Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 7:00 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 7:00 + 1:00 = 8:00 Uhr
Ergebnis:
8:00 Uhr
●40
Rechne um: 15 m in dm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 10 dm
2. 15 · 10 = 150 dm
Ergebnis:
150 dm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 27 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 27 Kinder und 7 € je Karte.
27 · 7 € = 189 €
Nicht gebraucht: die Filmdauer.

Gebraucht: 27 Kinder und 7 € je Karte.
27 · 7 € = 189 €
Nicht gebraucht: die Filmdauer.

Ergebnis:

189 €, die Filmdauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 38 Tore geschossen. Zum Finale kamen 400 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
●2
23 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 14 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
★3
24 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 14 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 24 Kinder und 5 €.
2. 24 · 5 € = 120 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
120 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.

Schritt für Schritt

Zum Beispiel: ab 6:53 Uhr, an 7:09 Uhr.
Von 6:53 bis 7:09 Uhr sind es 16 Minuten.

Zum Beispiel: ab 6:53 Uhr, an 7:09 Uhr.
Von 6:53 bis 7:09 Uhr sind es 16 Minuten.

Ergebnis:

16 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Tom ist um 6:54 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Tom auf den nächsten Bus 100?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 7:11 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:11 Uhr.
2. Von 6:54 bis 7:11 Uhr sind es 17 Minuten.
Ergebnis:
17 Minuten
●5
Mia ist um 6:57 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Mia auf den nächsten Bus 100?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:02 Uhr.
2. Von 6:57 bis 7:02 Uhr sind es 5 Minuten.
Ergebnis:
5 Minuten
★6
Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:46 Uhr, an 7:12 Uhr.
2. Von 6:46 bis 7:12 Uhr sind es 26 Minuten.
Ergebnis:
26 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Aylin hat 58 Bücher. Jonas hat 23 Bücher mehr als Aylin. Wie viele Bücher hat Jonas?

Schritt für Schritt

Jonas hat mehr: der Streifen von Jonas ist länger
58 + 23 = 81

Jonas hat mehr: der Streifen von Jonas ist länger
58 + 23 = 81

Ergebnis:

81 Bücher

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Ela hat 83 Karten. Jonas hat 19 Karten mehr als Ela. Wie viele Karten hat Jonas?
So fängst du an:
Jonas hat mehr: der Streifen von Jonas ist länger
Lösung zeigen
1. Jonas hat mehr: der Streifen von Jonas ist länger
2. 83 + 19 = 102
Ergebnis:
102 Karten
●8
Aylin hat 90 Bücher. Tim hat 21 Bücher weniger als Aylin. Wie viele Bücher hat Tim?
Lösung zeigen
1. Tim hat weniger: der Streifen von Tim ist kürzer
2. 90 − 21 = 69
Ergebnis:
69 Bücher
★9
Mia hat 709 Sticker, Aylin hat 761 Sticker. Wie viele Sticker hat Aylin mehr?
Lösung zeigen
1. Der Unterschied ist der Rest zwischen den Streifen
2. 761 − 709 = 52
Ergebnis:
52 Sticker

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Noah braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 34 Minuten für den Weg. Wann muss Noah spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 15:51 Uhr.
Noch 34 Minuten früher: 15:17 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 15:51 Uhr.
Noch 34 Minuten früher: 15:17 Uhr.

Ergebnis:

15:17 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Noah braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 19 Minuten für den Weg. Wann muss Noah spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 16:52 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 16:52 Uhr.
2. Noch 19 Minuten früher: 16:33 Uhr.
Ergebnis:
16:33 Uhr
●11
Elias kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Elias 10 € geschenkt und hat jetzt 24 €. Wie viel Geld hatte Elias am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 24 € − 10 € = 14 €
2. Dann den Kauf: 14 € + 7 € = 21 €
Ergebnis:
21 €
★12
Milan verschenkt 8 Sammelkarten. Dann verdoppelt sich die Sammlung durch ein Tauschspiel, und zuletzt kauft Milan noch 10 Karten dazu. Jetzt sind es 52. Wie viele Karten waren es am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts: 52 − 10 = 42
2. Verdoppeln rückgängig: 42 : 2 = 21
3. Verschenken rückgängig: 21 + 8 = 29
Ergebnis:
29 Karten

