Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 9:30 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 90 min = 1 h 30 min
2. 9:30 + 1:30 = 11:00 Uhr
Ergebnis:
11:00 Uhr
●40
Rechne um: 15 cm in mm.
Lösung zeigen
1. 1 cm = 10 mm
2. 15 · 10 = 150 mm
Ergebnis:
150 mm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 20 Tore geschossen. Zum Finale kamen 227 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 9 Spiele.
15 − 9 = 6
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Gebraucht: 9 Spiele.
15 − 9 = 6
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Ergebnis:

6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 23 Kinder und 5 € je Karte.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 23 Kinder und 5 € je Karte.
2. 23 · 5 € = 115 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
115 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 10 Spiele gemacht und 29 Tore geschossen. Zum Finale kamen 216 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 10 Spiele.
2. 15 − 10 = 5
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
5 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
★3
23 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 11 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.

Schritt für Schritt

Zum Beispiel: ab 6:39 Uhr, an 6:55 Uhr.
Von 6:39 bis 6:55 Uhr sind es 16 Minuten.

Zum Beispiel: ab 6:39 Uhr, an 6:55 Uhr.
Von 6:39 bis 6:55 Uhr sind es 16 Minuten.

Ergebnis:

16 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Der Unterricht beginnt um 7:41 Uhr. Welchen Bus M29 muss Jonas spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
So fängst du an:
Ankunft vor 7:41 Uhr: 7:02, 7:12, 7:22, 7:32 Uhr.
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:41 Uhr: 7:02, 7:12, 7:22, 7:32 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:32 Uhr an.
3. Er fährt um 7:13 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:13 Uhr
●5
Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:46 Uhr, an 7:06 Uhr.
2. Von 6:46 bis 7:06 Uhr sind es 20 Minuten.
Ergebnis:
20 Minuten
★6
Der Unterricht beginnt um 7:44 Uhr. Welchen Bus X34 muss Milan spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:44 Uhr: 7:13, 7:23, 7:33, 7:43 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:43 Uhr an.
3. Er fährt um 7:22 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:22 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Mia hat 50 Sticker. Noah hat 22 Sticker weniger als Mia. Wie viele Sticker hat Noah?

Schritt für Schritt

Noah hat weniger: der Streifen von Noah ist kürzer
50 − 22 = 28

Noah hat weniger: der Streifen von Noah ist kürzer
50 − 22 = 28

Ergebnis:

28 Sticker

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Jonas hat 51 Murmeln. Tim hat 23 Murmeln weniger als Jonas. Wie viele Murmeln hat Tim?
So fängst du an:
Tim hat weniger: der Streifen von Tim ist kürzer
Lösung zeigen
1. Tim hat weniger: der Streifen von Tim ist kürzer
2. 51 − 23 = 28
Ergebnis:
28 Murmeln
●8
Noah hat 51 Sticker. Ben hat 9 Sticker mehr als Noah. Wie viele Sticker hat Ben?
Lösung zeigen
1. Ben hat mehr: der Streifen von Ben ist länger
2. 51 + 9 = 60
Ergebnis:
60 Sticker
★9
Ela hat 382 Murmeln. Jonas hat 175 Murmeln weniger als Ela. Wie viele Murmeln hat Jonas?
Lösung zeigen
1. Jonas hat weniger: der Streifen von Jonas ist kürzer
2. 382 − 175 = 207
Ergebnis:
207 Murmeln

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Emma braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 33 Minuten für den Weg. Wann muss Emma spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 16:52 Uhr.
Noch 33 Minuten früher: 16:19 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 16:52 Uhr.
Noch 33 Minuten früher: 16:19 Uhr.

