Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:00 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 8:00 + 1:00 = 9:00 Uhr
Ergebnis:
9:00 Uhr
●40
Rechne um: 6 km in m.
Lösung zeigen
1. 1 km = 1.000 m
2. 6 · 1.000 = 6.000 m
Ergebnis:
6.000 m

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

25 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 14 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 3.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 3.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Ergebnis:

Der Preis für Erwachsene fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 27 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 27 Kinder und 5 € je Karte.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 27 Kinder und 5 € je Karte.
2. 27 · 5 € = 135 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
135 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●2
Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 28 Kinder und 8 € je Karte.
2. 28 · 8 € = 224 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
224 €, die Filmdauer brauche ich nicht
★3
Die 5b fährt mit 22 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 105 Minuten. Der Film beginnt um 8:15 Uhr. Wann ist er zu Ende, und welche Angaben brauchst du dafür nicht?
Lösung zeigen
1. 105 Minuten sind 1 Stunde und 45 Minuten.
2. 8:15 Uhr plus 105 Minuten: 10:00 Uhr
3. Nicht gebraucht: Anzahl der Kinder und Preis.
Ergebnis:
10:00 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:51 Uhr. Welchen Bus 100 muss Emma spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 7:51 Uhr: 7:11, 7:26, 7:41 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:41 Uhr an.
Er fährt um 7:16 Uhr ab.

Ankunft vor 7:51 Uhr: 7:11, 7:26, 7:41 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:41 Uhr an.
Er fährt um 7:16 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 7:16 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Tom ist um 7:04 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Tom auf den nächsten Bus M29?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 7:15 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:15 Uhr.
2. Von 7:04 bis 7:15 Uhr sind es 11 Minuten.
Ergebnis:
11 Minuten
●5
Der Unterricht beginnt um 7:48 Uhr. Welchen Bus X34 muss Can spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:48 Uhr: 7:15, 7:30, 7:45 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:45 Uhr an.
3. Er fährt um 7:22 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:22 Uhr
★6
Der Unterricht beginnt um 7:40 Uhr. Welchen Bus M29 muss Jonas spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:40 Uhr: 7:12, 7:32 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:32 Uhr an.
3. Er fährt um 7:10 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:10 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Lina hat 67 Bücher. Ela hat 9 Bücher weniger als Lina. Wie viele Bücher hat Ela?

Schritt für Schritt

Ela hat weniger: der Streifen von Ela ist kürzer
67 − 9 = 58

Ela hat weniger: der Streifen von Ela ist kürzer
67 − 9 = 58

Ergebnis:

58 Bücher

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Aylin hat 75 Karten. Ela hat 13 Karten mehr als Aylin. Wie viele Karten hat Ela?
So fängst du an:
Ela hat mehr: der Streifen von Ela ist länger
Lösung zeigen
1. Ela hat mehr: der Streifen von Ela ist länger
2. 75 + 13 = 88
Ergebnis:
88 Karten
●8
Aylin hat 81 Bücher. Jonas hat 28 Bücher mehr als Aylin. Wie viele Bücher hat Jonas?
Lösung zeigen
1. Jonas hat mehr: der Streifen von Jonas ist länger
2. 81 + 28 = 109
Ergebnis:
109 Bücher
★9
Lina hat 507 Karten. Mia hat 161 Karten mehr als Lina. Wie viele Karten hat Mia?
Lösung zeigen
1. Mia hat mehr: der Streifen von Mia ist länger
2. 507 + 161 = 668
Ergebnis:
668 Karten

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Ben braucht 12 Minuten zum Umziehen und davor 25 Minuten für den Weg. Wann muss Ben spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 12 Minuten früher ist 16:03 Uhr.
Noch 25 Minuten früher: 15:38 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 12 Minuten früher ist 16:03 Uhr.
Noch 25 Minuten früher: 15:38 Uhr.

