Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 10:15 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 10:15 + 1:00 = 11:15 Uhr
Ergebnis:
11:15 Uhr
●40
Rechne um: 4 kg in g.
Lösung zeigen
1. 1 kg = 1.000 g
2. 4 · 1.000 = 4.000 g
Ergebnis:
4.000 g

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 27 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 120 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 120 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 120 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Ergebnis:

Der Beginn des Films fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 29 Tore geschossen. Zum Finale kamen 228 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 37 Tore geschossen. Zum Finale kamen 354 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 12 Spiele.
2. 15 − 12 = 3
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
★3
Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 110 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 110 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.

Schritt für Schritt

Zum Beispiel: ab 6:52 Uhr, an 7:08 Uhr.
Von 6:52 bis 7:08 Uhr sind es 16 Minuten.

Zum Beispiel: ab 6:52 Uhr, an 7:08 Uhr.
Von 6:52 bis 7:08 Uhr sind es 16 Minuten.

Ergebnis:

16 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
So fängst du an:
Zum Beispiel: ab 6:45 Uhr, an 7:01 Uhr.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:45 Uhr, an 7:01 Uhr.
2. Von 6:45 bis 7:01 Uhr sind es 16 Minuten.
Ergebnis:
16 Minuten
●5
Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:45 Uhr, an 7:09 Uhr.
2. Von 6:45 bis 7:09 Uhr sind es 24 Minuten.
Ergebnis:
24 Minuten
★6
Hanna ist um 6:56 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Hanna auf den nächsten Bus X34?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:14 Uhr.
2. Von 6:56 bis 7:14 Uhr sind es 18 Minuten.
Ergebnis:
18 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Mia hat 42 Karten. Jonas hat 7 Karten weniger als Mia. Wie viele Karten hat Jonas?

Schritt für Schritt

Jonas hat weniger: der Streifen von Jonas ist kürzer
42 − 7 = 35

Jonas hat weniger: der Streifen von Jonas ist kürzer
42 − 7 = 35

Ergebnis:

35 Karten

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Lina hat 61 Sticker. Aylin hat 19 Sticker mehr als Lina. Wie viele Sticker hat Aylin?
So fängst du an:
Aylin hat mehr: der Streifen von Aylin ist länger
Lösung zeigen
1. Aylin hat mehr: der Streifen von Aylin ist länger
2. 61 + 19 = 80
Ergebnis:
80 Sticker
●8
Lina hat 80 Sticker. Ben hat 27 Sticker weniger als Lina. Wie viele Sticker hat Ben?
Lösung zeigen
1. Ben hat weniger: der Streifen von Ben ist kürzer
2. 80 − 27 = 53
Ergebnis:
53 Sticker
★9
Lina hat 547 Murmeln, Ben hat 413 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Lina mehr?
Lösung zeigen
1. Der Unterschied ist der Rest zwischen den Streifen
2. 547 − 413 = 134
Ergebnis:
134 Murmeln

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Milan kauft ein Buch für 12 €. Danach bekommt Milan 3 € geschenkt und hat jetzt 8 €. Wie viel Geld hatte Milan am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 8 € − 3 € = 5 €
Dann den Kauf: 5 € + 12 € = 17 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 8 € − 3 € = 5 €
Dann den Kauf: 5 € + 12 € = 17 €

Ergebnis:

17 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Zeynep braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 32 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 15:23 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 15:23 Uhr.
2. Noch 32 Minuten früher: 14:51 Uhr.
Ergebnis:
14:51 Uhr
●11
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Emma braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 24 Minuten für den Weg. Wann muss Emma spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 16:07 Uhr.
2. Noch 24 Minuten früher: 15:43 Uhr.
Ergebnis:
15:43 Uhr
★12
Hanna kauft ein Buch für 12 €. Danach bekommt Hanna 12 € geschenkt und hat jetzt 35 €. Wie viel Geld hatte Hanna am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 35 € − 12 € = 23 €
2. Dann den Kauf: 23 € + 12 € = 35 €
Ergebnis:
35 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere mit 20 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
6 Hühner und 2 Kaninchen: 6 · 2 + 2 · 4 = 20

Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
6 Hühner und 2 Kaninchen: 6 · 2 + 2 · 4 = 20

Ergebnis:

2 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 6 Tiere mit 14 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 5 Hühner und 1 Kaninchen: 5 · 2 + 1 · 4 = 14
Ergebnis:
1 Kaninchen
●14
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 9 Fahrzeuge mit 25 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 22 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 2 Fahrräder und 7 Dreiräder: 2 · 2 + 7 · 3 = 25
Ergebnis:
7 Dreiräder
★15
In der Mensa zählt Sofia 10 Tische und 44 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 8 Vierertische und 2 Sechsertische: 8 · 4 + 2 · 6 = 44
Ergebnis:
8 Vierertische, 2 Sechsertische

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
Gerundet auf ganze Cent.