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof zählt Jonas 5 Tiere und 12 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 3 Hühner und 2 Kaninchen ergeben 14 Beine.
Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
4 Hühner und 1 Kaninchen: 4 · 2 + 1 · 4 = 12

Probieren: 3 Hühner und 2 Kaninchen ergeben 14 Beine.
Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
4 Hühner und 1 Kaninchen: 4 · 2 + 1 · 4 = 12

Ergebnis:

4 Hühner, 1 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 10 Tiere mit 28 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 6 Hühner und 4 Kaninchen: 6 · 2 + 4 · 4 = 28
Ergebnis:
4 Kaninchen
●14
In der Mensa zählt Emma 10 Tische und 56 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 2 Vierertische und 8 Sechsertische: 2 · 4 + 8 · 6 = 56
Ergebnis:
2 Vierertische, 8 Sechsertische
★15
Auf einem Hof zählt Aylin 13 Tiere und 30 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 7 Hühner und 6 Kaninchen ergeben 38 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 11 Hühner und 2 Kaninchen: 11 · 2 + 2 · 4 = 30
Ergebnis:
11 Hühner, 2 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Ergebnis:

1,33 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €
●17
Ein Müsliriegel kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 10 Riegeln kostet 8,40 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Riegel braucht?
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 0,90 € = 9,00 €
2. Packung: 8,40 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Eine Saftflasche kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 4 Flaschen kostet 3,30 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 0,90 € = 3,60 €
2. Packung: 3,30 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 7 Kästen liegen je 8 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?

Schritt für Schritt

7 gleiche Teile zu je 8, gesucht das Ganze
7 · 8 = 56

7 gleiche Teile zu je 8, gesucht das Ganze
7 · 8 = 56

Ergebnis:

56 Karten

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 7 Kästen liegen je 3 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
So fängst du an:
7 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 7 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
2. 7 · 3 = 21
Ergebnis:
21 Murmeln
●20
In 4 Kästen liegen je 3 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 4 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
2. 4 · 3 = 12
Ergebnis:
12 Murmeln
★21
328 Bücher werden gleichmäßig auf 8 Kästen verteilt. Wie viele Bücher kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 328, 8 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 328 : 8 = 41
Ergebnis:
41 Bücher

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Tim hat 69 Bücher, Ela hat 46 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
69 + 46 = 115

Zwei Teile, gesucht das Ganze
69 + 46 = 115

Ergebnis:

115 Bücher

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Tim hat 64 Karten, Mia hat 59 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 64 + 59 = 123
Ergebnis:
123 Karten
●23
Lina hat 31 Karten, Mia hat 26 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 31 + 26 = 57
Ergebnis:
57 Karten
★24
Ela und Noah haben zusammen 454 Murmeln. Ela hat 190 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Noah?
Lösung zeigen
1. Ganzes 454, ein Teil 190, gesucht der andere Teil
2. 454 − 190 = 264
Ergebnis:
264 Murmeln