Ergebnis:

15:38 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Noah kauft ein Buch für 14 €. Danach bekommt Noah 6 € geschenkt und hat jetzt 12 €. Wie viel Geld hatte Noah am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 12 € − 6 € = 6 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 12 € − 6 € = 6 €
2. Dann den Kauf: 6 € + 14 € = 20 €
Ergebnis:
20 €
●11
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Elias braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 29 Minuten für den Weg. Wann muss Elias spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 16:10 Uhr.
2. Noch 29 Minuten früher: 15:41 Uhr.
Ergebnis:
15:41 Uhr
★12
Jonas kauft ein Buch für 14 €. Danach bekommt Jonas 10 € geschenkt und hat jetzt 29 €. Wie viel Geld hatte Jonas am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 29 € − 10 € = 19 €
2. Dann den Kauf: 19 € + 14 € = 33 €
Ergebnis:
33 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 7 Tiere mit 26 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
1 Huhn und 6 Kaninchen: 1 · 2 + 6 · 4 = 26

Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
1 Huhn und 6 Kaninchen: 1 · 2 + 6 · 4 = 26

Ergebnis:

6 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Im Hof der Kita zählt Emma 10 Fahrzeuge und 21 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 9 Fahrräder und 1 Dreirad: 9 · 2 + 1 · 3 = 21
Ergebnis:
9 Fahrräder, 1 Dreirad
●14
Im Hof der Kita zählt Hanna 8 Fahrzeuge und 23 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 1 Fahrrad und 7 Dreiräder: 1 · 2 + 7 · 3 = 23
Ergebnis:
1 Fahrrad, 7 Dreiräder
★15
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 20 Fahrzeuge mit 57 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 10 Fahrräder und 10 Dreiräder ergeben 50 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 3 Fahrräder und 17 Dreiräder: 3 · 2 + 17 · 3 = 57
Ergebnis:
17 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Eine Saftflasche kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 4 Flaschen kostet 9,40 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Flaschen braucht?

Schritt für Schritt

4 einzeln: 4 · 2,50 € = 10,00 €
Packung: 9,40 €
Die Packung ist günstiger.

4 einzeln: 4 · 2,50 € = 10,00 €
Packung: 9,40 €
Die Packung ist günstiger.

Ergebnis:

die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
0,67 €
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €
★18
Eine Fahrt kostet 3,50 €. Eine Monatskarte kostet 58,00 €. Elias fährt im Monat 13-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 13 · 3,50 € = 45,50 €
2. Monatskarte: 58,00 €
3. Einzeln ist günstiger: Die Karte lohnt sich nicht.
Ergebnis:
Nein

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 7 Kästen liegen je 8 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?

Schritt für Schritt

7 gleiche Teile zu je 8, gesucht das Ganze
7 · 8 = 56

7 gleiche Teile zu je 8, gesucht das Ganze
7 · 8 = 56

Ergebnis:

56 Bücher

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 5 Kästen liegen je 8 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
So fängst du an:
5 gleiche Teile zu je 8, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 5 gleiche Teile zu je 8, gesucht das Ganze
2. 5 · 8 = 40
Ergebnis:
40 Bücher
●20
In 8 Kästen liegen je 7 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 8 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
2. 8 · 7 = 56
Ergebnis:
56 Bücher
★21
240 Murmeln werden gleichmäßig auf 6 Kästen verteilt. Wie viele Murmeln kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 240, 6 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 240 : 6 = 40
Ergebnis:
40 Murmeln

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Tim hat 84 Karten, Noah hat 72 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
84 + 72 = 156

Zwei Teile, gesucht das Ganze
84 + 72 = 156

Ergebnis:

156 Karten

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Mia hat 41 Sticker, Ela hat 66 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 41 + 66 = 107
Ergebnis:
107 Sticker
●23
Ela hat 37 Sticker, Ben hat 51 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 37 + 51 = 88
Ergebnis:
88 Sticker
★24
Lina und Noah haben zusammen 617 Murmeln. Lina hat 228 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Noah?
Lösung zeigen
1. Ganzes 617, ein Teil 228, gesucht der andere Teil
2. 617 − 228 = 389
Ergebnis:
389 Murmeln