Ergebnis:

16:19 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Mia braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 34 Minuten für den Weg. Wann muss Mia spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 16:05 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 16:05 Uhr.
2. Noch 34 Minuten früher: 15:31 Uhr.
Ergebnis:
15:31 Uhr
●11
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Sofia braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 27 Minuten für den Weg. Wann muss Sofia spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 15:22 Uhr.
2. Noch 27 Minuten früher: 14:55 Uhr.
Ergebnis:
14:55 Uhr
★12
Paul verschenkt 7 Sammelkarten. Dann verdoppelt sich die Sammlung durch ein Tauschspiel, und zuletzt kauft Paul noch 10 Karten dazu. Jetzt sind es 42. Wie viele Karten waren es am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts: 42 − 10 = 32
2. Verdoppeln rückgängig: 32 : 2 = 16
3. Verschenken rückgängig: 16 + 7 = 23
Ergebnis:
23 Karten

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 5 Tische mit 28 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
1 Vierertisch und 4 Sechsertische: 1 · 4 + 4 · 6 = 28

Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
1 Vierertisch und 4 Sechsertische: 1 · 4 + 4 · 6 = 28

Ergebnis:

4 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Im Hof der Kita zählt Milan 5 Fahrzeuge und 13 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 2 Fahrräder und 3 Dreiräder: 2 · 2 + 3 · 3 = 13
Ergebnis:
2 Fahrräder, 3 Dreiräder
●14
Auf einem Hof zählt Sofia 8 Tiere und 28 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 2 Hühner und 6 Kaninchen: 2 · 2 + 6 · 4 = 28
Ergebnis:
2 Hühner, 6 Kaninchen
★15
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 11 Fahrzeuge mit 24 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 6 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 27 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 9 Fahrräder und 2 Dreiräder: 9 · 2 + 2 · 3 = 24
Ergebnis:
2 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Ergebnis:

1,33 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
Ergebnis:
1,00 €
●17
Eine Saftflasche kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 6 Flaschen kostet 6,90 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 1,20 € = 7,20 €
2. Packung: 6,90 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Eine Fahrt kostet 2,40 €. Eine Monatskarte kostet 50,00 €. Elias fährt im Monat 26-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 26 · 2,40 € = 62,40 €
2. Monatskarte: 50,00 €
3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
Ergebnis:
Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 6 Kästen liegen je 7 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?

Schritt für Schritt

6 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
6 · 7 = 42

6 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
6 · 7 = 42

Ergebnis:

42 Bücher

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 8 Kästen liegen je 4 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
So fängst du an:
8 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 8 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
2. 8 · 4 = 32
Ergebnis:
32 Bücher
●20
In 5 Kästen liegen je 9 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 5 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
2. 5 · 9 = 45
Ergebnis:
45 Bücher
★21
451 Bücher werden gleichmäßig auf 11 Kästen verteilt. Wie viele Bücher kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 451, 11 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 451 : 11 = 41
Ergebnis:
41 Bücher

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Tim hat 80 Sticker, Lina hat 40 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
80 + 40 = 120

Zwei Teile, gesucht das Ganze
80 + 40 = 120

Ergebnis:

120 Sticker

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Tim hat 26 Sticker, Jonas hat 43 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 26 + 43 = 69
Ergebnis:
69 Sticker
●23
Lina hat 48 Bücher, Mia hat 20 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 48 + 20 = 68
Ergebnis:
68 Bücher
★24
Mia und Aylin haben zusammen 662 Murmeln. Mia hat 236 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Aylin?
Lösung zeigen
1. Ganzes 662, ein Teil 236, gesucht der andere Teil
2. 662 − 236 = 426
Ergebnis:
426 Murmeln

