Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:00 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 8:00 + 1:00 = 9:00 Uhr
Ergebnis:
9:00 Uhr
●40
Rechne um: 6 h in min.
Lösung zeigen
1. 1 h = 60 min
2. 6 · 60 = 360 min
Ergebnis:
360 min

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 17 Tore geschossen. Zum Finale kamen 463 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 7 Spiele.
15 − 7 = 8
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Gebraucht: 7 Spiele.
15 − 7 = 8
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Ergebnis:

8 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 27 Tore geschossen. Zum Finale kamen 331 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 6 Spiele.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 6 Spiele.
2. 15 − 6 = 9
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 17 Tore geschossen. Zum Finale kamen 197 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 25 Tore geschossen. Zum Finale kamen 384 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:22 Uhr. Welchen Bus 100 muss Noah spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 7:22 Uhr: 6:54, 7:09 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:09 Uhr an.
Er fährt um 6:54 Uhr ab.

Ankunft vor 7:22 Uhr: 6:54, 7:09 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:09 Uhr an.
Er fährt um 6:54 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 6:54 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Milan ist um 7:02 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Milan auf den nächsten Bus M29?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 7:13 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:13 Uhr.
2. Von 7:02 bis 7:13 Uhr sind es 11 Minuten.
Ergebnis:
11 Minuten
●5
Lea ist um 6:45 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lea auf den nächsten Bus X34?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:53 Uhr.
2. Von 6:45 bis 6:53 Uhr sind es 8 Minuten.
Ergebnis:
8 Minuten
★6
Der Unterricht beginnt um 8:06 Uhr. Welchen Bus M29 muss Emma spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 8:06 Uhr: 7:09, 7:24, 7:39, 7:54 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:54 Uhr an.
3. Er fährt um 7:34 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:34 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Lina hat 89 Sticker. Ben hat 29 Sticker mehr als Lina. Wie viele Sticker hat Ben?

Schritt für Schritt

Ben hat mehr: der Streifen von Ben ist länger
89 + 29 = 118

Ben hat mehr: der Streifen von Ben ist länger
89 + 29 = 118

Ergebnis:

118 Sticker

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Jonas hat 60 Karten. Noah hat 12 Karten weniger als Jonas. Wie viele Karten hat Noah?
So fängst du an:
Noah hat weniger: der Streifen von Noah ist kürzer
Lösung zeigen
1. Noah hat weniger: der Streifen von Noah ist kürzer
2. 60 − 12 = 48
Ergebnis:
48 Karten
●8
Lina hat 56 Sticker. Tim hat 28 Sticker weniger als Lina. Wie viele Sticker hat Tim?
Lösung zeigen
1. Tim hat weniger: der Streifen von Tim ist kürzer
2. 56 − 28 = 28
Ergebnis:
28 Sticker
★9
Tim hat 330 Sticker. Aylin hat 77 Sticker weniger als Tim. Wie viele Sticker hat Aylin?
Lösung zeigen
1. Aylin hat weniger: der Streifen von Aylin ist kürzer
2. 330 − 77 = 253
Ergebnis:
253 Sticker

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Ben braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 33 Minuten für den Weg. Wann muss Ben spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 15:50 Uhr.
Noch 33 Minuten früher: 15:17 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 15:50 Uhr.
Noch 33 Minuten früher: 15:17 Uhr.

Ergebnis:

15:17 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Paul kauft ein Buch für 6 €. Danach bekommt Paul 7 € geschenkt und hat jetzt 32 €. Wie viel Geld hatte Paul am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 32 € − 7 € = 25 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 32 € − 7 € = 25 €
2. Dann den Kauf: 25 € + 6 € = 31 €
Ergebnis:
31 €
●11
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Milan braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 34 Minuten für den Weg. Wann muss Milan spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 15:16 Uhr.
2. Noch 34 Minuten früher: 14:42 Uhr.
Ergebnis:
14:42 Uhr
★12
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Aylin braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 15 Minuten für den Weg. Wann muss Aylin spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 16:10 Uhr.
2. Noch 15 Minuten früher: 15:55 Uhr.
Ergebnis:
15:55 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 9 Tische mit 42 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
6 Vierertische und 3 Sechsertische: 6 · 4 + 3 · 6 = 42

Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
6 Vierertische und 3 Sechsertische: 6 · 4 + 3 · 6 = 42

Ergebnis:

3 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 10 Tische mit 50 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
2. Das passt genau.
3. 5 Vierertische und 5 Sechsertische: 5 · 4 + 5 · 6 = 50
Ergebnis:
5 Sechsertische
●14
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 6 Tiere mit 16 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 4 Hühner und 2 Kaninchen: 4 · 2 + 2 · 4 = 16
Ergebnis:
2 Kaninchen
★15
Auf einem Hof zählt Can 17 Tiere und 66 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 9 Hühner und 8 Kaninchen ergeben 50 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 1 Huhn und 16 Kaninchen: 1 · 2 + 16 · 4 = 66
Ergebnis:
1 Huhn, 16 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Eine Saftflasche kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 8,40 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?

Schritt für Schritt

10 einzeln: 10 · 0,90 € = 9,00 €
Packung: 8,40 €
Die Packung ist günstiger.

10 einzeln: 10 · 0,90 € = 9,00 €
Packung: 8,40 €
Die Packung ist günstiger.

Ergebnis:

die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Bleistift kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 10,60 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?
So fängst du an:
4 einzeln: 4 · 2,50 € = 10,00 €
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 2,50 € = 10,00 €
2. Packung: 10,60 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
●17
Ein Tennisball kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 6 Bällen kostet 15,60 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bälle braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 2,50 € = 15,00 €
2. Packung: 15,60 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
★18
Eine Fahrt kostet 2,60 €. Eine Monatskarte kostet 58,00 €. Paul fährt im Monat 17-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 17 · 2,60 € = 44,20 €
2. Monatskarte: 58,00 €
3. Einzeln ist günstiger: Die Karte lohnt sich nicht.
Ergebnis:
Nein

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 3 Kästen liegen je 4 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?

Schritt für Schritt

3 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
3 · 4 = 12

3 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
3 · 4 = 12

Ergebnis:

12 Karten

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 4 Kästen liegen je 5 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
So fängst du an:
4 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 4 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
2. 4 · 5 = 20
Ergebnis:
20 Bücher
●20
In 6 Kästen liegen je 3 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 6 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
2. 6 · 3 = 18
Ergebnis:
18 Sticker
★21
198 Sticker werden gleichmäßig auf 11 Kästen verteilt. Wie viele Sticker kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 198, 11 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 198 : 11 = 18
Ergebnis:
18 Sticker

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Mia hat 68 Murmeln, Ela hat 29 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
68 + 29 = 97

Zwei Teile, gesucht das Ganze
68 + 29 = 97

Ergebnis:

97 Murmeln

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Mia hat 88 Karten, Jonas hat 84 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 88 + 84 = 172
Ergebnis:
172 Karten
●23
Ela hat 41 Murmeln, Tim hat 60 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 41 + 60 = 101
Ergebnis:
101 Murmeln
★24
Lina und Ben haben zusammen 448 Sticker. Lina hat 235 Sticker. Wie viele Sticker hat Ben?
Lösung zeigen
1. Ganzes 448, ein Teil 235, gesucht der andere Teil
2. 448 − 235 = 213
Ergebnis:
213 Sticker