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die 5b fährt mit 22 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 4 €. Der Film dauert 105 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 105 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
●26
Auf einem Schiff sind 37 Schafe und 5 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?
Lösung zeigen
1. Die Angaben handeln von Tieren.
2. Über den Kapitän steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Aylin ist um 6:40 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Aylin auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:54 Uhr.
2. Von 6:40 bis 6:54 Uhr sind es 14 Minuten.
Ergebnis:
14 Minuten
●28
Entlang eines Weges stehen 10 Bäume im Abstand von 10 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 10 Bäume haben 9 Abstände dazwischen.
2. 9 · 10 m = 90 m
Ergebnis:
90 m
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Milan an 10. Stelle von vorn und an 13. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 9 Kinder, dann Milan, dahinter 12 Kinder.
2. 9 + 1 + 12 = 22
Ergebnis:
22 Kinder
●30
Lea kauft ein Buch für 17 €. Danach bekommt Lea 7 € geschenkt und hat jetzt 32 €. Wie viel Geld hatte Lea am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 32 € − 7 € = 25 €
2. Dann den Kauf: 25 € + 17 € = 42 €
Ergebnis:
42 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 34 Tore geschossen. Zum Finale kamen 386 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 8:01 Uhr. Welchen Bus M29 muss Zeynep spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 7:22 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Tim hat 70 Sticker. Mia hat 13 Sticker weniger als Tim. Wie viele Sticker hat Mia?
Lösung zeigen
Ergebnis:
57 Sticker
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Aylin kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Aylin 5 € geschenkt und hat jetzt 7 €. Wie viel Geld hatte Aylin am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
9 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita zählt Mia 9 Fahrzeuge und 22 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
5 Fahrräder, 4 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,67 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 6 Kästen liegen je 3 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
18 Bücher
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Noah hat 41 Murmeln, Mia hat 48 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
89 Murmeln

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

135 €, die Filmdauer brauche ich nicht
224 €, die Filmdauer brauche ich nicht
10:00 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht
11 Minuten
den um 7:22 Uhr
den um 7:10 Uhr
88 Karten
109 Bücher
668 Karten
20 €
15:41 Uhr
33 €
9 Fahrräder, 1 Dreirad
1 Fahrrad, 7 Dreiräder
17 Dreiräder
0,67 €
1,67 €
Nein
40 Bücher
56 Bücher
40 Murmeln
107 Sticker
88 Sticker
389 Murmeln
Der Beginn des Films fehlt
nicht lösbar
14 Minuten
90 m
22 Kinder
42 €
Die Tore im Finale fehlen
den um 7:22 Uhr
57 Sticker
9 €
5 Fahrräder, 4 Dreiräder
1,67 €
18 Bücher
89 Murmeln
9:00 Uhr
6.000 m

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:00 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 8:00 + 1:00 = 9:00 Uhr
Ergebnis:
9:00 Uhr
●40
Rechne um: 6 km in m.
Lösung zeigen
1. 1 km = 1.000 m
2. 6 · 1.000 = 6.000 m
Ergebnis:
6.000 m

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

25 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 14 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 3.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 3.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Ergebnis:

Der Preis für Erwachsene fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 27 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 27 Kinder und 5 € je Karte.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 27 Kinder und 5 € je Karte.
2. 27 · 5 € = 135 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
135 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●2
Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 28 Kinder und 8 € je Karte.
2. 28 · 8 € = 224 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
224 €, die Filmdauer brauche ich nicht
★3
Die 5b fährt mit 22 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 105 Minuten. Der Film beginnt um 8:15 Uhr. Wann ist er zu Ende, und welche Angaben brauchst du dafür nicht?
Lösung zeigen
1. 105 Minuten sind 1 Stunde und 45 Minuten.
2. 8:15 Uhr plus 105 Minuten: 10:00 Uhr
3. Nicht gebraucht: Anzahl der Kinder und Preis.
Ergebnis:
10:00 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:51 Uhr. Welchen Bus 100 muss Emma spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 7:51 Uhr: 7:11, 7:26, 7:41 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:41 Uhr an.
Er fährt um 7:16 Uhr ab.

Ankunft vor 7:51 Uhr: 7:11, 7:26, 7:41 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:41 Uhr an.
Er fährt um 7:16 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 7:16 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Tom ist um 7:04 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Tom auf den nächsten Bus M29?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 7:15 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:15 Uhr.
2. Von 7:04 bis 7:15 Uhr sind es 11 Minuten.
Ergebnis:
11 Minuten
●5
Der Unterricht beginnt um 7:48 Uhr. Welchen Bus X34 muss Can spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:48 Uhr: 7:15, 7:30, 7:45 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:45 Uhr an.
3. Er fährt um 7:22 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:22 Uhr
★6
Der Unterricht beginnt um 7:40 Uhr. Welchen Bus M29 muss Jonas spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:40 Uhr: 7:12, 7:32 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:32 Uhr an.
3. Er fährt um 7:10 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:10 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Lina hat 67 Bücher. Ela hat 9 Bücher weniger als Lina. Wie viele Bücher hat Ela?

