Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 7:30 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 90 min = 1 h 30 min
2. 7:30 + 1:30 = 9:00 Uhr
Ergebnis:
9:00 Uhr
●40
Rechne um: 8 € in ct.
Lösung zeigen
1. 1 € = 100 ct
2. 8 · 100 = 800 ct
Ergebnis:
800 ct

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 27 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 95 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 95 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Ergebnis:

Der Beginn des Films fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 27 Tore geschossen. Zum Finale kamen 384 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 28 Tore geschossen. Zum Finale kamen 442 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 12 Spiele.
2. 15 − 12 = 3
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 27 Tore geschossen. Zum Finale kamen 340 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 8:07 Uhr. Welchen Bus M29 muss Paul spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 8:07 Uhr: 7:11, 7:31, 7:51 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:51 Uhr an.
Er fährt um 7:34 Uhr ab.

Ankunft vor 8:07 Uhr: 7:11, 7:31, 7:51 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:51 Uhr an.
Er fährt um 7:34 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 7:34 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Sofia ist um 6:59 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Sofia auf den nächsten Bus 248?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 7:14 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:14 Uhr.
2. Von 6:59 bis 7:14 Uhr sind es 15 Minuten.
Ergebnis:
15 Minuten
●5
Der Unterricht beginnt um 7:21 Uhr. Welchen Bus X34 muss Noah spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:21 Uhr: 7:02, 7:17 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:17 Uhr an.
3. Er fährt um 7:03 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:03 Uhr
★6
Ben ist um 6:54 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Ben auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
2. Von 6:54 bis 7:01 Uhr sind es 7 Minuten.
Ergebnis:
7 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Jonas hat 68 Karten. Ben hat 13 Karten mehr als Jonas. Wie viele Karten hat Ben?

Schritt für Schritt

Ben hat mehr: der Streifen von Ben ist länger
68 + 13 = 81

Ben hat mehr: der Streifen von Ben ist länger
68 + 13 = 81

Ergebnis:

81 Karten

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Tim hat 86 Sticker. Noah hat 17 Sticker mehr als Tim. Wie viele Sticker hat Noah?
So fängst du an:
Noah hat mehr: der Streifen von Noah ist länger
Lösung zeigen
1. Noah hat mehr: der Streifen von Noah ist länger
2. 86 + 17 = 103
Ergebnis:
103 Sticker
●8
Aylin hat 83 Murmeln. Mia hat 14 Murmeln weniger als Aylin. Wie viele Murmeln hat Mia?
Lösung zeigen
1. Mia hat weniger: der Streifen von Mia ist kürzer
2. 83 − 14 = 69
Ergebnis:
69 Murmeln
★9
Aylin hat 840 Murmeln, Mia hat 793 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Aylin mehr?
Lösung zeigen
1. Der Unterschied ist der Rest zwischen den Streifen
2. 840 − 793 = 47
Ergebnis:
47 Murmeln

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Emma braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 22 Minuten für den Weg. Wann muss Emma spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 16:46 Uhr.
Noch 22 Minuten früher: 16:24 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 16:46 Uhr.
Noch 22 Minuten früher: 16:24 Uhr.

Ergebnis:

16:24 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Ben kauft ein Buch für 17 €. Danach bekommt Ben 5 € geschenkt und hat jetzt 26 €. Wie viel Geld hatte Ben am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 26 € − 5 € = 21 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 26 € − 5 € = 21 €
2. Dann den Kauf: 21 € + 17 € = 38 €
Ergebnis:
38 €
●11
Elias kauft ein Buch für 8 €. Danach bekommt Elias 10 € geschenkt und hat jetzt 16 €. Wie viel Geld hatte Elias am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 16 € − 10 € = 6 €
2. Dann den Kauf: 6 € + 8 € = 14 €
Ergebnis:
14 €
★12
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Tom braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 26 Minuten für den Weg. Wann muss Tom spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 16:53 Uhr.
2. Noch 26 Minuten früher: 16:27 Uhr.
Ergebnis:
16:27 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof zählt Emma 8 Tiere und 26 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3 Hühner und 5 Kaninchen: 3 · 2 + 5 · 4 = 26

Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3 Hühner und 5 Kaninchen: 3 · 2 + 5 · 4 = 26

Ergebnis:

3 Hühner, 5 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 10 Tische mit 50 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
2. Das passt genau.
3. 5 Vierertische und 5 Sechsertische: 5 · 4 + 5 · 6 = 50
Ergebnis:
5 Sechsertische
●14
Auf einem Hof zählt Ben 7 Tiere und 16 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 6 Hühner und 1 Kaninchen: 6 · 2 + 1 · 4 = 16
Ergebnis:
6 Hühner, 1 Kaninchen
★15
Im Hof der Kita zählt Aylin 15 Fahrzeuge und 41 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 8 Fahrräder und 7 Dreiräder ergeben 37 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 4 Fahrräder und 11 Dreiräder: 4 · 2 + 11 · 3 = 41
Ergebnis:
4 Fahrräder, 11 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Ergebnis:

1,33 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 10 Riegeln kostet 15,30 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Riegel braucht?
So fängst du an:
10 einzeln: 10 · 1,50 € = 15,00 €
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 1,50 € = 15,00 €
2. Packung: 15,30 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
●17
Ein Bleistift kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 6 Bleistiften kostet 8,70 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bleistifte braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 1,50 € = 9,00 €
2. Packung: 8,70 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Ein Bleistift kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 6 Bleistiften kostet 9,30 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bleistifte braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 1,50 € = 9,00 €
2. Packung: 9,30 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 6 Kästen liegen je 3 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?

Schritt für Schritt

6 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
6 · 3 = 18

6 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
6 · 3 = 18

Ergebnis:

18 Karten

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 7 Kästen liegen je 9 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
So fängst du an:
7 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 7 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
2. 7 · 9 = 63
Ergebnis:
63 Sticker
●20
In 8 Kästen liegen je 9 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 8 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
2. 8 · 9 = 72
Ergebnis:
72 Karten
★21
363 Sticker werden gleichmäßig auf 11 Kästen verteilt. Wie viele Sticker kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 363, 11 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 363 : 11 = 33
Ergebnis:
33 Sticker

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Lina hat 84 Sticker, Ela hat 69 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
84 + 69 = 153

Zwei Teile, gesucht das Ganze
84 + 69 = 153

Ergebnis:

153 Sticker

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Ela hat 79 Sticker, Lina hat 58 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 79 + 58 = 137
Ergebnis:
137 Sticker
●23
Aylin hat 30 Karten, Noah hat 70 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 30 + 70 = 100
Ergebnis:
100 Karten
★24
Lina und Jonas haben zusammen 703 Sticker. Lina hat 359 Sticker. Wie viele Sticker hat Jonas?
Lösung zeigen
1. Ganzes 703, ein Teil 359, gesucht der andere Teil
2. 703 − 359 = 344
Ergebnis:
344 Sticker