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
30 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 16 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 30 Kinder und 3 €.
2. 30 · 3 € = 90 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
90 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
●26
In der Klasse sind 20 Kinder. Sie spielen in 4 Teams. Wie viele Tore fallen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. Über Tore steht nichts im Text.
2. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Paul ist um 7:04 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Paul auf den nächsten Bus M29?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:15 Uhr.
2. Von 7:04 bis 7:15 Uhr sind es 11 Minuten.
Ergebnis:
11 Minuten
●28
Ein Weg ist 30 m lang. Alle 3 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 30 : 3 = 10
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 10 + 1 = 11
Ergebnis:
11 Laternen
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Mia an 7. Stelle von vorn und an 14. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 6 Kinder, dann Mia, dahinter 13 Kinder.
2. 6 + 1 + 13 = 20
Ergebnis:
20 Kinder
●30
Aylin kauft ein Buch für 14 €. Danach bekommt Aylin 12 € geschenkt und hat jetzt 23 €. Wie viel Geld hatte Aylin am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 23 € − 12 € = 11 €
2. Dann den Kauf: 11 € + 14 € = 25 €
Ergebnis:
25 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die 5b fährt mit 29 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 4 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 7:22 Uhr. Welchen Bus X34 muss Lina spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 7:02 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Mia hat 54 Murmeln. Ela hat 26 Murmeln weniger als Mia. Wie viele Murmeln hat Ela?
Lösung zeigen
Ergebnis:
28 Murmeln
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Aylin braucht 12 Minuten zum Umziehen und davor 33 Minuten für den Weg. Wann muss Aylin spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
16:15 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
In der Mensa zählt Aylin 9 Tische und 50 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 Vierertische, 7 Sechsertische
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Bleistift kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 10 Bleistiften kostet 18,60 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bleistifte braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
einzeln
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 8 Kästen liegen je 7 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
56 Murmeln
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Mia hat 34 Sticker, Jonas hat 52 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
86 Sticker

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

115 €, die Filmdauer brauche ich nicht
5 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Der Preis für Erwachsene fehlt
den um 7:13 Uhr
20 Minuten
den um 7:22 Uhr
28 Murmeln
60 Sticker
207 Murmeln
15:31 Uhr
14:55 Uhr
23 Karten
2 Fahrräder, 3 Dreiräder
2 Hühner, 6 Kaninchen
2 Dreiräder
1,00 €
die Packung
Ja
32 Bücher
45 Bücher
41 Bücher
69 Sticker
68 Bücher
426 Murmeln
90 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
nicht lösbar
11 Minuten
11 Laternen
20 Kinder
25 €
Der Beginn des Films fehlt
den um 7:02 Uhr
28 Murmeln
16:15 Uhr
2 Vierertische, 7 Sechsertische
einzeln
56 Murmeln
86 Sticker
11:00 Uhr
150 mm

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 9:30 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 90 min = 1 h 30 min
2. 9:30 + 1:30 = 11:00 Uhr
Ergebnis:
11:00 Uhr
●40
Rechne um: 15 cm in mm.
Lösung zeigen
1. 1 cm = 10 mm
2. 15 · 10 = 150 mm
Ergebnis:
150 mm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 20 Tore geschossen. Zum Finale kamen 227 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 9 Spiele.
15 − 9 = 6
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Gebraucht: 9 Spiele.
15 − 9 = 6
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Ergebnis:

6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 23 Kinder und 5 € je Karte.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 23 Kinder und 5 € je Karte.
2. 23 · 5 € = 115 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
115 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 10 Spiele gemacht und 29 Tore geschossen. Zum Finale kamen 216 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 10 Spiele.
2. 15 − 10 = 5
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
5 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
★3
23 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 11 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.

Schritt für Schritt

Zum Beispiel: ab 6:39 Uhr, an 6:55 Uhr.
Von 6:39 bis 6:55 Uhr sind es 16 Minuten.

Zum Beispiel: ab 6:39 Uhr, an 6:55 Uhr.
Von 6:39 bis 6:55 Uhr sind es 16 Minuten.

Ergebnis:

16 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Der Unterricht beginnt um 7:41 Uhr. Welchen Bus M29 muss Jonas spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
So fängst du an:
Ankunft vor 7:41 Uhr: 7:02, 7:12, 7:22, 7:32 Uhr.
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:41 Uhr: 7:02, 7:12, 7:22, 7:32 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:32 Uhr an.
3. Er fährt um 7:13 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:13 Uhr
●5
Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:46 Uhr, an 7:06 Uhr.
2. Von 6:46 bis 7:06 Uhr sind es 20 Minuten.
Ergebnis:
20 Minuten
★6
Der Unterricht beginnt um 7:44 Uhr. Welchen Bus X34 muss Milan spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:44 Uhr: 7:13, 7:23, 7:33, 7:43 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:43 Uhr an.
3. Er fährt um 7:22 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:22 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Mia hat 50 Sticker. Noah hat 22 Sticker weniger als Mia. Wie viele Sticker hat Noah?