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
Gerundet auf ganze Cent.

Ergebnis:

0,67 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
2. Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €
Ergebnis:
0,80 €
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €
★18
Eine Fahrt kostet 2,80 €. Eine Monatskarte kostet 45,00 €. Hanna fährt im Monat 26-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 26 · 2,80 € = 72,80 €
2. Monatskarte: 45,00 €
3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
Ergebnis:
Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 3 Kästen liegen je 3 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?

Schritt für Schritt

3 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
3 · 3 = 9

3 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
3 · 3 = 9

Ergebnis:

9 Bücher

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 7 Kästen liegen je 6 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
So fängst du an:
7 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 7 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
2. 7 · 6 = 42
Ergebnis:
42 Karten
●20
In 4 Kästen liegen je 4 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 4 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
2. 4 · 4 = 16
Ergebnis:
16 Sticker
★21
180 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Kästen verteilt. Wie viele Sticker kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 180, 6 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 180 : 6 = 30
Ergebnis:
30 Sticker

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Jonas hat 59 Sticker, Ela hat 60 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
59 + 60 = 119

Zwei Teile, gesucht das Ganze
59 + 60 = 119

Ergebnis:

119 Sticker

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Lina hat 65 Bücher, Tim hat 87 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 65 + 87 = 152
Ergebnis:
152 Bücher
●23
Jonas hat 20 Murmeln, Noah hat 36 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 20 + 36 = 56
Ergebnis:
56 Murmeln
★24
Lina und Mia haben zusammen 604 Karten. Lina hat 262 Karten. Wie viele Karten hat Mia?
Lösung zeigen
1. Ganzes 604, ein Teil 262, gesucht der andere Teil
2. 604 − 262 = 342
Ergebnis:
342 Karten

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die 5b fährt mit 22 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 4 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 95 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
●26
Ein Regal hat 4 Böden. Auf jedem stehen 24 Bücher. Wie viele Seiten hat ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: 4 Böden, 24 Bücher je Boden.
2. Über die Seiten steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Lea sagt: „90 m Zaun mit einem Pfahl alle 10 m braucht 9 Pfähle.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. 90 : 10 = 9 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 10.
Ergebnis:
Nein, 10 Pfähle
●28
Im Kino sitzt Zeynep auf Platz 4 von links. Zwischen Zeynep und Emma sitzen 4 Kinder, Emma sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Emma?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 4 ist Zeynep, dann 4 Plätze dazwischen.
2. 4 + 4 + 1 = 9
Ergebnis:
Platz 9
●29
Mia kauft ein Buch für 12 €. Danach bekommt Mia 12 € geschenkt und hat jetzt 25 €. Wie viel Geld hatte Mia am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 25 € − 12 € = 13 €
2. Dann den Kauf: 13 € + 12 € = 25 €
Ergebnis:
25 €
●30
Im Hof der Kita zählt Jonas 10 Fahrzeuge und 26 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 4 Fahrräder und 6 Dreiräder: 4 · 2 + 6 · 3 = 26
Ergebnis:
4 Fahrräder, 6 Dreiräder

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 20 Tore geschossen. Zum Finale kamen 354 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 7:25 Uhr. Welchen Bus X34 muss Lea spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 6:55 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Jonas hat 61 Murmeln. Ela hat 25 Murmeln mehr als Jonas. Wie viele Murmeln hat Ela?
Lösung zeigen
Ergebnis:
86 Murmeln
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Lina kauft ein Buch für 8 €. Danach bekommt Lina 8 € geschenkt und hat jetzt 32 €. Wie viel Geld hatte Lina am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
32 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere mit 18 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1 Kaninchen
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,67 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 7 Kästen liegen je 9 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
63 Bücher
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Mia hat 67 Sticker, Tim hat 74 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
141 Sticker

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Die Tore im Finale fehlen
3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Der Beginn des Films fehlt
16 Minuten
24 Minuten
18 Minuten
80 Sticker
53 Sticker
134 Murmeln
14:51 Uhr
15:43 Uhr
35 €
1 Kaninchen
7 Dreiräder
8 Vierertische, 2 Sechsertische
0,80 €
1,67 €
Ja
42 Karten
16 Sticker
30 Sticker
152 Bücher
56 Murmeln
342 Karten
Der Beginn des Films fehlt
nicht lösbar
Nein, 10 Pfähle
Platz 9
25 €
4 Fahrräder, 6 Dreiräder
6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
den um 6:55 Uhr
86 Murmeln
32 €
1 Kaninchen
1,67 €
63 Bücher
141 Sticker
11:15 Uhr
4.000 g

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 10:15 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 10:15 + 1:00 = 11:15 Uhr
Ergebnis:
11:15 Uhr
●40
Rechne um: 4 kg in g.
Lösung zeigen
1. 1 kg = 1.000 g
2. 4 · 1.000 = 4.000 g
Ergebnis:
4.000 g

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 27 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 120 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 120 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 120 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Ergebnis:

Der Beginn des Films fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 29 Tore geschossen. Zum Finale kamen 228 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 37 Tore geschossen. Zum Finale kamen 354 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 12 Spiele.
2. 15 − 12 = 3
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
★3
Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 110 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 110 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.

