Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 7:45 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 45 min = 0 h 45 min
2. 7:45 + 0:45 = 8:30 Uhr
Ergebnis:
8:30 Uhr
●40
Rechne um: 3 kg in g.
Lösung zeigen
1. 1 kg = 1.000 g
2. 3 · 1.000 = 3.000 g
Ergebnis:
3.000 g

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 20 Tore geschossen. Zum Finale kamen 386 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 9 Spiele.
15 − 9 = 6
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Gebraucht: 9 Spiele.
15 − 9 = 6
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Ergebnis:

6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 36 Tore geschossen. Zum Finale kamen 412 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 11 Spiele.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 11 Spiele.
2. 15 − 11 = 4
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 20 Tore geschossen. Zum Finale kamen 464 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 32 Tore geschossen. Zum Finale kamen 214 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:44 Uhr. Welchen Bus 248 muss Noah spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 7:44 Uhr: 7:10, 7:20, 7:30, 7:40 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:40 Uhr an.
Er fährt um 7:19 Uhr ab.

Ankunft vor 7:44 Uhr: 7:10, 7:20, 7:30, 7:40 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:40 Uhr an.
Er fährt um 7:19 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 7:19 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Tom ist um 7:01 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Tom auf den nächsten Bus 100?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 7:15 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:15 Uhr.
2. Von 7:01 bis 7:15 Uhr sind es 14 Minuten.
Ergebnis:
14 Minuten
●5
Milan ist um 6:52 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Milan auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:59 Uhr.
2. Von 6:52 bis 6:59 Uhr sind es 7 Minuten.
Ergebnis:
7 Minuten
★6
Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:44 Uhr, an 7:00 Uhr.
2. Von 6:44 bis 7:00 Uhr sind es 16 Minuten.
Ergebnis:
16 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Lina hat 57 Murmeln. Ben hat 22 Murmeln weniger als Lina. Wie viele Murmeln hat Ben?

Schritt für Schritt

Ben hat weniger: der Streifen von Ben ist kürzer
57 − 22 = 35

Ben hat weniger: der Streifen von Ben ist kürzer
57 − 22 = 35

Ergebnis:

35 Murmeln

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Aylin hat 53 Murmeln. Ben hat 18 Murmeln weniger als Aylin. Wie viele Murmeln hat Ben?
So fängst du an:
Ben hat weniger: der Streifen von Ben ist kürzer
Lösung zeigen
1. Ben hat weniger: der Streifen von Ben ist kürzer
2. 53 − 18 = 35
Ergebnis:
35 Murmeln
●8
Mia hat 64 Karten. Lina hat 7 Karten weniger als Mia. Wie viele Karten hat Lina?
Lösung zeigen
1. Lina hat weniger: der Streifen von Lina ist kürzer
2. 64 − 7 = 57
Ergebnis:
57 Karten
★9
Lina hat 440 Sticker. Ben hat 65 Sticker mehr als Lina. Wie viele Sticker hat Ben?
Lösung zeigen
1. Ben hat mehr: der Streifen von Ben ist länger
2. 440 + 65 = 505
Ergebnis:
505 Sticker

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Zeynep braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 34 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 15:24 Uhr.
Noch 34 Minuten früher: 14:50 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 15:24 Uhr.
Noch 34 Minuten früher: 14:50 Uhr.

Ergebnis:

14:50 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Aylin kauft ein Buch für 10 €. Danach bekommt Aylin 8 € geschenkt und hat jetzt 19 €. Wie viel Geld hatte Aylin am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 19 € − 8 € = 11 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 19 € − 8 € = 11 €
2. Dann den Kauf: 11 € + 10 € = 21 €
Ergebnis:
21 €
●11
Aylin kauft ein Buch für 6 €. Danach bekommt Aylin 12 € geschenkt und hat jetzt 18 €. Wie viel Geld hatte Aylin am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 18 € − 12 € = 6 €
2. Dann den Kauf: 6 € + 6 € = 12 €
Ergebnis:
12 €
★12
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Milan braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 17 Minuten für den Weg. Wann muss Milan spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 15:50 Uhr.
2. Noch 17 Minuten früher: 15:33 Uhr.
Ergebnis:
15:33 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 6 Tiere mit 16 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
4 Hühner und 2 Kaninchen: 4 · 2 + 2 · 4 = 16

Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
4 Hühner und 2 Kaninchen: 4 · 2 + 2 · 4 = 16

Ergebnis:

2 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 8 Tische mit 40 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
2. Das passt genau.
3. 4 Vierertische und 4 Sechsertische: 4 · 4 + 4 · 6 = 40
Ergebnis:
4 Sechsertische
●14
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 6 Fahrzeuge mit 17 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 15 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 1 Fahrrad und 5 Dreiräder: 1 · 2 + 5 · 3 = 17
Ergebnis:
5 Dreiräder
★15
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 13 Fahrzeuge mit 38 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 7 Fahrräder und 6 Dreiräder ergeben 32 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 1 Fahrrad und 12 Dreiräder: 1 · 2 + 12 · 3 = 38
Ergebnis:
12 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Eine Saftflasche kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 11,40 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?

Schritt für Schritt

10 einzeln: 10 · 1,20 € = 12,00 €
Packung: 11,40 €
Die Packung ist günstiger.

10 einzeln: 10 · 1,20 € = 12,00 €
Packung: 11,40 €
Die Packung ist günstiger.

Ergebnis:

die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
Ergebnis:
1,00 €
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
2. Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,33 €
★18
Eine Saftflasche kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 6 Flaschen kostet 14,70 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 2,50 € = 15,00 €
2. Packung: 14,70 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 5 Kästen liegen je 9 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?

Schritt für Schritt

5 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
5 · 9 = 45

5 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
5 · 9 = 45

Ergebnis:

45 Bücher

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 7 Kästen liegen je 5 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
So fängst du an:
7 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 7 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
2. 7 · 5 = 35
Ergebnis:
35 Karten
●20
In 6 Kästen liegen je 7 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 6 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
2. 6 · 7 = 42
Ergebnis:
42 Murmeln
★21
170 Bücher werden gleichmäßig auf 10 Kästen verteilt. Wie viele Bücher kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 170, 10 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 170 : 10 = 17
Ergebnis:
17 Bücher

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Noah hat 85 Karten, Ben hat 82 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
85 + 82 = 167

Zwei Teile, gesucht das Ganze
85 + 82 = 167

Ergebnis:

167 Karten

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Jonas hat 48 Sticker, Ben hat 88 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 48 + 88 = 136
Ergebnis:
136 Sticker
●23
Aylin hat 33 Murmeln, Lina hat 48 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 33 + 48 = 81
Ergebnis:
81 Murmeln
★24
Lina und Ben haben zusammen 659 Karten. Lina hat 403 Karten. Wie viele Karten hat Ben?
Lösung zeigen
1. Ganzes 659, ein Teil 403, gesucht der andere Teil
2. 659 − 403 = 256
Ergebnis:
256 Karten