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die 5b fährt mit 24 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 110 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 24 Kinder und 7 € je Karte.
2. 24 · 7 € = 168 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
168 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●26
Auf einem Schiff sind 34 Schafe und 15 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?
Lösung zeigen
1. Die Angaben handeln von Tieren.
2. Über den Kapitän steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Der Unterricht beginnt um 7:55 Uhr. Welchen Bus 100 muss Hanna spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:55 Uhr: 7:16, 7:26, 7:36, 7:46 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:46 Uhr an.
3. Er fährt um 7:19 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:19 Uhr
●28
Entlang eines Weges stehen 12 Zaunpfähle im Abstand von 10 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 12 Zaunpfähle haben 11 Abstände dazwischen.
2. 11 · 10 m = 110 m
Ergebnis:
110 m
●29
Im Kino sitzt Ben auf Platz 9 von links. Zwischen Ben und Zeynep sitzen 5 Kinder, Zeynep sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Zeynep?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 9 ist Ben, dann 5 Plätze dazwischen.
2. 9 + 5 + 1 = 15
Ergebnis:
Platz 15
●30
Paul kauft ein Buch für 15 €. Danach bekommt Paul 3 € geschenkt und hat jetzt 12 €. Wie viel Geld hatte Paul am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 12 € − 3 € = 9 €
2. Dann den Kauf: 9 € + 15 € = 24 €
Ergebnis:
24 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
25 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 11 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
150 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 7:43 Uhr. Welchen Bus M29 muss Jonas spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 7:28 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Jonas hat 90 Sticker. Ela hat 17 Sticker weniger als Jonas. Wie viele Sticker hat Ela?
Lösung zeigen
Ergebnis:
73 Sticker
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Aylin braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 30 Minuten für den Weg. Wann muss Aylin spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
15:36 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Auf einem Hof zählt Elias 9 Tiere und 22 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
7 Hühner, 2 Kaninchen
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Tennisball kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 10 Bällen kostet 24,00 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bälle braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
die Packung
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 4 Kästen liegen je 3 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
12 Murmeln
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Noah hat 67 Sticker, Jonas hat 68 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
135 Sticker

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Die Tore im Finale fehlen
Die Tore im Finale fehlen
11 Minuten
8 Minuten
den um 7:34 Uhr
48 Karten
28 Sticker
253 Sticker
31 €
14:42 Uhr
15:55 Uhr
5 Sechsertische
2 Kaninchen
1 Huhn, 16 Kaninchen
einzeln
einzeln
Nein
20 Bücher
18 Sticker
18 Sticker
172 Karten
101 Murmeln
213 Sticker
168 €, die Filmdauer brauche ich nicht
nicht lösbar
den um 7:19 Uhr
110 m
Platz 15
24 €
150 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
den um 7:28 Uhr
73 Sticker
15:36 Uhr
7 Hühner, 2 Kaninchen
die Packung
12 Murmeln
135 Sticker
9:00 Uhr
360 min

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:00 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 8:00 + 1:00 = 9:00 Uhr
Ergebnis:
9:00 Uhr
●40
Rechne um: 6 h in min.
Lösung zeigen
1. 1 h = 60 min
2. 6 · 60 = 360 min
Ergebnis:
360 min

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 17 Tore geschossen. Zum Finale kamen 463 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 7 Spiele.
15 − 7 = 8
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Gebraucht: 7 Spiele.
15 − 7 = 8
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Ergebnis:

8 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 27 Tore geschossen. Zum Finale kamen 331 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 6 Spiele.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 6 Spiele.
2. 15 − 6 = 9
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 17 Tore geschossen. Zum Finale kamen 197 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 25 Tore geschossen. Zum Finale kamen 384 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:22 Uhr. Welchen Bus 100 muss Noah spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 7:22 Uhr: 6:54, 7:09 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:09 Uhr an.
Er fährt um 6:54 Uhr ab.

Ankunft vor 7:22 Uhr: 6:54, 7:09 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:09 Uhr an.
Er fährt um 6:54 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 6:54 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Milan ist um 7:02 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Milan auf den nächsten Bus M29?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 7:13 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:13 Uhr.
2. Von 7:02 bis 7:13 Uhr sind es 11 Minuten.
Ergebnis:
11 Minuten
●5
Lea ist um 6:45 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lea auf den nächsten Bus X34?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:53 Uhr.
2. Von 6:45 bis 6:53 Uhr sind es 8 Minuten.
Ergebnis:
8 Minuten
★6
Der Unterricht beginnt um 8:06 Uhr. Welchen Bus M29 muss Emma spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 8:06 Uhr: 7:09, 7:24, 7:39, 7:54 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:54 Uhr an.
3. Er fährt um 7:34 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:34 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Lina hat 89 Sticker. Ben hat 29 Sticker mehr als Lina. Wie viele Sticker hat Ben?

