Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:45 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 8:45 + 1:00 = 9:45 Uhr
Ergebnis:
9:45 Uhr
●40
Rechne um: 15 m in dm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 10 dm
2. 15 · 10 = 150 dm
Ergebnis:
150 dm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 19 Tore geschossen. Zum Finale kamen 288 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 11 Spiele.
15 − 11 = 4
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Gebraucht: 11 Spiele.
15 − 11 = 4
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Ergebnis:

4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 29 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 29 Kinder und 9 € je Karte.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 29 Kinder und 9 € je Karte.
2. 29 · 9 € = 261 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
261 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 34 Tore geschossen. Zum Finale kamen 193 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 9 Spiele.
2. 15 − 9 = 6
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
★3
25 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 11 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viele Kilometer fahren alle Kinder zusammen hin und zurück?
Lösung zeigen
1. Ein Kind fährt hin und zurück: 2 · 11 km = 22 km.
2. 25 Kinder: 25 · 22 km = 550 km
3. Nicht gebraucht: Eintritt und Lehrkräfte.
Ergebnis:
550 km

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Ben ist um 6:58 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Ben auf den nächsten Bus M29?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 7:04 Uhr.
Von 6:58 bis 7:04 Uhr sind es 6 Minuten.

Der nächste fährt um 7:04 Uhr.
Von 6:58 bis 7:04 Uhr sind es 6 Minuten.

Ergebnis:

6 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Der Unterricht beginnt um 7:49 Uhr. Welchen Bus M29 muss Sofia spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
So fängst du an:
Ankunft vor 7:49 Uhr: 7:02, 7:17, 7:32, 7:47 Uhr.
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:49 Uhr: 7:02, 7:17, 7:32, 7:47 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:47 Uhr an.
3. Er fährt um 7:29 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:29 Uhr
●5
Der Unterricht beginnt um 7:30 Uhr. Welchen Bus X34 muss Emma spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:30 Uhr: 7:05, 7:25 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:25 Uhr an.
3. Er fährt um 7:05 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:05 Uhr
★6
Der Unterricht beginnt um 7:48 Uhr. Welchen Bus 248 muss Tom spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:48 Uhr: 6:53, 7:13, 7:33 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:33 Uhr an.
3. Er fährt um 7:18 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:18 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Mia hat 81 Bücher. Jonas hat 15 Bücher mehr als Mia. Wie viele Bücher hat Jonas?

Schritt für Schritt

Jonas hat mehr: der Streifen von Jonas ist länger
81 + 15 = 96

Jonas hat mehr: der Streifen von Jonas ist länger
81 + 15 = 96

Ergebnis:

96 Bücher

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Lina hat 73 Murmeln. Jonas hat 29 Murmeln mehr als Lina. Wie viele Murmeln hat Jonas?
So fängst du an:
Jonas hat mehr: der Streifen von Jonas ist länger
Lösung zeigen
1. Jonas hat mehr: der Streifen von Jonas ist länger
2. 73 + 29 = 102
Ergebnis:
102 Murmeln
●8
Aylin hat 43 Bücher. Noah hat 26 Bücher mehr als Aylin. Wie viele Bücher hat Noah?
Lösung zeigen
1. Noah hat mehr: der Streifen von Noah ist länger
2. 43 + 26 = 69
Ergebnis:
69 Bücher
★9
Ben hat 348 Sticker, Noah hat 434 Sticker. Wie viele Sticker hat Noah mehr?
Lösung zeigen
1. Der Unterschied ist der Rest zwischen den Streifen
2. 434 − 348 = 86
Ergebnis:
86 Sticker

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Tom braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 18 Minuten für den Weg. Wann muss Tom spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 15:46 Uhr.
Noch 18 Minuten früher: 15:28 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 15:46 Uhr.
Noch 18 Minuten früher: 15:28 Uhr.