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 10 Spiele gemacht und 29 Tore geschossen. Zum Finale kamen 474 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
●26
Auf einem Schiff sind 34 Schafe und 14 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?
Lösung zeigen
1. Die Angaben handeln von Tieren.
2. Über den Kapitän steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Lea ist um 6:57 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lea auf den nächsten Bus 100?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:06 Uhr.
2. Von 6:57 bis 7:06 Uhr sind es 9 Minuten.
Ergebnis:
9 Minuten
●28
Entlang eines Weges stehen 13 Laternen im Abstand von 2 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 13 Laternen haben 12 Abstände dazwischen.
2. 12 · 2 m = 24 m
Ergebnis:
24 m
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Emma an 3. Stelle von vorn und an 6. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 2 Kinder, dann Emma, dahinter 5 Kinder.
2. 2 + 1 + 5 = 8
Ergebnis:
8 Kinder
●30
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Aylin braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 21 Minuten für den Weg. Wann muss Aylin spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 16:51 Uhr.
2. Noch 21 Minuten früher: 16:30 Uhr.
Ergebnis:
16:30 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die 5b fährt mit 30 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 110 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 7:33 Uhr. Welchen Bus 248 muss Aylin spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 7:04 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Aylin hat 75 Bücher. Mia hat 14 Bücher mehr als Aylin. Wie viele Bücher hat Mia?
Lösung zeigen
Ergebnis:
89 Bücher
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Can kauft ein Buch für 5 €. Danach bekommt Can 6 € geschenkt und hat jetzt 11 €. Wie viel Geld hatte Can am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
10 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Auf einem Hof zählt Elias 6 Tiere und 16 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
4 Hühner, 2 Kaninchen
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,33 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 7 Kästen liegen je 7 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
49 Bücher
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Tim hat 48 Murmeln, Ben hat 41 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
89 Murmeln

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Die Tore im Finale fehlen
3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Die Tore im Finale fehlen
15 Minuten
den um 7:03 Uhr
7 Minuten
103 Sticker
69 Murmeln
47 Murmeln
38 €
14 €
16:27 Uhr
5 Sechsertische
6 Hühner, 1 Kaninchen
4 Fahrräder, 11 Dreiräder
einzeln
die Packung
einzeln
63 Sticker
72 Karten
33 Sticker
137 Sticker
100 Karten
344 Sticker
Die Tore im Finale fehlen
nicht lösbar
9 Minuten
24 m
8 Kinder
16:30 Uhr
Der Beginn des Films fehlt
den um 7:04 Uhr
89 Bücher
10 €
4 Hühner, 2 Kaninchen
1,33 €
49 Bücher
89 Murmeln
9:00 Uhr
800 ct

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 7:30 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 90 min = 1 h 30 min
2. 7:30 + 1:30 = 9:00 Uhr
Ergebnis:
9:00 Uhr
●40
Rechne um: 8 € in ct.
Lösung zeigen
1. 1 € = 100 ct
2. 8 · 100 = 800 ct
Ergebnis:
800 ct

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 27 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 95 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 95 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Ergebnis:

Der Beginn des Films fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 27 Tore geschossen. Zum Finale kamen 384 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 28 Tore geschossen. Zum Finale kamen 442 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 12 Spiele.
2. 15 − 12 = 3
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 27 Tore geschossen. Zum Finale kamen 340 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 8:07 Uhr. Welchen Bus M29 muss Paul spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 8:07 Uhr: 7:11, 7:31, 7:51 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:51 Uhr an.
Er fährt um 7:34 Uhr ab.

Ankunft vor 8:07 Uhr: 7:11, 7:31, 7:51 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:51 Uhr an.
Er fährt um 7:34 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 7:34 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Sofia ist um 6:59 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Sofia auf den nächsten Bus 248?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 7:14 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:14 Uhr.
2. Von 6:59 bis 7:14 Uhr sind es 15 Minuten.
Ergebnis:
15 Minuten
●5
Der Unterricht beginnt um 7:21 Uhr. Welchen Bus X34 muss Noah spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:21 Uhr: 7:02, 7:17 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:17 Uhr an.
3. Er fährt um 7:03 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:03 Uhr
★6
Ben ist um 6:54 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Ben auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
2. Von 6:54 bis 7:01 Uhr sind es 7 Minuten.
Ergebnis:
7 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Jonas hat 68 Karten. Ben hat 13 Karten mehr als Jonas. Wie viele Karten hat Ben?