Schritt für Schritt

Ben hat mehr: der Streifen von Ben ist länger
89 + 29 = 118

Ben hat mehr: der Streifen von Ben ist länger
89 + 29 = 118

Ergebnis:

118 Sticker

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Jonas hat 60 Karten. Noah hat 12 Karten weniger als Jonas. Wie viele Karten hat Noah?
So fängst du an:
Noah hat weniger: der Streifen von Noah ist kürzer
Lösung zeigen
1. Noah hat weniger: der Streifen von Noah ist kürzer
2. 60 − 12 = 48
Ergebnis:
48 Karten
●8
Lina hat 56 Sticker. Tim hat 28 Sticker weniger als Lina. Wie viele Sticker hat Tim?
Lösung zeigen
1. Tim hat weniger: der Streifen von Tim ist kürzer
2. 56 − 28 = 28
Ergebnis:
28 Sticker
★9
Tim hat 330 Sticker. Aylin hat 77 Sticker weniger als Tim. Wie viele Sticker hat Aylin?
Lösung zeigen
1. Aylin hat weniger: der Streifen von Aylin ist kürzer
2. 330 − 77 = 253
Ergebnis:
253 Sticker

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Ben braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 33 Minuten für den Weg. Wann muss Ben spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 15:50 Uhr.
Noch 33 Minuten früher: 15:17 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 15:50 Uhr.
Noch 33 Minuten früher: 15:17 Uhr.

Ergebnis:

15:17 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Paul kauft ein Buch für 6 €. Danach bekommt Paul 7 € geschenkt und hat jetzt 32 €. Wie viel Geld hatte Paul am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 32 € − 7 € = 25 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 32 € − 7 € = 25 €
2. Dann den Kauf: 25 € + 6 € = 31 €
Ergebnis:
31 €
●11
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Milan braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 34 Minuten für den Weg. Wann muss Milan spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 15:16 Uhr.
2. Noch 34 Minuten früher: 14:42 Uhr.
Ergebnis:
14:42 Uhr
★12
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Aylin braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 15 Minuten für den Weg. Wann muss Aylin spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 16:10 Uhr.
2. Noch 15 Minuten früher: 15:55 Uhr.
Ergebnis:
15:55 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 9 Tische mit 42 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
6 Vierertische und 3 Sechsertische: 6 · 4 + 3 · 6 = 42

Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
6 Vierertische und 3 Sechsertische: 6 · 4 + 3 · 6 = 42

Ergebnis:

3 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 10 Tische mit 50 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
2. Das passt genau.
3. 5 Vierertische und 5 Sechsertische: 5 · 4 + 5 · 6 = 50
Ergebnis:
5 Sechsertische
●14
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 6 Tiere mit 16 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 4 Hühner und 2 Kaninchen: 4 · 2 + 2 · 4 = 16
Ergebnis:
2 Kaninchen
★15
Auf einem Hof zählt Can 17 Tiere und 66 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 9 Hühner und 8 Kaninchen ergeben 50 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 1 Huhn und 16 Kaninchen: 1 · 2 + 16 · 4 = 66
Ergebnis:
1 Huhn, 16 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Eine Saftflasche kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 8,40 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?

Schritt für Schritt

10 einzeln: 10 · 0,90 € = 9,00 €
Packung: 8,40 €
Die Packung ist günstiger.

10 einzeln: 10 · 0,90 € = 9,00 €
Packung: 8,40 €
Die Packung ist günstiger.

Ergebnis:

die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Bleistift kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 10,60 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?
So fängst du an:
4 einzeln: 4 · 2,50 € = 10,00 €
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 2,50 € = 10,00 €
2. Packung: 10,60 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
●17
Ein Tennisball kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 6 Bällen kostet 15,60 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bälle braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 2,50 € = 15,00 €
2. Packung: 15,60 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
★18
Eine Fahrt kostet 2,60 €. Eine Monatskarte kostet 58,00 €. Paul fährt im Monat 17-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 17 · 2,60 € = 44,20 €
2. Monatskarte: 58,00 €
3. Einzeln ist günstiger: Die Karte lohnt sich nicht.
Ergebnis:
Nein

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 3 Kästen liegen je 4 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?