Ergebnis:

15:28 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Zeynep braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 34 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 15:50 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 15:50 Uhr.
2. Noch 34 Minuten früher: 15:16 Uhr.
Ergebnis:
15:16 Uhr
●11
Paul kauft ein Buch für 12 €. Danach bekommt Paul 12 € geschenkt und hat jetzt 36 €. Wie viel Geld hatte Paul am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 36 € − 12 € = 24 €
2. Dann den Kauf: 24 € + 12 € = 36 €
Ergebnis:
36 €
★12
Sofia kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Sofia 3 € geschenkt und hat jetzt 15 €. Wie viel Geld hatte Sofia am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 15 € − 3 € = 12 €
2. Dann den Kauf: 12 € + 7 € = 19 €
Ergebnis:
19 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof zählt Milan 7 Tiere und 18 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
5 Hühner und 2 Kaninchen: 5 · 2 + 2 · 4 = 18

Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
5 Hühner und 2 Kaninchen: 5 · 2 + 2 · 4 = 18

Ergebnis:

5 Hühner, 2 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 6 Tiere mit 20 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 2 Hühner und 4 Kaninchen: 2 · 2 + 4 · 4 = 20
Ergebnis:
4 Kaninchen
●14
In der Mensa zählt Can 10 Tische und 52 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 4 Vierertische und 6 Sechsertische: 4 · 4 + 6 · 6 = 52
Ergebnis:
4 Vierertische, 6 Sechsertische
★15
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 12 Tiere mit 30 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 6 Hühner und 6 Kaninchen ergeben 36 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 9 Hühner und 3 Kaninchen: 9 · 2 + 3 · 4 = 30
Ergebnis:
3 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Ergebnis:

1,33 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €
●17
Ein Bleistift kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 6 Bleistiften kostet 4,80 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bleistifte braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 0,90 € = 5,40 €
2. Packung: 4,80 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Eine Fahrt kostet 3,00 €. Eine Monatskarte kostet 50,00 €. Emma fährt im Monat 10-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 10 · 3,00 € = 30,00 €
2. Monatskarte: 50,00 €
3. Einzeln ist günstiger: Die Karte lohnt sich nicht.
Ergebnis:
Nein

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 4 Kästen liegen je 9 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?

Schritt für Schritt

4 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
4 · 9 = 36

4 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
4 · 9 = 36

Ergebnis:

36 Murmeln

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 3 Kästen liegen je 7 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
So fängst du an:
3 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 3 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
2. 3 · 7 = 21
Ergebnis:
21 Murmeln
●20
In 7 Kästen liegen je 9 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 7 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
2. 7 · 9 = 63
Ergebnis:
63 Bücher
★21
144 Karten werden gleichmäßig auf 9 Kästen verteilt. Wie viele Karten kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 144, 9 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 144 : 9 = 16
Ergebnis:
16 Karten

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Tim hat 40 Karten, Ben hat 35 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
40 + 35 = 75

Zwei Teile, gesucht das Ganze
40 + 35 = 75

Ergebnis:

75 Karten

AchtungRechenart in der Sachaufgabe falsch gewählt

So nicht

10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 16,81 €

So richtig

10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 10 € − 6,81 € = 3,19 €

Stell dir die Situation vor: Kommt etwas dazu, geht etwas weg, wird verteilt?

ÜbenJetzt du

○22
Ela hat 71 Sticker, Mia hat 38 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 71 + 38 = 109
Ergebnis:
109 Sticker
●23
Lina hat 59 Sticker, Jonas hat 86 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 59 + 86 = 145
Ergebnis:
145 Sticker
★24
Noah und Jonas haben zusammen 776 Sticker. Noah hat 327 Sticker. Wie viele Sticker hat Jonas?
Lösung zeigen
1. Ganzes 776, ein Teil 327, gesucht der andere Teil
2. 776 − 327 = 449
Ergebnis:
449 Sticker

