Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 10:30 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 10:30 + 1:00 = 11:30 Uhr
Ergebnis:
11:30 Uhr
●40
Rechne um: 15 m in cm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 100 cm
2. 15 · 100 = 1.500 cm
Ergebnis:
1.500 cm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 30 Tore geschossen. Zum Finale kamen 183 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.

Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.

Ergebnis:

Die Tore im Finale fehlen

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 29 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 110 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 110 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
●2
23 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 16 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 23 Kinder und 3 €.
2. 23 · 3 € = 69 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
69 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
★3
28 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 8 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 28 Kinder und 3 €.
2. 28 · 3 € = 84 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
84 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Milan ist um 7:03 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Milan auf den nächsten Bus M29?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 7:09 Uhr.
Von 7:03 bis 7:09 Uhr sind es 6 Minuten.

Der nächste fährt um 7:09 Uhr.
Von 7:03 bis 7:09 Uhr sind es 6 Minuten.

Ergebnis:

6 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Ben ist um 6:56 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Ben auf den nächsten Bus 100?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
2. Von 6:56 bis 7:01 Uhr sind es 5 Minuten.
Ergebnis:
5 Minuten
●5
Sofia ist um 6:52 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Sofia auf den nächsten Bus M29?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
2. Von 6:52 bis 7:01 Uhr sind es 9 Minuten.
Ergebnis:
9 Minuten
★6
Noah ist um 7:04 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Noah auf den nächsten Bus M29?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:07 Uhr.
2. Von 7:04 bis 7:07 Uhr sind es 3 Minuten.
Ergebnis:
3 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Lina hat 46 Murmeln. Aylin hat 19 Murmeln mehr als Lina. Wie viele Murmeln hat Aylin?

Schritt für Schritt

Aylin hat mehr: der Streifen von Aylin ist länger
46 + 19 = 65

Aylin hat mehr: der Streifen von Aylin ist länger
46 + 19 = 65

Ergebnis:

65 Murmeln

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Aylin hat 67 Bücher. Ben hat 7 Bücher mehr als Aylin. Wie viele Bücher hat Ben?
So fängst du an:
Ben hat mehr: der Streifen von Ben ist länger
Lösung zeigen
1. Ben hat mehr: der Streifen von Ben ist länger
2. 67 + 7 = 74
Ergebnis:
74 Bücher
●8
Ela hat 70 Sticker. Ben hat 19 Sticker weniger als Ela. Wie viele Sticker hat Ben?
Lösung zeigen
1. Ben hat weniger: der Streifen von Ben ist kürzer
2. 70 − 19 = 51
Ergebnis:
51 Sticker
★9
Lina hat 260 Bücher. Mia hat 108 Bücher weniger als Lina. Wie viele Bücher hat Mia?
Lösung zeigen
1. Mia hat weniger: der Streifen von Mia ist kürzer
2. 260 − 108 = 152
Ergebnis:
152 Bücher

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Jonas braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 21 Minuten für den Weg. Wann muss Jonas spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 16:52 Uhr.
Noch 21 Minuten früher: 16:31 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 16:52 Uhr.
Noch 21 Minuten früher: 16:31 Uhr.

Ergebnis:

16:31 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Sofia braucht 11 Minuten zum Umziehen und davor 28 Minuten für den Weg. Wann muss Sofia spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 11 Minuten früher ist 16:49 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 11 Minuten früher ist 16:49 Uhr.
2. Noch 28 Minuten früher: 16:21 Uhr.
Ergebnis:
16:21 Uhr
●11
Ben kauft ein Buch für 9 €. Danach bekommt Ben 9 € geschenkt und hat jetzt 33 €. Wie viel Geld hatte Ben am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 33 € − 9 € = 24 €
2. Dann den Kauf: 24 € + 9 € = 33 €
Ergebnis:
33 €
★12
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Mia braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 18 Minuten für den Weg. Wann muss Mia spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 15:51 Uhr.
2. Noch 18 Minuten früher: 15:33 Uhr.
Ergebnis:
15:33 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita zählt Jonas 6 Fahrzeuge und 15 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 3 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 15 Räder.
Das passt genau.
3 Fahrräder und 3 Dreiräder: 3 · 2 + 3 · 3 = 15

