zählt Can 6 Tische und 28 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
4 Vierertische, 2 Sechsertische
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,80 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 3 Kästen liegen je 4 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
12 Murmeln
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Jonas hat 84 Karten, Ela hat 89 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
173 Karten

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

234 €, die Filmdauer brauche ich nicht
Der Preis für Erwachsene fehlt
10:05 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht
5 Minuten
den um 7:27 Uhr
den um 7:48 Uhr
63 Sticker
70 Murmeln
130 Murmeln
16 €
8 €
39 €
1 Kaninchen
1 Vierertisch, 7 Sechsertische
7 Fahrräder, 4 Dreiräder
die Packung
die Packung
Ja
28 Murmeln
25 Murmeln
27 Sticker
102 Murmeln
105 Bücher
183 Bücher
234 €, die Filmdauer brauche ich nicht
nicht lösbar
3 Minuten
Nein, 12 Pfähle
12 Kinder
28 €
174 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
den um 7:52 Uhr
89 Sticker
20 €
4 Vierertische, 2 Sechsertische
0,80 €
12 Murmeln
173 Karten
9:45 Uhr
90 dm