Schritt für Schritt

Zum Beispiel: ab 6:52 Uhr, an 7:08 Uhr.
Von 6:52 bis 7:08 Uhr sind es 16 Minuten.

Zum Beispiel: ab 6:52 Uhr, an 7:08 Uhr.
Von 6:52 bis 7:08 Uhr sind es 16 Minuten.

Ergebnis:

16 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
So fängst du an:
Zum Beispiel: ab 6:45 Uhr, an 7:01 Uhr.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:45 Uhr, an 7:01 Uhr.
2. Von 6:45 bis 7:01 Uhr sind es 16 Minuten.
Ergebnis:
16 Minuten
●5
Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:45 Uhr, an 7:09 Uhr.
2. Von 6:45 bis 7:09 Uhr sind es 24 Minuten.
Ergebnis:
24 Minuten
★6
Hanna ist um 6:56 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Hanna auf den nächsten Bus X34?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:14 Uhr.
2. Von 6:56 bis 7:14 Uhr sind es 18 Minuten.
Ergebnis:
18 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Mia hat 42 Karten. Jonas hat 7 Karten weniger als Mia. Wie viele Karten hat Jonas?

Schritt für Schritt

Jonas hat weniger: der Streifen von Jonas ist kürzer
42 − 7 = 35

Jonas hat weniger: der Streifen von Jonas ist kürzer
42 − 7 = 35

Ergebnis:

35 Karten

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Lina hat 61 Sticker. Aylin hat 19 Sticker mehr als Lina. Wie viele Sticker hat Aylin?
So fängst du an:
Aylin hat mehr: der Streifen von Aylin ist länger
Lösung zeigen
1. Aylin hat mehr: der Streifen von Aylin ist länger
2. 61 + 19 = 80
Ergebnis:
80 Sticker
●8
Lina hat 80 Sticker. Ben hat 27 Sticker weniger als Lina. Wie viele Sticker hat Ben?
Lösung zeigen
1. Ben hat weniger: der Streifen von Ben ist kürzer
2. 80 − 27 = 53
Ergebnis:
53 Sticker
★9
Lina hat 547 Murmeln, Ben hat 413 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Lina mehr?
Lösung zeigen
1. Der Unterschied ist der Rest zwischen den Streifen
2. 547 − 413 = 134
Ergebnis:
134 Murmeln

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Milan kauft ein Buch für 12 €. Danach bekommt Milan 3 € geschenkt und hat jetzt 8 €. Wie viel Geld hatte Milan am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 8 € − 3 € = 5 €
Dann den Kauf: 5 € + 12 € = 17 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 8 € − 3 € = 5 €
Dann den Kauf: 5 € + 12 € = 17 €

Ergebnis:

17 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Zeynep braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 32 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 15:23 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 15:23 Uhr.
2. Noch 32 Minuten früher: 14:51 Uhr.
Ergebnis:
14:51 Uhr
●11
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Emma braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 24 Minuten für den Weg. Wann muss Emma spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 16:07 Uhr.
2. Noch 24 Minuten früher: 15:43 Uhr.
Ergebnis:
15:43 Uhr
★12
Hanna kauft ein Buch für 12 €. Danach bekommt Hanna 12 € geschenkt und hat jetzt 35 €. Wie viel Geld hatte Hanna am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 35 € − 12 € = 23 €
2. Dann den Kauf: 23 € + 12 € = 35 €
Ergebnis:
35 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere mit 20 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
6 Hühner und 2 Kaninchen: 6 · 2 + 2 · 4 = 20

Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
6 Hühner und 2 Kaninchen: 6 · 2 + 2 · 4 = 20

Ergebnis:

2 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 6 Tiere mit 14 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 5 Hühner und 1 Kaninchen: 5 · 2 + 1 · 4 = 14
Ergebnis:
1 Kaninchen
●14
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 9 Fahrzeuge mit 25 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 22 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 2 Fahrräder und 7 Dreiräder: 2 · 2 + 7 · 3 = 25
Ergebnis:
7 Dreiräder
★15
In der Mensa zählt Sofia 10 Tische und 44 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 8 Vierertische und 2 Sechsertische: 8 · 4 + 2 · 6 = 44
Ergebnis:
8 Vierertische, 2 Sechsertische

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
Gerundet auf ganze Cent.