Probieren: 3 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 15 Räder.
Das passt genau.
3 Fahrräder und 3 Dreiräder: 3 · 2 + 3 · 3 = 15

Ergebnis:

3 Fahrräder, 3 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 5 Fahrzeuge mit 11 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 4 Fahrräder und 1 Dreirad: 4 · 2 + 1 · 3 = 11
Ergebnis:
1 Dreirad
●14
Auf einem Hof zählt Tom 7 Tiere und 16 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 6 Hühner und 1 Kaninchen: 6 · 2 + 1 · 4 = 16
Ergebnis:
6 Hühner, 1 Kaninchen
★15
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 10 Tiere mit 38 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 1 Huhn und 9 Kaninchen: 1 · 2 + 9 · 4 = 38
Ergebnis:
9 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 4 Riegeln kostet 6,60 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Riegel braucht?

Schritt für Schritt

4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
Packung: 6,60 €
Einzeln ist günstiger.

4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
Packung: 6,60 €
Einzeln ist günstiger.

Ergebnis:

einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €
●17
Ein Tennisball kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 4 Bällen kostet 10,30 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bälle braucht?
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 2,50 € = 10,00 €
2. Packung: 10,30 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
★18
Eine Fahrt kostet 2,40 €. Eine Monatskarte kostet 50,00 €. Jonas fährt im Monat 30-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 30 · 2,40 € = 72,00 €
2. Monatskarte: 50,00 €
3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
Ergebnis:
Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 8 Kästen liegen je 8 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?

Schritt für Schritt

8 gleiche Teile zu je 8, gesucht das Ganze
8 · 8 = 64

8 gleiche Teile zu je 8, gesucht das Ganze
8 · 8 = 64

Ergebnis:

64 Bücher

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 3 Kästen liegen je 5 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
So fängst du an:
3 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 3 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
2. 3 · 5 = 15
Ergebnis:
15 Bücher
●20
In 5 Kästen liegen je 4 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 5 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
2. 5 · 4 = 20
Ergebnis:
20 Karten
★21
224 Sticker werden gleichmäßig auf 7 Kästen verteilt. Wie viele Sticker kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 224, 7 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 224 : 7 = 32
Ergebnis:
32 Sticker

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Noah hat 89 Murmeln, Jonas hat 38 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
89 + 38 = 127

Zwei Teile, gesucht das Ganze
89 + 38 = 127

Ergebnis:

127 Murmeln

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Jonas hat 67 Karten, Lina hat 38 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 67 + 38 = 105
Ergebnis:
105 Karten
●23
Ben hat 49 Sticker, Lina hat 62 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 49 + 62 = 111
Ergebnis:
111 Sticker
★24
Jonas und Ben haben zusammen 370 Murmeln. Jonas hat 175 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Ben?
Lösung zeigen
1. Ganzes 370, ein Teil 175, gesucht der andere Teil
2. 370 − 175 = 195
Ergebnis:
195 Murmeln