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 36 Tore geschossen. Zum Finale kamen 162 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
●26
In der Klasse sind 23 Kinder. Sie spielen in 4 Teams. Wie viele Tore fallen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. Über Tore steht nichts im Text.
2. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Der Unterricht beginnt um 7:50 Uhr. Welchen Bus 100 muss Lina spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:50 Uhr: 7:04, 7:24, 7:44 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:44 Uhr an.
3. Er fährt um 7:22 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:22 Uhr
●28
Eine Allee ist 24 m lang. Alle 6 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 24 : 6 = 4
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 4 + 1 = 5
Ergebnis:
5 Bäume
●29
Im Kino sitzt Milan auf Platz 8 von links. Zwischen Milan und Aylin sitzen 2 Kinder, Aylin sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Aylin?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 8 ist Milan, dann 2 Plätze dazwischen.
2. 8 + 2 + 1 = 11
Ergebnis:
Platz 11
●30
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Hanna braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 35 Minuten für den Weg. Wann muss Hanna spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 15:54 Uhr.
2. Noch 35 Minuten früher: 15:19 Uhr.
Ergebnis:
15:19 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
28 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 12 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
168 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Noah ist um 6:43 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Noah auf den nächsten Bus 100?
Lösung zeigen
Ergebnis:
5 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Noah hat 86 Karten. Mia hat 16 Karten weniger als Noah. Wie viele Karten hat Mia?
Lösung zeigen
Ergebnis:
70 Karten
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Paul kauft ein Buch für 16 €. Danach bekommt Paul 3 € geschenkt und hat jetzt 22 €. Wie viel Geld hatte Paul am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
35 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 9 Tiere mit 34 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
8 Kaninchen
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,80 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 4 Kästen liegen je 7 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
28 Murmeln
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Tim hat 78 Murmeln, Lina hat 53 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
131 Murmeln

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

261 €, die Filmdauer brauche ich nicht
6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
550 km
den um 7:29 Uhr
den um 7:05 Uhr
den um 7:18 Uhr
102 Murmeln
69 Bücher
86 Sticker
15:16 Uhr
36 €
19 €
4 Kaninchen
4 Vierertische, 6 Sechsertische
3 Kaninchen
1,67 €
die Packung
Nein
21 Murmeln
63 Bücher
16 Karten
109 Sticker
145 Sticker
449 Sticker
Die Tore im Finale fehlen
nicht lösbar
den um 7:22 Uhr
5 Bäume
Platz 11
15:19 Uhr
168 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
5 Minuten
70 Karten
35 €
8 Kaninchen
0,80 €
28 Murmeln
131 Murmeln
9:45 Uhr
150 dm

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:45 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 8:45 + 1:00 = 9:45 Uhr
Ergebnis:
9:45 Uhr
●40
Rechne um: 15 m in dm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 10 dm
2. 15 · 10 = 150 dm
Ergebnis:
150 dm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 19 Tore geschossen. Zum Finale kamen 288 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 11 Spiele.
15 − 11 = 4
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Gebraucht: 11 Spiele.
15 − 11 = 4
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Ergebnis:

4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 29 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 29 Kinder und 9 € je Karte.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 29 Kinder und 9 € je Karte.
2. 29 · 9 € = 261 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
261 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 34 Tore geschossen. Zum Finale kamen 193 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 9 Spiele.
2. 15 − 9 = 6
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
★3
25 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 11 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viele Kilometer fahren alle Kinder zusammen hin und zurück?
Lösung zeigen
1. Ein Kind fährt hin und zurück: 2 · 11 km = 22 km.
2. 25 Kinder: 25 · 22 km = 550 km
3. Nicht gebraucht: Eintritt und Lehrkräfte.
Ergebnis:
550 km

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Ben ist um 6:58 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Ben auf den nächsten Bus M29?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 7:04 Uhr.
Von 6:58 bis 7:04 Uhr sind es 6 Minuten.

Der nächste fährt um 7:04 Uhr.
Von 6:58 bis 7:04 Uhr sind es 6 Minuten.

Ergebnis:

6 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Der Unterricht beginnt um 7:49 Uhr. Welchen Bus M29 muss Sofia spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
So fängst du an:
Ankunft vor 7:49 Uhr: 7:02, 7:17, 7:32, 7:47 Uhr.
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:49 Uhr: 7:02, 7:17, 7:32, 7:47 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:47 Uhr an.
3. Er fährt um 7:29 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:29 Uhr
●5
Der Unterricht beginnt um 7:30 Uhr. Welchen Bus X34 muss Emma spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:30 Uhr: 7:05, 7:25 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:25 Uhr an.
3. Er fährt um 7:05 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:05 Uhr
★6
Der Unterricht beginnt um 7:48 Uhr. Welchen Bus 248 muss Tom spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:48 Uhr: 6:53, 7:13, 7:33 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:33 Uhr an.
3. Er fährt um 7:18 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:18 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Mia hat 81 Bücher. Jonas hat 15 Bücher mehr als Mia. Wie viele Bücher hat Jonas?