Schritt für Schritt

Ela hat weniger: der Streifen von Ela ist kürzer
67 − 9 = 58

Ela hat weniger: der Streifen von Ela ist kürzer
67 − 9 = 58

Ergebnis:

58 Bücher

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Aylin hat 75 Karten. Ela hat 13 Karten mehr als Aylin. Wie viele Karten hat Ela?
So fängst du an:
Ela hat mehr: der Streifen von Ela ist länger
Lösung zeigen
1. Ela hat mehr: der Streifen von Ela ist länger
2. 75 + 13 = 88
Ergebnis:
88 Karten
●8
Aylin hat 81 Bücher. Jonas hat 28 Bücher mehr als Aylin. Wie viele Bücher hat Jonas?
Lösung zeigen
1. Jonas hat mehr: der Streifen von Jonas ist länger
2. 81 + 28 = 109
Ergebnis:
109 Bücher
★9
Lina hat 507 Karten. Mia hat 161 Karten mehr als Lina. Wie viele Karten hat Mia?
Lösung zeigen
1. Mia hat mehr: der Streifen von Mia ist länger
2. 507 + 161 = 668
Ergebnis:
668 Karten

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Ben braucht 12 Minuten zum Umziehen und davor 25 Minuten für den Weg. Wann muss Ben spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 12 Minuten früher ist 16:03 Uhr.
Noch 25 Minuten früher: 15:38 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 12 Minuten früher ist 16:03 Uhr.
Noch 25 Minuten früher: 15:38 Uhr.

Ergebnis:

15:38 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Noah kauft ein Buch für 14 €. Danach bekommt Noah 6 € geschenkt und hat jetzt 12 €. Wie viel Geld hatte Noah am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 12 € − 6 € = 6 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 12 € − 6 € = 6 €
2. Dann den Kauf: 6 € + 14 € = 20 €
Ergebnis:
20 €
●11
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Elias braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 29 Minuten für den Weg. Wann muss Elias spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 16:10 Uhr.
2. Noch 29 Minuten früher: 15:41 Uhr.
Ergebnis:
15:41 Uhr
★12
Jonas kauft ein Buch für 14 €. Danach bekommt Jonas 10 € geschenkt und hat jetzt 29 €. Wie viel Geld hatte Jonas am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 29 € − 10 € = 19 €
2. Dann den Kauf: 19 € + 14 € = 33 €
Ergebnis:
33 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 7 Tiere mit 26 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
1 Huhn und 6 Kaninchen: 1 · 2 + 6 · 4 = 26

Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
1 Huhn und 6 Kaninchen: 1 · 2 + 6 · 4 = 26

Ergebnis:

6 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Im Hof der Kita zählt Emma 10 Fahrzeuge und 21 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 9 Fahrräder und 1 Dreirad: 9 · 2 + 1 · 3 = 21
Ergebnis:
9 Fahrräder, 1 Dreirad
●14
Im Hof der Kita zählt Hanna 8 Fahrzeuge und 23 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 1 Fahrrad und 7 Dreiräder: 1 · 2 + 7 · 3 = 23
Ergebnis:
1 Fahrrad, 7 Dreiräder
★15
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 20 Fahrzeuge mit 57 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 10 Fahrräder und 10 Dreiräder ergeben 50 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 3 Fahrräder und 17 Dreiräder: 3 · 2 + 17 · 3 = 57
Ergebnis:
17 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Eine Saftflasche kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 4 Flaschen kostet 9,40 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Flaschen braucht?

Schritt für Schritt

4 einzeln: 4 · 2,50 € = 10,00 €
Packung: 9,40 €
Die Packung ist günstiger.

4 einzeln: 4 · 2,50 € = 10,00 €
Packung: 9,40 €
Die Packung ist günstiger.

Ergebnis:

die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
0,67 €
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €
★18
Eine Fahrt kostet 3,50 €. Eine Monatskarte kostet 58,00 €. Elias fährt im Monat 13-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 13 · 3,50 € = 45,50 €
2. Monatskarte: 58,00 €
3. Einzeln ist günstiger: Die Karte lohnt sich nicht.
Ergebnis:
Nein

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 7 Kästen liegen je 8 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?