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
26 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 9 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 3.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
●26
Auf einem Schiff sind 13 Schafe und 18 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?
Lösung zeigen
1. Die Angaben handeln von Tieren.
2. Über den Kapitän steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:54 Uhr, an 7:19 Uhr.
2. Von 6:54 bis 7:19 Uhr sind es 25 Minuten.
Ergebnis:
25 Minuten
●28
An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Ben sagt: „120 m Zaun mit einem Pfahl alle 10 m braucht 12 Pfähle.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. 120 : 10 = 12 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 13.
Ergebnis:
Nein, 13 Pfähle
●29
Im Kino sitzt Lea auf Platz 8 von links. Zwischen Lea und Elias sitzen 1 Kinder, Elias sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Elias?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 8 ist Lea, dann 1 Plätze dazwischen.
2. 8 + 1 + 1 = 10
Ergebnis:
Platz 10
●30
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Can braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 27 Minuten für den Weg. Wann muss Can spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 16:06 Uhr.
2. Noch 27 Minuten früher: 15:39 Uhr.
Ergebnis:
15:39 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
27 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 9 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Tom ist um 6:39 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Tom auf den nächsten Bus M29?
Lösung zeigen
Ergebnis:
14 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Jonas hat 44 Murmeln. Mia hat 25 Murmeln weniger als Jonas. Wie viele Murmeln hat Mia?
Lösung zeigen
Ergebnis:
19 Murmeln
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Lina braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 20 Minuten für den Weg. Wann muss Lina spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
15:31 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 9 Tische mit 44 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
4 Sechsertische
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,67 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 3 Kästen liegen je 5 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
15 Bücher
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Tim hat 53 Murmeln, Ela hat 29 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
82 Murmeln

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Der Beginn des Films fehlt
69 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
84 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
5 Minuten
9 Minuten
3 Minuten
74 Bücher
51 Sticker
152 Bücher
16:21 Uhr
33 €
15:33 Uhr
1 Dreirad
6 Hühner, 1 Kaninchen
9 Kaninchen
1,67 €
einzeln
Ja
15 Bücher
20 Karten
32 Sticker
105 Karten
111 Sticker
195 Murmeln
Der Preis für Erwachsene fehlt
nicht lösbar
25 Minuten
Nein, 13 Pfähle
Platz 10
15:39 Uhr
Der Preis für Erwachsene fehlt
14 Minuten
19 Murmeln
15:31 Uhr
4 Sechsertische
0,67 €
15 Bücher
82 Murmeln
11:30 Uhr
1.500 cm

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 10:30 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 10:30 + 1:00 = 11:30 Uhr
Ergebnis:
11:30 Uhr
●40
Rechne um: 15 m in cm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 100 cm
2. 15 · 100 = 1.500 cm
Ergebnis:
1.500 cm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 30 Tore geschossen. Zum Finale kamen 183 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.

Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.

Ergebnis:

Die Tore im Finale fehlen

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 29 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 110 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 110 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
●2
23 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 16 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 23 Kinder und 3 €.
2. 23 · 3 € = 69 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
69 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
★3
28 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 8 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 28 Kinder und 3 €.
2. 28 · 3 € = 84 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
84 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Milan ist um 7:03 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Milan auf den nächsten Bus M29?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 7:09 Uhr.
Von 7:03 bis 7:09 Uhr sind es 6 Minuten.

Der nächste fährt um 7:09 Uhr.
Von 7:03 bis 7:09 Uhr sind es 6 Minuten.

Ergebnis:

6 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Ben ist um 6:56 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Ben auf den nächsten Bus 100?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
2. Von 6:56 bis 7:01 Uhr sind es 5 Minuten.
Ergebnis:
5 Minuten
●5
Sofia ist um 6:52 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Sofia auf den nächsten Bus M29?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
2. Von 6:52 bis 7:01 Uhr sind es 9 Minuten.
Ergebnis:
9 Minuten
★6
Noah ist um 7:04 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Noah auf den nächsten Bus M29?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:07 Uhr.
2. Von 7:04 bis 7:07 Uhr sind es 3 Minuten.
Ergebnis:
3 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Lina hat 46 Murmeln. Aylin hat 19 Murmeln mehr als Lina. Wie viele Murmeln hat Aylin?

