Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 10:15 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 45 min = 0 h 45 min
2. 10:15 + 0:45 = 11:00 Uhr
Ergebnis:
11:00 Uhr
●40
Rechne um: 12 m in cm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 100 cm
2. 12 · 100 = 1.200 cm
Ergebnis:
1.200 cm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 29 Tore geschossen. Zum Finale kamen 203 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.

Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.

Ergebnis:

Die Tore im Finale fehlen

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
26 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 6 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 26 Kinder und 7 €.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 26 Kinder und 7 €.
2. 26 · 7 € = 182 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
182 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
●2
Die 5b fährt mit 22 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 4 €. Der Film dauert 110 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 22 Kinder und 4 € je Karte.
2. 22 · 4 € = 88 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
88 €, die Filmdauer brauche ich nicht
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 36 Tore geschossen. Zum Finale kamen 275 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 6 Spiele.
2. 15 − 6 = 9
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.

Schritt für Schritt

Zum Beispiel: ab 6:47 Uhr, an 7:07 Uhr.
Von 6:47 bis 7:07 Uhr sind es 20 Minuten.

Zum Beispiel: ab 6:47 Uhr, an 7:07 Uhr.
Von 6:47 bis 7:07 Uhr sind es 20 Minuten.

Ergebnis:

20 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Can ist um 6:50 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Can auf den nächsten Bus 100?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 7:05 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:05 Uhr.
2. Von 6:50 bis 7:05 Uhr sind es 15 Minuten.
Ergebnis:
15 Minuten
●5
Emma ist um 6:57 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Emma auf den nächsten Bus M29?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
2. Von 6:57 bis 7:01 Uhr sind es 4 Minuten.
Ergebnis:
4 Minuten
★6
Lea ist um 6:53 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lea auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
2. Von 6:53 bis 7:01 Uhr sind es 8 Minuten.
Ergebnis:
8 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Aylin hat 76 Bücher. Ela hat 12 Bücher mehr als Aylin. Wie viele Bücher hat Ela?

Schritt für Schritt

Ela hat mehr: der Streifen von Ela ist länger
76 + 12 = 88

Ela hat mehr: der Streifen von Ela ist länger
76 + 12 = 88

Ergebnis:

88 Bücher

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Jonas hat 55 Bücher. Lina hat 14 Bücher weniger als Jonas. Wie viele Bücher hat Lina?
So fängst du an:
Lina hat weniger: der Streifen von Lina ist kürzer
Lösung zeigen
1. Lina hat weniger: der Streifen von Lina ist kürzer
2. 55 − 14 = 41
Ergebnis:
41 Bücher
●8
Lina hat 57 Karten. Tim hat 11 Karten mehr als Lina. Wie viele Karten hat Tim?
Lösung zeigen
1. Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
2. 57 + 11 = 68
Ergebnis:
68 Karten
★9
Ela hat 447 Bücher. Lina hat 115 Bücher mehr als Ela. Wie viele Bücher hat Lina?
Lösung zeigen
1. Lina hat mehr: der Streifen von Lina ist länger
2. 447 + 115 = 562
Ergebnis:
562 Bücher

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Noah braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 27 Minuten für den Weg. Wann muss Noah spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 15:24 Uhr.
Noch 27 Minuten früher: 14:57 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 15:24 Uhr.
Noch 27 Minuten früher: 14:57 Uhr.

Ergebnis:

14:57 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Sofia kauft ein Buch für 5 €. Danach bekommt Sofia 5 € geschenkt und hat jetzt 28 €. Wie viel Geld hatte Sofia am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 28 € − 5 € = 23 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 28 € − 5 € = 23 €
2. Dann den Kauf: 23 € + 5 € = 28 €
Ergebnis:
28 €
●11
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Ben braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 23 Minuten für den Weg. Wann muss Ben spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 15:55 Uhr.
2. Noch 23 Minuten früher: 15:32 Uhr.
Ergebnis:
15:32 Uhr
★12
Ben kauft ein Buch für 11 €. Danach bekommt Ben 4 € geschenkt und hat jetzt 12 €. Wie viel Geld hatte Ben am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 12 € − 4 € = 8 €
2. Dann den Kauf: 8 € + 11 € = 19 €
Ergebnis:
19 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof zählt Milan 8 Tiere und 24 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
Das passt genau.
4 Hühner und 4 Kaninchen: 4 · 2 + 4 · 4 = 24

Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
Das passt genau.
4 Hühner und 4 Kaninchen: 4 · 2 + 4 · 4 = 24

Ergebnis:

4 Hühner, 4 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Im Hof der Kita zählt Emma 9 Fahrzeuge und 23 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 5 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 22 Räder.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 22 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 4 Fahrräder und 5 Dreiräder: 4 · 2 + 5 · 3 = 23
Ergebnis:
4 Fahrräder, 5 Dreiräder
●14
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 6 Tiere mit 16 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 4 Hühner und 2 Kaninchen: 4 · 2 + 2 · 4 = 16
Ergebnis:
2 Kaninchen
★15
Im Hof der Kita zählt Hanna 17 Fahrzeuge und 35 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 9 Fahrräder und 8 Dreiräder ergeben 42 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 16 Fahrräder und 1 Dreirad: 16 · 2 + 1 · 3 = 35
Ergebnis:
16 Fahrräder, 1 Dreirad

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Ergebnis:

1,33 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 10 Riegeln kostet 18,60 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Riegel braucht?
So fängst du an:
10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
2. Packung: 18,60 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
0,67 €
★18
Eine Fahrt kostet 2,80 €. Eine Monatskarte kostet 45,00 €. Aylin fährt im Monat 25-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 25 · 2,80 € = 70,00 €
2. Monatskarte: 45,00 €
3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
Ergebnis:
Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 6 Kästen liegen je 6 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?

Schritt für Schritt

6 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
6 · 6 = 36

6 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
6 · 6 = 36

Ergebnis:

36 Bücher

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 3 Kästen liegen je 6 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
So fängst du an:
3 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 3 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
2. 3 · 6 = 18
Ergebnis:
18 Karten
●20
In 3 Kästen liegen je 3 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 3 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
2. 3 · 3 = 9
Ergebnis:
9 Sticker
★21
287 Bücher werden gleichmäßig auf 7 Kästen verteilt. Wie viele Bücher kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 287, 7 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 287 : 7 = 41
Ergebnis:
41 Bücher

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Lina hat 57 Sticker, Ben hat 55 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
57 + 55 = 112

Zwei Teile, gesucht das Ganze
57 + 55 = 112

Ergebnis:

112 Sticker

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Tim hat 22 Murmeln, Jonas hat 63 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 22 + 63 = 85
Ergebnis:
85 Murmeln
●23
Noah hat 25 Sticker, Aylin hat 78 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 25 + 78 = 103
Ergebnis:
103 Sticker
★24
Mia und Aylin haben zusammen 736 Bücher. Mia hat 355 Bücher. Wie viele Bücher hat Aylin?
Lösung zeigen
1. Ganzes 736, ein Teil 355, gesucht der andere Teil
2. 736 − 355 = 381
Ergebnis:
381 Bücher