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 33 Tore geschossen. Zum Finale kamen 279 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 6 Spiele.
2. 15 − 6 = 9
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●26
In der Klasse sind 26 Kinder. Sie spielen in 4 Teams. Wie viele Tore fallen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. Über Tore steht nichts im Text.
2. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Paul ist um 6:49 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Paul auf den nächsten Bus M29?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:00 Uhr.
2. Von 6:49 bis 7:00 Uhr sind es 11 Minuten.
Ergebnis:
11 Minuten
●28
An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Hanna sagt: „40 m Zaun mit einem Pfahl alle 10 m braucht 4 Pfähle.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. 40 : 10 = 4 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 5.
Ergebnis:
Nein, 5 Pfähle
●29
Im Kino sitzt Hanna auf Platz 8 von links. Zwischen Hanna und Mia sitzen 5 Kinder, Mia sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Mia?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 8 ist Hanna, dann 5 Plätze dazwischen.
2. 8 + 5 + 1 = 14
Ergebnis:
Platz 14
●30
Noah kauft ein Buch für 12 €. Danach bekommt Noah 9 € geschenkt und hat jetzt 28 €. Wie viel Geld hatte Noah am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 28 € − 9 € = 19 €
2. Dann den Kauf: 19 € + 12 € = 31 €
Ergebnis:
31 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 25 Tore geschossen. Zum Finale kamen 270 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 7:49 Uhr. Welchen Bus 100 muss Noah spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 7:30 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Mia hat 73 Karten. Ela hat 30 Karten mehr als Mia. Wie viele Karten hat Ela?
Lösung zeigen
Ergebnis:
103 Karten
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Aylin kauft ein Buch für 9 €. Danach bekommt Aylin 3 € geschenkt und hat jetzt 19 €. Wie viel Geld hatte Aylin am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
25 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita zählt Tom 8 Fahrzeuge und 22 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 Fahrräder, 6 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 10 Riegeln kostet 15,60 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Riegel braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
einzeln
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 5 Kästen liegen je 7 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
35 Bücher
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Noah hat 28 Karten, Jonas hat 81 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
109 Karten

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Die Tore im Finale fehlen
Die Tore im Finale fehlen
14 Minuten
7 Minuten
16 Minuten
35 Murmeln
57 Karten
505 Sticker
21 €
12 €
15:33 Uhr
4 Sechsertische
5 Dreiräder
12 Dreiräder
1,00 €
1,33 €
die Packung
35 Karten
42 Murmeln
17 Bücher
136 Sticker
81 Murmeln
256 Karten
9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
nicht lösbar
11 Minuten
Nein, 5 Pfähle
Platz 14
31 €
Die Tore im Finale fehlen
den um 7:30 Uhr
103 Karten
25 €
2 Fahrräder, 6 Dreiräder
einzeln
35 Bücher
109 Karten
8:30 Uhr
3.000 g

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 7:45 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 45 min = 0 h 45 min
2. 7:45 + 0:45 = 8:30 Uhr
Ergebnis:
8:30 Uhr
●40
Rechne um: 3 kg in g.
Lösung zeigen
1. 1 kg = 1.000 g
2. 3 · 1.000 = 3.000 g
Ergebnis:
3.000 g

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 20 Tore geschossen. Zum Finale kamen 386 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 9 Spiele.
15 − 9 = 6
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Gebraucht: 9 Spiele.
15 − 9 = 6
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Ergebnis:

6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 36 Tore geschossen. Zum Finale kamen 412 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 11 Spiele.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 11 Spiele.
2. 15 − 11 = 4
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 20 Tore geschossen. Zum Finale kamen 464 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 32 Tore geschossen. Zum Finale kamen 214 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:44 Uhr. Welchen Bus 248 muss Noah spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 7:44 Uhr: 7:10, 7:20, 7:30, 7:40 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:40 Uhr an.
Er fährt um 7:19 Uhr ab.

Ankunft vor 7:44 Uhr: 7:10, 7:20, 7:30, 7:40 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:40 Uhr an.
Er fährt um 7:19 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 7:19 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Tom ist um 7:01 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Tom auf den nächsten Bus 100?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 7:15 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:15 Uhr.
2. Von 7:01 bis 7:15 Uhr sind es 14 Minuten.
Ergebnis:
14 Minuten
●5
Milan ist um 6:52 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Milan auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:59 Uhr.
2. Von 6:52 bis 6:59 Uhr sind es 7 Minuten.
Ergebnis:
7 Minuten
★6
Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:44 Uhr, an 7:00 Uhr.
2. Von 6:44 bis 7:00 Uhr sind es 16 Minuten.
Ergebnis:
16 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Lina hat 57 Murmeln. Ben hat 22 Murmeln weniger als Lina. Wie viele Murmeln hat Ben?