Schritt für Schritt

Aylin hat mehr: der Streifen von Aylin ist länger
46 + 19 = 65

Aylin hat mehr: der Streifen von Aylin ist länger
46 + 19 = 65

Ergebnis:

65 Murmeln

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Aylin hat 67 Bücher. Ben hat 7 Bücher mehr als Aylin. Wie viele Bücher hat Ben?
So fängst du an:
Ben hat mehr: der Streifen von Ben ist länger
Lösung zeigen
1. Ben hat mehr: der Streifen von Ben ist länger
2. 67 + 7 = 74
Ergebnis:
74 Bücher
●8
Ela hat 70 Sticker. Ben hat 19 Sticker weniger als Ela. Wie viele Sticker hat Ben?
Lösung zeigen
1. Ben hat weniger: der Streifen von Ben ist kürzer
2. 70 − 19 = 51
Ergebnis:
51 Sticker
★9
Lina hat 260 Bücher. Mia hat 108 Bücher weniger als Lina. Wie viele Bücher hat Mia?
Lösung zeigen
1. Mia hat weniger: der Streifen von Mia ist kürzer
2. 260 − 108 = 152
Ergebnis:
152 Bücher

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Jonas braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 21 Minuten für den Weg. Wann muss Jonas spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 16:52 Uhr.
Noch 21 Minuten früher: 16:31 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 16:52 Uhr.
Noch 21 Minuten früher: 16:31 Uhr.

Ergebnis:

16:31 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Sofia braucht 11 Minuten zum Umziehen und davor 28 Minuten für den Weg. Wann muss Sofia spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 11 Minuten früher ist 16:49 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 11 Minuten früher ist 16:49 Uhr.
2. Noch 28 Minuten früher: 16:21 Uhr.
Ergebnis:
16:21 Uhr
●11
Ben kauft ein Buch für 9 €. Danach bekommt Ben 9 € geschenkt und hat jetzt 33 €. Wie viel Geld hatte Ben am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 33 € − 9 € = 24 €
2. Dann den Kauf: 24 € + 9 € = 33 €
Ergebnis:
33 €
★12
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Mia braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 18 Minuten für den Weg. Wann muss Mia spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 15:51 Uhr.
2. Noch 18 Minuten früher: 15:33 Uhr.
Ergebnis:
15:33 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita zählt Jonas 6 Fahrzeuge und 15 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 3 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 15 Räder.
Das passt genau.
3 Fahrräder und 3 Dreiräder: 3 · 2 + 3 · 3 = 15

Probieren: 3 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 15 Räder.
Das passt genau.
3 Fahrräder und 3 Dreiräder: 3 · 2 + 3 · 3 = 15

Ergebnis:

3 Fahrräder, 3 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 5 Fahrzeuge mit 11 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 4 Fahrräder und 1 Dreirad: 4 · 2 + 1 · 3 = 11
Ergebnis:
1 Dreirad
●14
Auf einem Hof zählt Tom 7 Tiere und 16 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 6 Hühner und 1 Kaninchen: 6 · 2 + 1 · 4 = 16
Ergebnis:
6 Hühner, 1 Kaninchen
★15
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 10 Tiere mit 38 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 1 Huhn und 9 Kaninchen: 1 · 2 + 9 · 4 = 38
Ergebnis:
9 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 4 Riegeln kostet 6,60 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Riegel braucht?

Schritt für Schritt

4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
Packung: 6,60 €
Einzeln ist günstiger.

4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
Packung: 6,60 €
Einzeln ist günstiger.

Ergebnis:

einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €
●17
Ein Tennisball kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 4 Bällen kostet 10,30 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bälle braucht?
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 2,50 € = 10,00 €
2. Packung: 10,30 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
★18
Eine Fahrt kostet 2,40 €. Eine Monatskarte kostet 50,00 €. Jonas fährt im Monat 30-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 30 · 2,40 € = 72,00 €
2. Monatskarte: 50,00 €
3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
Ergebnis:
Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 8 Kästen liegen je 8 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?