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 14 Tore geschossen. Zum Finale kamen 275 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 12 Spiele.
2. 15 − 12 = 3
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●26
In der Klasse sind 27 Kinder. Sie spielen in 5 gleich großen Teams, wer übrig bleibt, pfeift. Wie viele Kinder pfeifen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. 27 : 5 = 5 Rest 2
2. 2 Kinder pfeifen.
Ergebnis:
lösbar, 2
●27
An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Emma sagt: „55 m Zaun mit einem Pfahl alle 5 m braucht 11 Pfähle.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. 55 : 5 = 11 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 12.
Ergebnis:
Nein, 12 Pfähle
●28
Im Kino sitzt Noah auf Platz 4 von links. Zwischen Noah und Paul sitzen 5 Kinder, Paul sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Paul?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 4 ist Noah, dann 5 Plätze dazwischen.
2. 4 + 5 + 1 = 10
Ergebnis:
Platz 10
●29
Lina kauft ein Buch für 13 €. Danach bekommt Lina 6 € geschenkt und hat jetzt 18 €. Wie viel Geld hatte Lina am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 18 € − 6 € = 12 €
2. Dann den Kauf: 12 € + 13 € = 25 €
Ergebnis:
25 €
●30
Auf einem Hof zählt Noah 8 Tiere und 24 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
2. Das passt genau.
3. 4 Hühner und 4 Kaninchen: 4 · 2 + 4 · 4 = 24
Ergebnis:
4 Hühner, 4 Kaninchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
23 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 15 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
Ergebnis:
24 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Jonas hat 42 Sticker. Ben hat 13 Sticker weniger als Jonas. Wie viele Sticker hat Ben?
Lösung zeigen
Ergebnis:
29 Sticker
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Milan kauft ein Buch für 15 €. Danach bekommt Milan 9 € geschenkt und hat jetzt 24 €. Wie viel Geld hatte Milan am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
30 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 6 Fahrzeuge mit 15 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
3 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,00 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 5 Kästen liegen je 5 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
25 Bücher
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Noah hat 29 Karten, Tim hat 37 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
66 Karten

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Die Tore im Finale fehlen
Der Preis für Erwachsene fehlt
120 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
17 Minuten
5 Minuten
26 Minuten
102 Karten
69 Bücher
52 Sticker
16:33 Uhr
21 €
29 Karten
4 Kaninchen
2 Vierertische, 8 Sechsertische
11 Hühner, 2 Kaninchen
1,67 €
die Packung
die Packung
21 Murmeln
12 Murmeln
41 Bücher
123 Karten
57 Karten
264 Murmeln
3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
lösbar, 2
Nein, 12 Pfähle
Platz 10
25 €
4 Hühner, 4 Kaninchen
Der Preis für Erwachsene fehlt
24 Minuten
29 Sticker
30 €
3 Dreiräder
1,00 €
25 Bücher
66 Karten
8:00 Uhr
150 dm

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 7:00 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 7:00 + 1:00 = 8:00 Uhr
Ergebnis:
8:00 Uhr
●40
Rechne um: 15 m in dm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 10 dm
2. 15 · 10 = 150 dm
Ergebnis:
150 dm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 27 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 27 Kinder und 7 € je Karte.
27 · 7 € = 189 €
Nicht gebraucht: die Filmdauer.

Gebraucht: 27 Kinder und 7 € je Karte.
27 · 7 € = 189 €
Nicht gebraucht: die Filmdauer.

Ergebnis:

189 €, die Filmdauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 38 Tore geschossen. Zum Finale kamen 400 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
●2
23 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 14 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
★3
24 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 14 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 24 Kinder und 5 €.
2. 24 · 5 € = 120 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
120 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.

Schritt für Schritt

Zum Beispiel: ab 6:53 Uhr, an 7:09 Uhr.
Von 6:53 bis 7:09 Uhr sind es 16 Minuten.

Zum Beispiel: ab 6:53 Uhr, an 7:09 Uhr.
Von 6:53 bis 7:09 Uhr sind es 16 Minuten.

Ergebnis:

16 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Tom ist um 6:54 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Tom auf den nächsten Bus 100?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 7:11 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:11 Uhr.
2. Von 6:54 bis 7:11 Uhr sind es 17 Minuten.
Ergebnis:
17 Minuten
●5
Mia ist um 6:57 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Mia auf den nächsten Bus 100?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:02 Uhr.
2. Von 6:57 bis 7:02 Uhr sind es 5 Minuten.
Ergebnis:
5 Minuten
★6
Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:46 Uhr, an 7:12 Uhr.
2. Von 6:46 bis 7:12 Uhr sind es 26 Minuten.
Ergebnis:
26 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Aylin hat 58 Bücher. Jonas hat 23 Bücher mehr als Aylin. Wie viele Bücher hat Jonas?