Schritt für Schritt

Noah hat weniger: der Streifen von Noah ist kürzer
50 − 22 = 28

Noah hat weniger: der Streifen von Noah ist kürzer
50 − 22 = 28

Ergebnis:

28 Sticker

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Jonas hat 51 Murmeln. Tim hat 23 Murmeln weniger als Jonas. Wie viele Murmeln hat Tim?
So fängst du an:
Tim hat weniger: der Streifen von Tim ist kürzer
Lösung zeigen
1. Tim hat weniger: der Streifen von Tim ist kürzer
2. 51 − 23 = 28
Ergebnis:
28 Murmeln
●8
Noah hat 51 Sticker. Ben hat 9 Sticker mehr als Noah. Wie viele Sticker hat Ben?
Lösung zeigen
1. Ben hat mehr: der Streifen von Ben ist länger
2. 51 + 9 = 60
Ergebnis:
60 Sticker
★9
Ela hat 382 Murmeln. Jonas hat 175 Murmeln weniger als Ela. Wie viele Murmeln hat Jonas?
Lösung zeigen
1. Jonas hat weniger: der Streifen von Jonas ist kürzer
2. 382 − 175 = 207
Ergebnis:
207 Murmeln

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Emma braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 33 Minuten für den Weg. Wann muss Emma spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 16:52 Uhr.
Noch 33 Minuten früher: 16:19 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 16:52 Uhr.
Noch 33 Minuten früher: 16:19 Uhr.

Ergebnis:

16:19 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Mia braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 34 Minuten für den Weg. Wann muss Mia spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 16:05 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 16:05 Uhr.
2. Noch 34 Minuten früher: 15:31 Uhr.
Ergebnis:
15:31 Uhr
●11
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Sofia braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 27 Minuten für den Weg. Wann muss Sofia spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 15:22 Uhr.
2. Noch 27 Minuten früher: 14:55 Uhr.
Ergebnis:
14:55 Uhr
★12
Paul verschenkt 7 Sammelkarten. Dann verdoppelt sich die Sammlung durch ein Tauschspiel, und zuletzt kauft Paul noch 10 Karten dazu. Jetzt sind es 42. Wie viele Karten waren es am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts: 42 − 10 = 32
2. Verdoppeln rückgängig: 32 : 2 = 16
3. Verschenken rückgängig: 16 + 7 = 23
Ergebnis:
23 Karten

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 5 Tische mit 28 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
1 Vierertisch und 4 Sechsertische: 1 · 4 + 4 · 6 = 28

Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
1 Vierertisch und 4 Sechsertische: 1 · 4 + 4 · 6 = 28

Ergebnis:

4 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Im Hof der Kita zählt Milan 5 Fahrzeuge und 13 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 2 Fahrräder und 3 Dreiräder: 2 · 2 + 3 · 3 = 13
Ergebnis:
2 Fahrräder, 3 Dreiräder
●14
Auf einem Hof zählt Sofia 8 Tiere und 28 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 2 Hühner und 6 Kaninchen: 2 · 2 + 6 · 4 = 28
Ergebnis:
2 Hühner, 6 Kaninchen
★15
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 11 Fahrzeuge mit 24 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 6 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 27 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 9 Fahrräder und 2 Dreiräder: 9 · 2 + 2 · 3 = 24
Ergebnis:
2 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Ergebnis:

1,33 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
Ergebnis:
1,00 €
●17
Eine Saftflasche kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 6 Flaschen kostet 6,90 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 1,20 € = 7,20 €
2. Packung: 6,90 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Eine Fahrt kostet 2,40 €. Eine Monatskarte kostet 50,00 €. Elias fährt im Monat 26-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 26 · 2,40 € = 62,40 €
2. Monatskarte: 50,00 €
3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
Ergebnis:
Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 6 Kästen liegen je 7 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?