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die 5b fährt mit 22 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 110 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 110 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
●26
Ein Regal hat 5 Böden. Auf jedem stehen 5 Bücher. Wie viele Seiten hat ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: 5 Böden, 5 Bücher je Boden.
2. Über die Seiten steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Der Unterricht beginnt um 7:45 Uhr. Welchen Bus 248 muss Milan spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:45 Uhr: 7:04, 7:24, 7:44 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:44 Uhr an.
3. Er fährt um 7:20 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:20 Uhr
●28
Entlang eines Weges stehen 5 Laternen im Abstand von 4 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 5 Laternen haben 4 Abstände dazwischen.
2. 4 · 4 m = 16 m
Ergebnis:
16 m
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Zeynep an 4. Stelle von vorn und an 13. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 3 Kinder, dann Zeynep, dahinter 12 Kinder.
2. 3 + 1 + 12 = 16
Ergebnis:
16 Kinder
●30
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Mia braucht 11 Minuten zum Umziehen und davor 35 Minuten für den Weg. Wann muss Mia spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 11 Minuten früher ist 15:49 Uhr.
2. Noch 35 Minuten früher: 15:14 Uhr.
Ergebnis:
15:14 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die 5b fährt mit 24 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 110 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
Ergebnis:
25 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Lina hat 90 Sticker. Aylin hat 14 Sticker weniger als Lina. Wie viele Sticker hat Aylin?
Lösung zeigen
Ergebnis:
76 Sticker
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Aylin braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 29 Minuten für den Weg. Wann muss Aylin spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
15:17 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita zählt Mia 8 Fahrzeuge und 17 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
7 Fahrräder, 1 Dreirad
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Tennisball kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 6 Bällen kostet 14,70 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bälle braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
die Packung
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 7 Kästen liegen je 9 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
63 Bücher
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Lina hat 41 Murmeln, Noah hat 37 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
78 Murmeln

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

182 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
88 €, die Filmdauer brauche ich nicht
9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
15 Minuten
4 Minuten
8 Minuten
41 Bücher
68 Karten
562 Bücher
28 €
15:32 Uhr
19 €
4 Fahrräder, 5 Dreiräder
2 Kaninchen
16 Fahrräder, 1 Dreirad
einzeln
0,67 €
Ja
18 Karten
9 Sticker
41 Bücher
85 Murmeln
103 Sticker
381 Bücher
Der Beginn des Films fehlt
nicht lösbar
den um 7:20 Uhr
16 m
16 Kinder
15:14 Uhr
Der Beginn des Films fehlt
25 Minuten
76 Sticker
15:17 Uhr
7 Fahrräder, 1 Dreirad
die Packung
63 Bücher
78 Murmeln
11:00 Uhr
1.200 cm

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 10:15 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 45 min = 0 h 45 min
2. 10:15 + 0:45 = 11:00 Uhr
Ergebnis:
11:00 Uhr
●40
Rechne um: 12 m in cm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 100 cm
2. 12 · 100 = 1.200 cm
Ergebnis:
1.200 cm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 29 Tore geschossen. Zum Finale kamen 203 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.

Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.

Ergebnis:

Die Tore im Finale fehlen

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
26 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 6 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 26 Kinder und 7 €.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 26 Kinder und 7 €.
2. 26 · 7 € = 182 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
182 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
●2
Die 5b fährt mit 22 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 4 €. Der Film dauert 110 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 22 Kinder und 4 € je Karte.
2. 22 · 4 € = 88 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
88 €, die Filmdauer brauche ich nicht
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 36 Tore geschossen. Zum Finale kamen 275 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 6 Spiele.
2. 15 − 6 = 9
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.

Schritt für Schritt

Zum Beispiel: ab 6:47 Uhr, an 7:07 Uhr.
Von 6:47 bis 7:07 Uhr sind es 20 Minuten.

Zum Beispiel: ab 6:47 Uhr, an 7:07 Uhr.
Von 6:47 bis 7:07 Uhr sind es 20 Minuten.

Ergebnis:

20 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Can ist um 6:50 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Can auf den nächsten Bus 100?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 7:05 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:05 Uhr.
2. Von 6:50 bis 7:05 Uhr sind es 15 Minuten.
Ergebnis:
15 Minuten
●5
Emma ist um 6:57 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Emma auf den nächsten Bus M29?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
2. Von 6:57 bis 7:01 Uhr sind es 4 Minuten.
Ergebnis:
4 Minuten
★6
Lea ist um 6:53 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lea auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
2. Von 6:53 bis 7:01 Uhr sind es 8 Minuten.
Ergebnis:
8 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Aylin hat 76 Bücher. Ela hat 12 Bücher mehr als Aylin. Wie viele Bücher hat Ela?