Schritt für Schritt

Jonas hat mehr: der Streifen von Jonas ist länger
58 + 23 = 81

Jonas hat mehr: der Streifen von Jonas ist länger
58 + 23 = 81

Ergebnis:

81 Bücher

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Ela hat 83 Karten. Jonas hat 19 Karten mehr als Ela. Wie viele Karten hat Jonas?
So fängst du an:
Jonas hat mehr: der Streifen von Jonas ist länger
Lösung zeigen
1. Jonas hat mehr: der Streifen von Jonas ist länger
2. 83 + 19 = 102
Ergebnis:
102 Karten
●8
Aylin hat 90 Bücher. Tim hat 21 Bücher weniger als Aylin. Wie viele Bücher hat Tim?
Lösung zeigen
1. Tim hat weniger: der Streifen von Tim ist kürzer
2. 90 − 21 = 69
Ergebnis:
69 Bücher
★9
Mia hat 709 Sticker, Aylin hat 761 Sticker. Wie viele Sticker hat Aylin mehr?
Lösung zeigen
1. Der Unterschied ist der Rest zwischen den Streifen
2. 761 − 709 = 52
Ergebnis:
52 Sticker

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Noah braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 34 Minuten für den Weg. Wann muss Noah spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 15:51 Uhr.
Noch 34 Minuten früher: 15:17 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 15:51 Uhr.
Noch 34 Minuten früher: 15:17 Uhr.

Ergebnis:

15:17 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Noah braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 19 Minuten für den Weg. Wann muss Noah spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 16:52 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 16:52 Uhr.
2. Noch 19 Minuten früher: 16:33 Uhr.
Ergebnis:
16:33 Uhr
●11
Elias kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Elias 10 € geschenkt und hat jetzt 24 €. Wie viel Geld hatte Elias am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 24 € − 10 € = 14 €
2. Dann den Kauf: 14 € + 7 € = 21 €
Ergebnis:
21 €
★12
Milan verschenkt 8 Sammelkarten. Dann verdoppelt sich die Sammlung durch ein Tauschspiel, und zuletzt kauft Milan noch 10 Karten dazu. Jetzt sind es 52. Wie viele Karten waren es am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts: 52 − 10 = 42
2. Verdoppeln rückgängig: 42 : 2 = 21
3. Verschenken rückgängig: 21 + 8 = 29
Ergebnis:
29 Karten

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof zählt Jonas 5 Tiere und 12 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 3 Hühner und 2 Kaninchen ergeben 14 Beine.
Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
4 Hühner und 1 Kaninchen: 4 · 2 + 1 · 4 = 12

Probieren: 3 Hühner und 2 Kaninchen ergeben 14 Beine.
Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
4 Hühner und 1 Kaninchen: 4 · 2 + 1 · 4 = 12

Ergebnis:

4 Hühner, 1 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 10 Tiere mit 28 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 6 Hühner und 4 Kaninchen: 6 · 2 + 4 · 4 = 28
Ergebnis:
4 Kaninchen
●14
In der Mensa zählt Emma 10 Tische und 56 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 2 Vierertische und 8 Sechsertische: 2 · 4 + 8 · 6 = 56
Ergebnis:
2 Vierertische, 8 Sechsertische
★15
Auf einem Hof zählt Aylin 13 Tiere und 30 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 7 Hühner und 6 Kaninchen ergeben 38 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 11 Hühner und 2 Kaninchen: 11 · 2 + 2 · 4 = 30
Ergebnis:
11 Hühner, 2 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Ergebnis:

1,33 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €
●17
Ein Müsliriegel kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 10 Riegeln kostet 8,40 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Riegel braucht?
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 0,90 € = 9,00 €
2. Packung: 8,40 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Eine Saftflasche kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 4 Flaschen kostet 3,30 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 0,90 € = 3,60 €
2. Packung: 3,30 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 7 Kästen liegen je 8 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?