Schritt für Schritt

Jonas hat mehr: der Streifen von Jonas ist länger
81 + 15 = 96

Jonas hat mehr: der Streifen von Jonas ist länger
81 + 15 = 96

Ergebnis:

96 Bücher

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Lina hat 73 Murmeln. Jonas hat 29 Murmeln mehr als Lina. Wie viele Murmeln hat Jonas?
So fängst du an:
Jonas hat mehr: der Streifen von Jonas ist länger
Lösung zeigen
1. Jonas hat mehr: der Streifen von Jonas ist länger
2. 73 + 29 = 102
Ergebnis:
102 Murmeln
●8
Aylin hat 43 Bücher. Noah hat 26 Bücher mehr als Aylin. Wie viele Bücher hat Noah?
Lösung zeigen
1. Noah hat mehr: der Streifen von Noah ist länger
2. 43 + 26 = 69
Ergebnis:
69 Bücher
★9
Ben hat 348 Sticker, Noah hat 434 Sticker. Wie viele Sticker hat Noah mehr?
Lösung zeigen
1. Der Unterschied ist der Rest zwischen den Streifen
2. 434 − 348 = 86
Ergebnis:
86 Sticker

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Tom braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 18 Minuten für den Weg. Wann muss Tom spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 15:46 Uhr.
Noch 18 Minuten früher: 15:28 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 15:46 Uhr.
Noch 18 Minuten früher: 15:28 Uhr.

Ergebnis:

15:28 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Zeynep braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 34 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 15:50 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 15:50 Uhr.
2. Noch 34 Minuten früher: 15:16 Uhr.
Ergebnis:
15:16 Uhr
●11
Paul kauft ein Buch für 12 €. Danach bekommt Paul 12 € geschenkt und hat jetzt 36 €. Wie viel Geld hatte Paul am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 36 € − 12 € = 24 €
2. Dann den Kauf: 24 € + 12 € = 36 €
Ergebnis:
36 €
★12
Sofia kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Sofia 3 € geschenkt und hat jetzt 15 €. Wie viel Geld hatte Sofia am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 15 € − 3 € = 12 €
2. Dann den Kauf: 12 € + 7 € = 19 €
Ergebnis:
19 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof zählt Milan 7 Tiere und 18 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
5 Hühner und 2 Kaninchen: 5 · 2 + 2 · 4 = 18

Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
5 Hühner und 2 Kaninchen: 5 · 2 + 2 · 4 = 18

Ergebnis:

5 Hühner, 2 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 6 Tiere mit 20 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 2 Hühner und 4 Kaninchen: 2 · 2 + 4 · 4 = 20
Ergebnis:
4 Kaninchen
●14
In der Mensa zählt Can 10 Tische und 52 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 4 Vierertische und 6 Sechsertische: 4 · 4 + 6 · 6 = 52
Ergebnis:
4 Vierertische, 6 Sechsertische
★15
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 12 Tiere mit 30 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 6 Hühner und 6 Kaninchen ergeben 36 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 9 Hühner und 3 Kaninchen: 9 · 2 + 3 · 4 = 30
Ergebnis:
3 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Ergebnis:

1,33 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €
●17
Ein Bleistift kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 6 Bleistiften kostet 4,80 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bleistifte braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 0,90 € = 5,40 €
2. Packung: 4,80 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Eine Fahrt kostet 3,00 €. Eine Monatskarte kostet 50,00 €. Emma fährt im Monat 10-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 10 · 3,00 € = 30,00 €
2. Monatskarte: 50,00 €
3. Einzeln ist günstiger: Die Karte lohnt sich nicht.
Ergebnis:
Nein

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 4 Kästen liegen je 9 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?