Schritt für Schritt

Ben hat mehr: der Streifen von Ben ist länger
68 + 13 = 81

Ben hat mehr: der Streifen von Ben ist länger
68 + 13 = 81

Ergebnis:

81 Karten

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Tim hat 86 Sticker. Noah hat 17 Sticker mehr als Tim. Wie viele Sticker hat Noah?
So fängst du an:
Noah hat mehr: der Streifen von Noah ist länger
Lösung zeigen
1. Noah hat mehr: der Streifen von Noah ist länger
2. 86 + 17 = 103
Ergebnis:
103 Sticker
●8
Aylin hat 83 Murmeln. Mia hat 14 Murmeln weniger als Aylin. Wie viele Murmeln hat Mia?
Lösung zeigen
1. Mia hat weniger: der Streifen von Mia ist kürzer
2. 83 − 14 = 69
Ergebnis:
69 Murmeln
★9
Aylin hat 840 Murmeln, Mia hat 793 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Aylin mehr?
Lösung zeigen
1. Der Unterschied ist der Rest zwischen den Streifen
2. 840 − 793 = 47
Ergebnis:
47 Murmeln

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Emma braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 22 Minuten für den Weg. Wann muss Emma spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 16:46 Uhr.
Noch 22 Minuten früher: 16:24 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 16:46 Uhr.
Noch 22 Minuten früher: 16:24 Uhr.

Ergebnis:

16:24 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Ben kauft ein Buch für 17 €. Danach bekommt Ben 5 € geschenkt und hat jetzt 26 €. Wie viel Geld hatte Ben am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 26 € − 5 € = 21 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 26 € − 5 € = 21 €
2. Dann den Kauf: 21 € + 17 € = 38 €
Ergebnis:
38 €
●11
Elias kauft ein Buch für 8 €. Danach bekommt Elias 10 € geschenkt und hat jetzt 16 €. Wie viel Geld hatte Elias am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 16 € − 10 € = 6 €
2. Dann den Kauf: 6 € + 8 € = 14 €
Ergebnis:
14 €
★12
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Tom braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 26 Minuten für den Weg. Wann muss Tom spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 16:53 Uhr.
2. Noch 26 Minuten früher: 16:27 Uhr.
Ergebnis:
16:27 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof zählt Emma 8 Tiere und 26 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3 Hühner und 5 Kaninchen: 3 · 2 + 5 · 4 = 26

Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3 Hühner und 5 Kaninchen: 3 · 2 + 5 · 4 = 26

Ergebnis:

3 Hühner, 5 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 10 Tische mit 50 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
2. Das passt genau.
3. 5 Vierertische und 5 Sechsertische: 5 · 4 + 5 · 6 = 50
Ergebnis:
5 Sechsertische
●14
Auf einem Hof zählt Ben 7 Tiere und 16 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 6 Hühner und 1 Kaninchen: 6 · 2 + 1 · 4 = 16
Ergebnis:
6 Hühner, 1 Kaninchen
★15
Im Hof der Kita zählt Aylin 15 Fahrzeuge und 41 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 8 Fahrräder und 7 Dreiräder ergeben 37 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 4 Fahrräder und 11 Dreiräder: 4 · 2 + 11 · 3 = 41
Ergebnis:
4 Fahrräder, 11 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Ergebnis:

1,33 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 10 Riegeln kostet 15,30 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Riegel braucht?
So fängst du an:
10 einzeln: 10 · 1,50 € = 15,00 €
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 1,50 € = 15,00 €
2. Packung: 15,30 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
●17
Ein Bleistift kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 6 Bleistiften kostet 8,70 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bleistifte braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 1,50 € = 9,00 €
2. Packung: 8,70 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Ein Bleistift kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 6 Bleistiften kostet 9,30 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bleistifte braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 1,50 € = 9,00 €
2. Packung: 9,30 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 6 Kästen liegen je 3 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?