Schritt für Schritt

7 gleiche Teile zu je 8, gesucht das Ganze
7 · 8 = 56

7 gleiche Teile zu je 8, gesucht das Ganze
7 · 8 = 56

Ergebnis:

56 Karten

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 7 Kästen liegen je 3 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
So fängst du an:
7 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 7 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
2. 7 · 3 = 21
Ergebnis:
21 Murmeln
●20
In 4 Kästen liegen je 3 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 4 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
2. 4 · 3 = 12
Ergebnis:
12 Murmeln
★21
328 Bücher werden gleichmäßig auf 8 Kästen verteilt. Wie viele Bücher kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 328, 8 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 328 : 8 = 41
Ergebnis:
41 Bücher

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Tim hat 69 Bücher, Ela hat 46 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
69 + 46 = 115

Zwei Teile, gesucht das Ganze
69 + 46 = 115

Ergebnis:

115 Bücher

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Tim hat 64 Karten, Mia hat 59 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 64 + 59 = 123
Ergebnis:
123 Karten
●23
Lina hat 31 Karten, Mia hat 26 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 31 + 26 = 57
Ergebnis:
57 Karten
★24
Ela und Noah haben zusammen 454 Murmeln. Ela hat 190 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Noah?
Lösung zeigen
1. Ganzes 454, ein Teil 190, gesucht der andere Teil
2. 454 − 190 = 264
Ergebnis:
264 Murmeln

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 14 Tore geschossen. Zum Finale kamen 275 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 12 Spiele.
2. 15 − 12 = 3
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●26
In der Klasse sind 27 Kinder. Sie spielen in 5 gleich großen Teams, wer übrig bleibt, pfeift. Wie viele Kinder pfeifen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. 27 : 5 = 5 Rest 2
2. 2 Kinder pfeifen.
Ergebnis:
lösbar, 2
●27
An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Emma sagt: „55 m Zaun mit einem Pfahl alle 5 m braucht 11 Pfähle.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. 55 : 5 = 11 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 12.
Ergebnis:
Nein, 12 Pfähle
●28
Im Kino sitzt Noah auf Platz 4 von links. Zwischen Noah und Paul sitzen 5 Kinder, Paul sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Paul?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 4 ist Noah, dann 5 Plätze dazwischen.
2. 4 + 5 + 1 = 10
Ergebnis:
Platz 10
●29
Lina kauft ein Buch für 13 €. Danach bekommt Lina 6 € geschenkt und hat jetzt 18 €. Wie viel Geld hatte Lina am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 18 € − 6 € = 12 €
2. Dann den Kauf: 12 € + 13 € = 25 €
Ergebnis:
25 €
●30
Auf einem Hof zählt Noah 8 Tiere und 24 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
2. Das passt genau.
3. 4 Hühner und 4 Kaninchen: 4 · 2 + 4 · 4 = 24
Ergebnis:
4 Hühner, 4 Kaninchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
23 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 15 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
Ergebnis:
24 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Jonas hat 42 Sticker. Ben hat 13 Sticker weniger als Jonas. Wie viele Sticker hat Ben?
Lösung zeigen
Ergebnis:
29 Sticker
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Milan kauft ein Buch für 15 €. Danach bekommt Milan 9 € geschenkt und hat jetzt 24 €. Wie viel Geld hatte Milan am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
30 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 6 Fahrzeuge mit 15 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
3 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,00 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 5 Kästen liegen je 5 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
25 Bücher
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Noah hat 29 Karten, Tim hat 37 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
66 Karten

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Die Tore im Finale fehlen
Der Preis für Erwachsene fehlt
120 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
17 Minuten
5 Minuten
26 Minuten
102 Karten
69 Bücher
52 Sticker
16:33 Uhr
21 €
29 Karten
4 Kaninchen
2 Vierertische, 8 Sechsertische
11 Hühner, 2 Kaninchen
1,67 €
die Packung
die Packung
21 Murmeln
12 Murmeln
41 Bücher
123 Karten
57 Karten
264 Murmeln
3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
lösbar, 2
Nein, 12 Pfähle
Platz 10
25 €
4 Hühner, 4 Kaninchen
Der Preis für Erwachsene fehlt
24 Minuten
29 Sticker
30 €
3 Dreiräder
1,00 €
25 Bücher
66 Karten
8:00 Uhr
150 dm