Schritt für Schritt

8 gleiche Teile zu je 8, gesucht das Ganze
8 · 8 = 64

8 gleiche Teile zu je 8, gesucht das Ganze
8 · 8 = 64

Ergebnis:

64 Bücher

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 3 Kästen liegen je 5 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
So fängst du an:
3 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 3 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
2. 3 · 5 = 15
Ergebnis:
15 Bücher
●20
In 5 Kästen liegen je 4 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 5 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
2. 5 · 4 = 20
Ergebnis:
20 Karten
★21
224 Sticker werden gleichmäßig auf 7 Kästen verteilt. Wie viele Sticker kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 224, 7 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 224 : 7 = 32
Ergebnis:
32 Sticker

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Noah hat 89 Murmeln, Jonas hat 38 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
89 + 38 = 127

Zwei Teile, gesucht das Ganze
89 + 38 = 127

Ergebnis:

127 Murmeln

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Jonas hat 67 Karten, Lina hat 38 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 67 + 38 = 105
Ergebnis:
105 Karten
●23
Ben hat 49 Sticker, Lina hat 62 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 49 + 62 = 111
Ergebnis:
111 Sticker
★24
Jonas und Ben haben zusammen 370 Murmeln. Jonas hat 175 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Ben?
Lösung zeigen
1. Ganzes 370, ein Teil 175, gesucht der andere Teil
2. 370 − 175 = 195
Ergebnis:
195 Murmeln

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
26 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 9 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 3.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
●26
Auf einem Schiff sind 13 Schafe und 18 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?
Lösung zeigen
1. Die Angaben handeln von Tieren.
2. Über den Kapitän steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:54 Uhr, an 7:19 Uhr.
2. Von 6:54 bis 7:19 Uhr sind es 25 Minuten.
Ergebnis:
25 Minuten
●28
An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Ben sagt: „120 m Zaun mit einem Pfahl alle 10 m braucht 12 Pfähle.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. 120 : 10 = 12 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 13.
Ergebnis:
Nein, 13 Pfähle
●29
Im Kino sitzt Lea auf Platz 8 von links. Zwischen Lea und Elias sitzen 1 Kinder, Elias sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Elias?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 8 ist Lea, dann 1 Plätze dazwischen.
2. 8 + 1 + 1 = 10
Ergebnis:
Platz 10
●30
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Can braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 27 Minuten für den Weg. Wann muss Can spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 16:06 Uhr.
2. Noch 27 Minuten früher: 15:39 Uhr.
Ergebnis:
15:39 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
27 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 9 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Tom ist um 6:39 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Tom auf den nächsten Bus M29?
Lösung zeigen
Ergebnis:
14 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Jonas hat 44 Murmeln. Mia hat 25 Murmeln weniger als Jonas. Wie viele Murmeln hat Mia?
Lösung zeigen
Ergebnis:
19 Murmeln
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Lina braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 20 Minuten für den Weg. Wann muss Lina spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
15:31 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 9 Tische mit 44 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
4 Sechsertische
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,67 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 3 Kästen liegen je 5 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
15 Bücher
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Tim hat 53 Murmeln, Ela hat 29 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
82 Murmeln

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Der Beginn des Films fehlt
69 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
84 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
5 Minuten
9 Minuten
3 Minuten
74 Bücher
51 Sticker
152 Bücher
16:21 Uhr
33 €
15:33 Uhr
1 Dreirad
6 Hühner, 1 Kaninchen
9 Kaninchen
1,67 €
einzeln
Ja
15 Bücher
20 Karten
32 Sticker
105 Karten
111 Sticker
195 Murmeln
Der Preis für Erwachsene fehlt
nicht lösbar
25 Minuten
Nein, 13 Pfähle
Platz 10
15:39 Uhr
Der Preis für Erwachsene fehlt
14 Minuten
19 Murmeln
15:31 Uhr
4 Sechsertische
0,67 €
15 Bücher
82 Murmeln
11:30 Uhr
1.500 cm