Schritt für Schritt

3 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
3 · 4 = 12

3 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
3 · 4 = 12

Ergebnis:

12 Karten

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 4 Kästen liegen je 5 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
So fängst du an:
4 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 4 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
2. 4 · 5 = 20
Ergebnis:
20 Bücher
●20
In 6 Kästen liegen je 3 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 6 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
2. 6 · 3 = 18
Ergebnis:
18 Sticker
★21
198 Sticker werden gleichmäßig auf 11 Kästen verteilt. Wie viele Sticker kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 198, 11 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 198 : 11 = 18
Ergebnis:
18 Sticker

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Mia hat 68 Murmeln, Ela hat 29 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
68 + 29 = 97

Zwei Teile, gesucht das Ganze
68 + 29 = 97

Ergebnis:

97 Murmeln

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Mia hat 88 Karten, Jonas hat 84 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 88 + 84 = 172
Ergebnis:
172 Karten
●23
Ela hat 41 Murmeln, Tim hat 60 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 41 + 60 = 101
Ergebnis:
101 Murmeln
★24
Lina und Ben haben zusammen 448 Sticker. Lina hat 235 Sticker. Wie viele Sticker hat Ben?
Lösung zeigen
1. Ganzes 448, ein Teil 235, gesucht der andere Teil
2. 448 − 235 = 213
Ergebnis:
213 Sticker

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die 5b fährt mit 24 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 110 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 24 Kinder und 7 € je Karte.
2. 24 · 7 € = 168 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
168 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●26
Auf einem Schiff sind 34 Schafe und 15 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?
Lösung zeigen
1. Die Angaben handeln von Tieren.
2. Über den Kapitän steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Der Unterricht beginnt um 7:55 Uhr. Welchen Bus 100 muss Hanna spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:55 Uhr: 7:16, 7:26, 7:36, 7:46 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:46 Uhr an.
3. Er fährt um 7:19 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:19 Uhr
●28
Entlang eines Weges stehen 12 Zaunpfähle im Abstand von 10 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 12 Zaunpfähle haben 11 Abstände dazwischen.
2. 11 · 10 m = 110 m
Ergebnis:
110 m
●29
Im Kino sitzt Ben auf Platz 9 von links. Zwischen Ben und Zeynep sitzen 5 Kinder, Zeynep sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Zeynep?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 9 ist Ben, dann 5 Plätze dazwischen.
2. 9 + 5 + 1 = 15
Ergebnis:
Platz 15
●30
Paul kauft ein Buch für 15 €. Danach bekommt Paul 3 € geschenkt und hat jetzt 12 €. Wie viel Geld hatte Paul am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 12 € − 3 € = 9 €
2. Dann den Kauf: 9 € + 15 € = 24 €
Ergebnis:
24 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
25 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 11 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
150 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 7:43 Uhr. Welchen Bus M29 muss Jonas spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 7:28 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Jonas hat 90 Sticker. Ela hat 17 Sticker weniger als Jonas. Wie viele Sticker hat Ela?
Lösung zeigen
Ergebnis:
73 Sticker
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Aylin braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 30 Minuten für den Weg. Wann muss Aylin spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
15:36 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Auf einem Hof zählt Elias 9 Tiere und 22 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
7 Hühner, 2 Kaninchen
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Tennisball kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 10 Bällen kostet 24,00 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bälle braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
die Packung
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 4 Kästen liegen je 3 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
12 Murmeln
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Noah hat 67 Sticker, Jonas hat 68 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
135 Sticker

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Die Tore im Finale fehlen
Die Tore im Finale fehlen
11 Minuten
8 Minuten
den um 7:34 Uhr
48 Karten
28 Sticker
253 Sticker
31 €
14:42 Uhr
15:55 Uhr
5 Sechsertische
2 Kaninchen
1 Huhn, 16 Kaninchen
einzeln
einzeln
Nein
20 Bücher
18 Sticker
18 Sticker
172 Karten
101 Murmeln
213 Sticker
168 €, die Filmdauer brauche ich nicht
nicht lösbar
den um 7:19 Uhr
110 m
Platz 15
24 €
150 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
den um 7:28 Uhr
73 Sticker
15:36 Uhr
7 Hühner, 2 Kaninchen
die Packung
12 Murmeln
135 Sticker
9:00 Uhr
360 min