Schritt für Schritt

Ela hat mehr: der Streifen von Ela ist länger
76 + 12 = 88

Ela hat mehr: der Streifen von Ela ist länger
76 + 12 = 88

Ergebnis:

88 Bücher

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Jonas hat 55 Bücher. Lina hat 14 Bücher weniger als Jonas. Wie viele Bücher hat Lina?
So fängst du an:
Lina hat weniger: der Streifen von Lina ist kürzer
Lösung zeigen
1. Lina hat weniger: der Streifen von Lina ist kürzer
2. 55 − 14 = 41
Ergebnis:
41 Bücher
●8
Lina hat 57 Karten. Tim hat 11 Karten mehr als Lina. Wie viele Karten hat Tim?
Lösung zeigen
1. Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
2. 57 + 11 = 68
Ergebnis:
68 Karten
★9
Ela hat 447 Bücher. Lina hat 115 Bücher mehr als Ela. Wie viele Bücher hat Lina?
Lösung zeigen
1. Lina hat mehr: der Streifen von Lina ist länger
2. 447 + 115 = 562
Ergebnis:
562 Bücher

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Noah braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 27 Minuten für den Weg. Wann muss Noah spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 15:24 Uhr.
Noch 27 Minuten früher: 14:57 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 15:24 Uhr.
Noch 27 Minuten früher: 14:57 Uhr.

Ergebnis:

14:57 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Sofia kauft ein Buch für 5 €. Danach bekommt Sofia 5 € geschenkt und hat jetzt 28 €. Wie viel Geld hatte Sofia am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 28 € − 5 € = 23 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 28 € − 5 € = 23 €
2. Dann den Kauf: 23 € + 5 € = 28 €
Ergebnis:
28 €
●11
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Ben braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 23 Minuten für den Weg. Wann muss Ben spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 15:55 Uhr.
2. Noch 23 Minuten früher: 15:32 Uhr.
Ergebnis:
15:32 Uhr
★12
Ben kauft ein Buch für 11 €. Danach bekommt Ben 4 € geschenkt und hat jetzt 12 €. Wie viel Geld hatte Ben am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 12 € − 4 € = 8 €
2. Dann den Kauf: 8 € + 11 € = 19 €
Ergebnis:
19 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof zählt Milan 8 Tiere und 24 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
Das passt genau.
4 Hühner und 4 Kaninchen: 4 · 2 + 4 · 4 = 24

Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
Das passt genau.
4 Hühner und 4 Kaninchen: 4 · 2 + 4 · 4 = 24

Ergebnis:

4 Hühner, 4 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Im Hof der Kita zählt Emma 9 Fahrzeuge und 23 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 5 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 22 Räder.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 22 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 4 Fahrräder und 5 Dreiräder: 4 · 2 + 5 · 3 = 23
Ergebnis:
4 Fahrräder, 5 Dreiräder
●14
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 6 Tiere mit 16 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 4 Hühner und 2 Kaninchen: 4 · 2 + 2 · 4 = 16
Ergebnis:
2 Kaninchen
★15
Im Hof der Kita zählt Hanna 17 Fahrzeuge und 35 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 9 Fahrräder und 8 Dreiräder ergeben 42 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 16 Fahrräder und 1 Dreirad: 16 · 2 + 1 · 3 = 35
Ergebnis:
16 Fahrräder, 1 Dreirad

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Ergebnis:

1,33 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 10 Riegeln kostet 18,60 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Riegel braucht?
So fängst du an:
10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
2. Packung: 18,60 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
0,67 €
★18
Eine Fahrt kostet 2,80 €. Eine Monatskarte kostet 45,00 €. Aylin fährt im Monat 25-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 25 · 2,80 € = 70,00 €
2. Monatskarte: 45,00 €
3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
Ergebnis:
Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 6 Kästen liegen je 6 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?