Schritt für Schritt

6 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
6 · 7 = 42

6 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
6 · 7 = 42

Ergebnis:

42 Bücher

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 8 Kästen liegen je 4 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
So fängst du an:
8 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 8 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
2. 8 · 4 = 32
Ergebnis:
32 Bücher
●20
In 5 Kästen liegen je 9 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 5 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
2. 5 · 9 = 45
Ergebnis:
45 Bücher
★21
451 Bücher werden gleichmäßig auf 11 Kästen verteilt. Wie viele Bücher kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 451, 11 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 451 : 11 = 41
Ergebnis:
41 Bücher

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Tim hat 80 Sticker, Lina hat 40 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
80 + 40 = 120

Zwei Teile, gesucht das Ganze
80 + 40 = 120

Ergebnis:

120 Sticker

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Tim hat 26 Sticker, Jonas hat 43 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 26 + 43 = 69
Ergebnis:
69 Sticker
●23
Lina hat 48 Bücher, Mia hat 20 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 48 + 20 = 68
Ergebnis:
68 Bücher
★24
Mia und Aylin haben zusammen 662 Murmeln. Mia hat 236 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Aylin?
Lösung zeigen
1. Ganzes 662, ein Teil 236, gesucht der andere Teil
2. 662 − 236 = 426
Ergebnis:
426 Murmeln

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
30 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 16 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 30 Kinder und 3 €.
2. 30 · 3 € = 90 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
90 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
●26
In der Klasse sind 20 Kinder. Sie spielen in 4 Teams. Wie viele Tore fallen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. Über Tore steht nichts im Text.
2. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Paul ist um 7:04 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Paul auf den nächsten Bus M29?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:15 Uhr.
2. Von 7:04 bis 7:15 Uhr sind es 11 Minuten.
Ergebnis:
11 Minuten
●28
Ein Weg ist 30 m lang. Alle 3 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 30 : 3 = 10
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 10 + 1 = 11
Ergebnis:
11 Laternen
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Mia an 7. Stelle von vorn und an 14. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 6 Kinder, dann Mia, dahinter 13 Kinder.
2. 6 + 1 + 13 = 20
Ergebnis:
20 Kinder
●30
Aylin kauft ein Buch für 14 €. Danach bekommt Aylin 12 € geschenkt und hat jetzt 23 €. Wie viel Geld hatte Aylin am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 23 € − 12 € = 11 €
2. Dann den Kauf: 11 € + 14 € = 25 €
Ergebnis:
25 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die 5b fährt mit 29 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 4 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 7:22 Uhr. Welchen Bus X34 muss Lina spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 7:02 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Mia hat 54 Murmeln. Ela hat 26 Murmeln weniger als Mia. Wie viele Murmeln hat Ela?
Lösung zeigen
Ergebnis:
28 Murmeln
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Aylin braucht 12 Minuten zum Umziehen und davor 33 Minuten für den Weg. Wann muss Aylin spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
16:15 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
In der Mensa zählt Aylin 9 Tische und 50 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 Vierertische, 7 Sechsertische
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Bleistift kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 10 Bleistiften kostet 18,60 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bleistifte braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
einzeln
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 8 Kästen liegen je 7 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
56 Murmeln
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Mia hat 34 Sticker, Jonas hat 52 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
86 Sticker

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

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Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

115 €, die Filmdauer brauche ich nicht
5 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Der Preis für Erwachsene fehlt
den um 7:13 Uhr
20 Minuten
den um 7:22 Uhr
28 Murmeln
60 Sticker
207 Murmeln
15:31 Uhr
14:55 Uhr
23 Karten
2 Fahrräder, 3 Dreiräder
2 Hühner, 6 Kaninchen
2 Dreiräder
1,00 €
die Packung
Ja
32 Bücher
45 Bücher
41 Bücher
69 Sticker
68 Bücher
426 Murmeln
90 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
nicht lösbar
11 Minuten
11 Laternen
20 Kinder
25 €
Der Beginn des Films fehlt
den um 7:02 Uhr
28 Murmeln
16:15 Uhr
2 Vierertische, 7 Sechsertische
einzeln
56 Murmeln
86 Sticker
11:00 Uhr
150 mm