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
Gerundet auf ganze Cent.

Ergebnis:

0,67 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
2. Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €
Ergebnis:
0,80 €
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €
★18
Eine Fahrt kostet 2,80 €. Eine Monatskarte kostet 45,00 €. Hanna fährt im Monat 26-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 26 · 2,80 € = 72,80 €
2. Monatskarte: 45,00 €
3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
Ergebnis:
Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 3 Kästen liegen je 3 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?

Schritt für Schritt

3 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
3 · 3 = 9

3 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
3 · 3 = 9

Ergebnis:

9 Bücher

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 7 Kästen liegen je 6 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
So fängst du an:
7 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 7 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
2. 7 · 6 = 42
Ergebnis:
42 Karten
●20
In 4 Kästen liegen je 4 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 4 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
2. 4 · 4 = 16
Ergebnis:
16 Sticker
★21
180 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Kästen verteilt. Wie viele Sticker kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 180, 6 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 180 : 6 = 30
Ergebnis:
30 Sticker

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Jonas hat 59 Sticker, Ela hat 60 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
59 + 60 = 119

Zwei Teile, gesucht das Ganze
59 + 60 = 119

Ergebnis:

119 Sticker

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Lina hat 65 Bücher, Tim hat 87 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 65 + 87 = 152
Ergebnis:
152 Bücher
●23
Jonas hat 20 Murmeln, Noah hat 36 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 20 + 36 = 56
Ergebnis:
56 Murmeln
★24
Lina und Mia haben zusammen 604 Karten. Lina hat 262 Karten. Wie viele Karten hat Mia?
Lösung zeigen
1. Ganzes 604, ein Teil 262, gesucht der andere Teil
2. 604 − 262 = 342
Ergebnis:
342 Karten

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die 5b fährt mit 22 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 4 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 95 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
●26
Ein Regal hat 4 Böden. Auf jedem stehen 24 Bücher. Wie viele Seiten hat ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: 4 Böden, 24 Bücher je Boden.
2. Über die Seiten steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Lea sagt: „90 m Zaun mit einem Pfahl alle 10 m braucht 9 Pfähle.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. 90 : 10 = 9 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 10.
Ergebnis:
Nein, 10 Pfähle
●28
Im Kino sitzt Zeynep auf Platz 4 von links. Zwischen Zeynep und Emma sitzen 4 Kinder, Emma sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Emma?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 4 ist Zeynep, dann 4 Plätze dazwischen.
2. 4 + 4 + 1 = 9
Ergebnis:
Platz 9
●29
Mia kauft ein Buch für 12 €. Danach bekommt Mia 12 € geschenkt und hat jetzt 25 €. Wie viel Geld hatte Mia am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 25 € − 12 € = 13 €
2. Dann den Kauf: 13 € + 12 € = 25 €
Ergebnis:
25 €
●30
Im Hof der Kita zählt Jonas 10 Fahrzeuge und 26 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 4 Fahrräder und 6 Dreiräder: 4 · 2 + 6 · 3 = 26
Ergebnis:
4 Fahrräder, 6 Dreiräder

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 20 Tore geschossen. Zum Finale kamen 354 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 7:25 Uhr. Welchen Bus X34 muss Lea spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 6:55 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Jonas hat 61 Murmeln. Ela hat 25 Murmeln mehr als Jonas. Wie viele Murmeln hat Ela?
Lösung zeigen
Ergebnis:
86 Murmeln
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Lina kauft ein Buch für 8 €. Danach bekommt Lina 8 € geschenkt und hat jetzt 32 €. Wie viel Geld hatte Lina am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
32 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere mit 18 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1 Kaninchen
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,67 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 7 Kästen liegen je 9 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
63 Bücher
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Mia hat 67 Sticker, Tim hat 74 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
141 Sticker

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Die Tore im Finale fehlen
3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Der Beginn des Films fehlt
16 Minuten
24 Minuten
18 Minuten
80 Sticker
53 Sticker
134 Murmeln
14:51 Uhr
15:43 Uhr
35 €
1 Kaninchen
7 Dreiräder
8 Vierertische, 2 Sechsertische
0,80 €
1,67 €
Ja
42 Karten
16 Sticker
30 Sticker
152 Bücher
56 Murmeln
342 Karten
Der Beginn des Films fehlt
nicht lösbar
Nein, 10 Pfähle
Platz 9
25 €
4 Fahrräder, 6 Dreiräder
6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
den um 6:55 Uhr
86 Murmeln
32 €
1 Kaninchen
1,67 €
63 Bücher
141 Sticker
11:15 Uhr
4.000 g