Schritt für Schritt

6 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
6 · 6 = 36

6 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
6 · 6 = 36

Ergebnis:

36 Bücher

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 3 Kästen liegen je 6 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
So fängst du an:
3 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 3 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
2. 3 · 6 = 18
Ergebnis:
18 Karten
●20
In 3 Kästen liegen je 3 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 3 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
2. 3 · 3 = 9
Ergebnis:
9 Sticker
★21
287 Bücher werden gleichmäßig auf 7 Kästen verteilt. Wie viele Bücher kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 287, 7 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 287 : 7 = 41
Ergebnis:
41 Bücher

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Lina hat 57 Sticker, Ben hat 55 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
57 + 55 = 112

Zwei Teile, gesucht das Ganze
57 + 55 = 112

Ergebnis:

112 Sticker

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Tim hat 22 Murmeln, Jonas hat 63 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 22 + 63 = 85
Ergebnis:
85 Murmeln
●23
Noah hat 25 Sticker, Aylin hat 78 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 25 + 78 = 103
Ergebnis:
103 Sticker
★24
Mia und Aylin haben zusammen 736 Bücher. Mia hat 355 Bücher. Wie viele Bücher hat Aylin?
Lösung zeigen
1. Ganzes 736, ein Teil 355, gesucht der andere Teil
2. 736 − 355 = 381
Ergebnis:
381 Bücher

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die 5b fährt mit 22 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 110 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 110 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
●26
Ein Regal hat 5 Böden. Auf jedem stehen 5 Bücher. Wie viele Seiten hat ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: 5 Böden, 5 Bücher je Boden.
2. Über die Seiten steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Der Unterricht beginnt um 7:45 Uhr. Welchen Bus 248 muss Milan spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:45 Uhr: 7:04, 7:24, 7:44 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:44 Uhr an.
3. Er fährt um 7:20 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:20 Uhr
●28
Entlang eines Weges stehen 5 Laternen im Abstand von 4 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 5 Laternen haben 4 Abstände dazwischen.
2. 4 · 4 m = 16 m
Ergebnis:
16 m
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Zeynep an 4. Stelle von vorn und an 13. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 3 Kinder, dann Zeynep, dahinter 12 Kinder.
2. 3 + 1 + 12 = 16
Ergebnis:
16 Kinder
●30
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Mia braucht 11 Minuten zum Umziehen und davor 35 Minuten für den Weg. Wann muss Mia spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 11 Minuten früher ist 15:49 Uhr.
2. Noch 35 Minuten früher: 15:14 Uhr.
Ergebnis:
15:14 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die 5b fährt mit 24 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 110 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
Ergebnis:
25 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Lina hat 90 Sticker. Aylin hat 14 Sticker weniger als Lina. Wie viele Sticker hat Aylin?
Lösung zeigen
Ergebnis:
76 Sticker
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Aylin braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 29 Minuten für den Weg. Wann muss Aylin spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
15:17 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita zählt Mia 8 Fahrzeuge und 17 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
7 Fahrräder, 1 Dreirad
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Tennisball kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 6 Bällen kostet 14,70 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bälle braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
die Packung
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 7 Kästen liegen je 9 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
63 Bücher
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Lina hat 41 Murmeln, Noah hat 37 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
78 Murmeln

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

182 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
88 €, die Filmdauer brauche ich nicht
9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
15 Minuten
4 Minuten
8 Minuten
41 Bücher
68 Karten
562 Bücher
28 €
15:32 Uhr
19 €
4 Fahrräder, 5 Dreiräder
2 Kaninchen
16 Fahrräder, 1 Dreirad
einzeln
0,67 €
Ja
18 Karten
9 Sticker
41 Bücher
85 Murmeln
103 Sticker
381 Bücher
Der Beginn des Films fehlt
nicht lösbar
den um 7:20 Uhr
16 m
16 Kinder
15:14 Uhr
Der Beginn des Films fehlt
25 Minuten
76 Sticker
15:17 Uhr
7 Fahrräder, 1 Dreirad
die Packung
63 Bücher
78 Murmeln
11:00 Uhr
1.200 cm