Schritt für Schritt

4 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
4 · 9 = 36

4 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
4 · 9 = 36

Ergebnis:

36 Murmeln

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 3 Kästen liegen je 7 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
So fängst du an:
3 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 3 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
2. 3 · 7 = 21
Ergebnis:
21 Murmeln
●20
In 7 Kästen liegen je 9 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 7 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
2. 7 · 9 = 63
Ergebnis:
63 Bücher
★21
144 Karten werden gleichmäßig auf 9 Kästen verteilt. Wie viele Karten kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 144, 9 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 144 : 9 = 16
Ergebnis:
16 Karten

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Tim hat 40 Karten, Ben hat 35 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
40 + 35 = 75

Zwei Teile, gesucht das Ganze
40 + 35 = 75

Ergebnis:

75 Karten

AchtungRechenart in der Sachaufgabe falsch gewählt

So nicht

10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 16,81 €

So richtig

10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 10 € − 6,81 € = 3,19 €

Stell dir die Situation vor: Kommt etwas dazu, geht etwas weg, wird verteilt?

ÜbenJetzt du

○22
Ela hat 71 Sticker, Mia hat 38 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 71 + 38 = 109
Ergebnis:
109 Sticker
●23
Lina hat 59 Sticker, Jonas hat 86 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 59 + 86 = 145
Ergebnis:
145 Sticker
★24
Noah und Jonas haben zusammen 776 Sticker. Noah hat 327 Sticker. Wie viele Sticker hat Jonas?
Lösung zeigen
1. Ganzes 776, ein Teil 327, gesucht der andere Teil
2. 776 − 327 = 449
Ergebnis:
449 Sticker

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 36 Tore geschossen. Zum Finale kamen 162 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
●26
In der Klasse sind 23 Kinder. Sie spielen in 4 Teams. Wie viele Tore fallen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. Über Tore steht nichts im Text.
2. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Der Unterricht beginnt um 7:50 Uhr. Welchen Bus 100 muss Lina spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:50 Uhr: 7:04, 7:24, 7:44 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:44 Uhr an.
3. Er fährt um 7:22 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:22 Uhr
●28
Eine Allee ist 24 m lang. Alle 6 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 24 : 6 = 4
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 4 + 1 = 5
Ergebnis:
5 Bäume
●29
Im Kino sitzt Milan auf Platz 8 von links. Zwischen Milan und Aylin sitzen 2 Kinder, Aylin sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Aylin?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 8 ist Milan, dann 2 Plätze dazwischen.
2. 8 + 2 + 1 = 11
Ergebnis:
Platz 11
●30
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Hanna braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 35 Minuten für den Weg. Wann muss Hanna spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 15:54 Uhr.
2. Noch 35 Minuten früher: 15:19 Uhr.
Ergebnis:
15:19 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
28 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 12 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
168 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Noah ist um 6:43 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Noah auf den nächsten Bus 100?
Lösung zeigen
Ergebnis:
5 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Noah hat 86 Karten. Mia hat 16 Karten weniger als Noah. Wie viele Karten hat Mia?
Lösung zeigen
Ergebnis:
70 Karten
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Paul kauft ein Buch für 16 €. Danach bekommt Paul 3 € geschenkt und hat jetzt 22 €. Wie viel Geld hatte Paul am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
35 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 9 Tiere mit 34 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
8 Kaninchen
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,80 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 4 Kästen liegen je 7 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
28 Murmeln
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Tim hat 78 Murmeln, Lina hat 53 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
131 Murmeln

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

261 €, die Filmdauer brauche ich nicht
6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
550 km
den um 7:29 Uhr
den um 7:05 Uhr
den um 7:18 Uhr
102 Murmeln
69 Bücher
86 Sticker
15:16 Uhr
36 €
19 €
4 Kaninchen
4 Vierertische, 6 Sechsertische
3 Kaninchen
1,67 €
die Packung
Nein
21 Murmeln
63 Bücher
16 Karten
109 Sticker
145 Sticker
449 Sticker
Die Tore im Finale fehlen
nicht lösbar
den um 7:22 Uhr
5 Bäume
Platz 11
15:19 Uhr
168 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
5 Minuten
70 Karten
35 €
8 Kaninchen
0,80 €
28 Murmeln
131 Murmeln
9:45 Uhr
150 dm