Schritt für Schritt

7 gleiche Teile zu je 8, gesucht das Ganze
7 · 8 = 56

7 gleiche Teile zu je 8, gesucht das Ganze
7 · 8 = 56

Ergebnis:

56 Bücher

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 5 Kästen liegen je 8 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
So fängst du an:
5 gleiche Teile zu je 8, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 5 gleiche Teile zu je 8, gesucht das Ganze
2. 5 · 8 = 40
Ergebnis:
40 Bücher
●20
In 8 Kästen liegen je 7 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 8 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
2. 8 · 7 = 56
Ergebnis:
56 Bücher
★21
240 Murmeln werden gleichmäßig auf 6 Kästen verteilt. Wie viele Murmeln kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 240, 6 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 240 : 6 = 40
Ergebnis:
40 Murmeln

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Tim hat 84 Karten, Noah hat 72 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
84 + 72 = 156

Zwei Teile, gesucht das Ganze
84 + 72 = 156

Ergebnis:

156 Karten

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Mia hat 41 Sticker, Ela hat 66 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 41 + 66 = 107
Ergebnis:
107 Sticker
●23
Ela hat 37 Sticker, Ben hat 51 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 37 + 51 = 88
Ergebnis:
88 Sticker
★24
Lina und Noah haben zusammen 617 Murmeln. Lina hat 228 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Noah?
Lösung zeigen
1. Ganzes 617, ein Teil 228, gesucht der andere Teil
2. 617 − 228 = 389
Ergebnis:
389 Murmeln

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die 5b fährt mit 22 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 4 €. Der Film dauert 105 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 105 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
●26
Auf einem Schiff sind 37 Schafe und 5 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?
Lösung zeigen
1. Die Angaben handeln von Tieren.
2. Über den Kapitän steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Aylin ist um 6:40 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Aylin auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:54 Uhr.
2. Von 6:40 bis 6:54 Uhr sind es 14 Minuten.
Ergebnis:
14 Minuten
●28
Entlang eines Weges stehen 10 Bäume im Abstand von 10 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 10 Bäume haben 9 Abstände dazwischen.
2. 9 · 10 m = 90 m
Ergebnis:
90 m
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Milan an 10. Stelle von vorn und an 13. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 9 Kinder, dann Milan, dahinter 12 Kinder.
2. 9 + 1 + 12 = 22
Ergebnis:
22 Kinder
●30
Lea kauft ein Buch für 17 €. Danach bekommt Lea 7 € geschenkt und hat jetzt 32 €. Wie viel Geld hatte Lea am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 32 € − 7 € = 25 €
2. Dann den Kauf: 25 € + 17 € = 42 €
Ergebnis:
42 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 34 Tore geschossen. Zum Finale kamen 386 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 8:01 Uhr. Welchen Bus M29 muss Zeynep spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 7:22 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Tim hat 70 Sticker. Mia hat 13 Sticker weniger als Tim. Wie viele Sticker hat Mia?
Lösung zeigen
Ergebnis:
57 Sticker
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Aylin kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Aylin 5 € geschenkt und hat jetzt 7 €. Wie viel Geld hatte Aylin am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
9 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita zählt Mia 9 Fahrzeuge und 22 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
5 Fahrräder, 4 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,67 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 6 Kästen liegen je 3 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
18 Bücher
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Noah hat 41 Murmeln, Mia hat 48 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
89 Murmeln

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

135 €, die Filmdauer brauche ich nicht
224 €, die Filmdauer brauche ich nicht
10:00 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht
11 Minuten
den um 7:22 Uhr
den um 7:10 Uhr
88 Karten
109 Bücher
668 Karten
20 €
15:41 Uhr
33 €
9 Fahrräder, 1 Dreirad
1 Fahrrad, 7 Dreiräder
17 Dreiräder
0,67 €
1,67 €
Nein
40 Bücher
56 Bücher
40 Murmeln
107 Sticker
88 Sticker
389 Murmeln
Der Beginn des Films fehlt
nicht lösbar
14 Minuten
90 m
22 Kinder
42 €
Die Tore im Finale fehlen
den um 7:22 Uhr
57 Sticker
9 €
5 Fahrräder, 4 Dreiräder
1,67 €
18 Bücher
89 Murmeln
9:00 Uhr
6.000 m