Schritt für Schritt

6 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
6 · 3 = 18

6 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
6 · 3 = 18

Ergebnis:

18 Karten

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 7 Kästen liegen je 9 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
So fängst du an:
7 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 7 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
2. 7 · 9 = 63
Ergebnis:
63 Sticker
●20
In 8 Kästen liegen je 9 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 8 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
2. 8 · 9 = 72
Ergebnis:
72 Karten
★21
363 Sticker werden gleichmäßig auf 11 Kästen verteilt. Wie viele Sticker kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 363, 11 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 363 : 11 = 33
Ergebnis:
33 Sticker

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Lina hat 84 Sticker, Ela hat 69 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
84 + 69 = 153

Zwei Teile, gesucht das Ganze
84 + 69 = 153

Ergebnis:

153 Sticker

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Ela hat 79 Sticker, Lina hat 58 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 79 + 58 = 137
Ergebnis:
137 Sticker
●23
Aylin hat 30 Karten, Noah hat 70 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 30 + 70 = 100
Ergebnis:
100 Karten
★24
Lina und Jonas haben zusammen 703 Sticker. Lina hat 359 Sticker. Wie viele Sticker hat Jonas?
Lösung zeigen
1. Ganzes 703, ein Teil 359, gesucht der andere Teil
2. 703 − 359 = 344
Ergebnis:
344 Sticker

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 10 Spiele gemacht und 29 Tore geschossen. Zum Finale kamen 474 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
●26
Auf einem Schiff sind 34 Schafe und 14 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?
Lösung zeigen
1. Die Angaben handeln von Tieren.
2. Über den Kapitän steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Lea ist um 6:57 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lea auf den nächsten Bus 100?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:06 Uhr.
2. Von 6:57 bis 7:06 Uhr sind es 9 Minuten.
Ergebnis:
9 Minuten
●28
Entlang eines Weges stehen 13 Laternen im Abstand von 2 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 13 Laternen haben 12 Abstände dazwischen.
2. 12 · 2 m = 24 m
Ergebnis:
24 m
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Emma an 3. Stelle von vorn und an 6. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 2 Kinder, dann Emma, dahinter 5 Kinder.
2. 2 + 1 + 5 = 8
Ergebnis:
8 Kinder
●30
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Aylin braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 21 Minuten für den Weg. Wann muss Aylin spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 16:51 Uhr.
2. Noch 21 Minuten früher: 16:30 Uhr.
Ergebnis:
16:30 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die 5b fährt mit 30 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 110 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 7:33 Uhr. Welchen Bus 248 muss Aylin spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 7:04 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Aylin hat 75 Bücher. Mia hat 14 Bücher mehr als Aylin. Wie viele Bücher hat Mia?
Lösung zeigen
Ergebnis:
89 Bücher
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Can kauft ein Buch für 5 €. Danach bekommt Can 6 € geschenkt und hat jetzt 11 €. Wie viel Geld hatte Can am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
10 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Auf einem Hof zählt Elias 6 Tiere und 16 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
4 Hühner, 2 Kaninchen
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,33 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 7 Kästen liegen je 7 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
49 Bücher
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Tim hat 48 Murmeln, Ben hat 41 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
89 Murmeln

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Die Tore im Finale fehlen
3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Die Tore im Finale fehlen
15 Minuten
den um 7:03 Uhr
7 Minuten
103 Sticker
69 Murmeln
47 Murmeln
38 €
14 €
16:27 Uhr
5 Sechsertische
6 Hühner, 1 Kaninchen
4 Fahrräder, 11 Dreiräder
einzeln
die Packung
einzeln
63 Sticker
72 Karten
33 Sticker
137 Sticker
100 Karten
344 Sticker
Die Tore im Finale fehlen
nicht lösbar
9 Minuten
24 m
8 Kinder
16:30 Uhr
Der Beginn des Films fehlt
den um 7:04 Uhr
89 Bücher
10 €
4 Hühner, 2 Kaninchen
1,33 €
49 Bücher
89 Murmeln
9:00 Uhr
800 ct