Schritt für Schritt

Ben hat weniger: der Streifen von Ben ist kürzer
57 − 22 = 35

Ben hat weniger: der Streifen von Ben ist kürzer
57 − 22 = 35

Ergebnis:

35 Murmeln

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Aylin hat 53 Murmeln. Ben hat 18 Murmeln weniger als Aylin. Wie viele Murmeln hat Ben?
So fängst du an:
Ben hat weniger: der Streifen von Ben ist kürzer
Lösung zeigen
1. Ben hat weniger: der Streifen von Ben ist kürzer
2. 53 − 18 = 35
Ergebnis:
35 Murmeln
●8
Mia hat 64 Karten. Lina hat 7 Karten weniger als Mia. Wie viele Karten hat Lina?
Lösung zeigen
1. Lina hat weniger: der Streifen von Lina ist kürzer
2. 64 − 7 = 57
Ergebnis:
57 Karten
★9
Lina hat 440 Sticker. Ben hat 65 Sticker mehr als Lina. Wie viele Sticker hat Ben?
Lösung zeigen
1. Ben hat mehr: der Streifen von Ben ist länger
2. 440 + 65 = 505
Ergebnis:
505 Sticker

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Zeynep braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 34 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 15:24 Uhr.
Noch 34 Minuten früher: 14:50 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 15:24 Uhr.
Noch 34 Minuten früher: 14:50 Uhr.

Ergebnis:

14:50 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Aylin kauft ein Buch für 10 €. Danach bekommt Aylin 8 € geschenkt und hat jetzt 19 €. Wie viel Geld hatte Aylin am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 19 € − 8 € = 11 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 19 € − 8 € = 11 €
2. Dann den Kauf: 11 € + 10 € = 21 €
Ergebnis:
21 €
●11
Aylin kauft ein Buch für 6 €. Danach bekommt Aylin 12 € geschenkt und hat jetzt 18 €. Wie viel Geld hatte Aylin am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 18 € − 12 € = 6 €
2. Dann den Kauf: 6 € + 6 € = 12 €
Ergebnis:
12 €
★12
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Milan braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 17 Minuten für den Weg. Wann muss Milan spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 15:50 Uhr.
2. Noch 17 Minuten früher: 15:33 Uhr.
Ergebnis:
15:33 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 6 Tiere mit 16 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
4 Hühner und 2 Kaninchen: 4 · 2 + 2 · 4 = 16

Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
4 Hühner und 2 Kaninchen: 4 · 2 + 2 · 4 = 16

Ergebnis:

2 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 8 Tische mit 40 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
2. Das passt genau.
3. 4 Vierertische und 4 Sechsertische: 4 · 4 + 4 · 6 = 40
Ergebnis:
4 Sechsertische
●14
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 6 Fahrzeuge mit 17 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 15 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 1 Fahrrad und 5 Dreiräder: 1 · 2 + 5 · 3 = 17
Ergebnis:
5 Dreiräder
★15
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 13 Fahrzeuge mit 38 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 7 Fahrräder und 6 Dreiräder ergeben 32 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 1 Fahrrad und 12 Dreiräder: 1 · 2 + 12 · 3 = 38
Ergebnis:
12 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Eine Saftflasche kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 11,40 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?

Schritt für Schritt

10 einzeln: 10 · 1,20 € = 12,00 €
Packung: 11,40 €
Die Packung ist günstiger.

10 einzeln: 10 · 1,20 € = 12,00 €
Packung: 11,40 €
Die Packung ist günstiger.

Ergebnis:

die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
Ergebnis:
1,00 €
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
2. Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,33 €
★18
Eine Saftflasche kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 6 Flaschen kostet 14,70 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 2,50 € = 15,00 €
2. Packung: 14,70 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 5 Kästen liegen je 9 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?

Schritt für Schritt

5 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
5 · 9 = 45

5 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
5 · 9 = 45

Ergebnis:

45 Bücher

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 7 Kästen liegen je 5 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
So fängst du an:
7 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 7 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
2. 7 · 5 = 35
Ergebnis:
35 Karten
●20
In 6 Kästen liegen je 7 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 6 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
2. 6 · 7 = 42
Ergebnis:
42 Murmeln
★21
170 Bücher werden gleichmäßig auf 10 Kästen verteilt. Wie viele Bücher kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 170, 10 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 170 : 10 = 17
Ergebnis:
17 Bücher

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Noah hat 85 Karten, Ben hat 82 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
85 + 82 = 167

Zwei Teile, gesucht das Ganze
85 + 82 = 167

Ergebnis:

167 Karten

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Jonas hat 48 Sticker, Ben hat 88 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 48 + 88 = 136
Ergebnis:
136 Sticker
●23
Aylin hat 33 Murmeln, Lina hat 48 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 33 + 48 = 81
Ergebnis:
81 Murmeln
★24
Lina und Ben haben zusammen 659 Karten. Lina hat 403 Karten. Wie viele Karten hat Ben?
Lösung zeigen
1. Ganzes 659, ein Teil 403, gesucht der andere Teil
2. 659 − 403 = 256
Ergebnis:
256 Karten

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 33 Tore geschossen. Zum Finale kamen 279 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 6 Spiele.
2. 15 − 6 = 9
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●26
In der Klasse sind 26 Kinder. Sie spielen in 4 Teams. Wie viele Tore fallen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. Über Tore steht nichts im Text.
2. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Paul ist um 6:49 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Paul auf den nächsten Bus M29?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:00 Uhr.
2. Von 6:49 bis 7:00 Uhr sind es 11 Minuten.
Ergebnis:
11 Minuten
●28
An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Hanna sagt: „40 m Zaun mit einem Pfahl alle 10 m braucht 4 Pfähle.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. 40 : 10 = 4 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 5.
Ergebnis:
Nein, 5 Pfähle
●29
Im Kino sitzt Hanna auf Platz 8 von links. Zwischen Hanna und Mia sitzen 5 Kinder, Mia sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Mia?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 8 ist Hanna, dann 5 Plätze dazwischen.
2. 8 + 5 + 1 = 14
Ergebnis:
Platz 14
●30
Noah kauft ein Buch für 12 €. Danach bekommt Noah 9 € geschenkt und hat jetzt 28 €. Wie viel Geld hatte Noah am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 28 € − 9 € = 19 €
2. Dann den Kauf: 19 € + 12 € = 31 €
Ergebnis:
31 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 25 Tore geschossen. Zum Finale kamen 270 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 7:49 Uhr. Welchen Bus 100 muss Noah spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 7:30 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Mia hat 73 Karten. Ela hat 30 Karten mehr als Mia. Wie viele Karten hat Ela?
Lösung zeigen
Ergebnis:
103 Karten
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Aylin kauft ein Buch für 9 €. Danach bekommt Aylin 3 € geschenkt und hat jetzt 19 €. Wie viel Geld hatte Aylin am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
25 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita zählt Tom 8 Fahrzeuge und 22 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 Fahrräder, 6 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 10 Riegeln kostet 15,60 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Riegel braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
einzeln
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 5 Kästen liegen je 7 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
35 Bücher
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Noah hat 28 Karten, Jonas hat 81 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
109 Karten

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Die Tore im Finale fehlen
Die Tore im Finale fehlen
14 Minuten
7 Minuten
16 Minuten
35 Murmeln
57 Karten
505 Sticker
21 €
12 €
15:33 Uhr
4 Sechsertische
5 Dreiräder
12 Dreiräder
1,00 €
1,33 €
die Packung
35 Karten
42 Murmeln
17 Bücher
136 Sticker
81 Murmeln
256 Karten
9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
nicht lösbar
11 Minuten
Nein, 5 Pfähle
Platz 14
31 €
Die Tore im Finale fehlen
den um 7:30 Uhr
103 Karten
25 €
2 Fahrräder, 6 Dreiräder
einzeln
35 Bücher
109 Karten
8:30 Uhr
3.000 g