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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

  1. ●39
    Der Unterricht beginnt um 10:30 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
    Lösung zeigen
    1. 45 min = 0 h 45 min
    2. 10:30 + 0:45 = 11:15 Uhr
    Ergebnis:
    11:15 Uhr
  2. ●40
    Rechne um: 5 h in min.
    Lösung zeigen
    1. 1 h = 60 min
    2. 5 · 60 = 300 min
    Ergebnis:
    300 min

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

Skizze eines Zauns: 24 Meter, alle 6 Meter ein Pfahl – 4 Abstände und 5 Pfähle6 m6 m6 m6 mSkizze: Zaun 24 m, alle 6 m ein Pfahl4 Abstände, aber 5 Pfähle

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 24 Tore geschossen. Zum Finale kamen 406 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
8 Spiele24 Tore406 Zuschauer
Schritt für Schritt
  1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
  2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
  3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
  1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
  2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
  3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht
28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €
So richtig
28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 110 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
    23 Kindern8 €110 Minuten
    So fängst du an:
    Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
    Lösung zeigen
    1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
    2. Die Dauer ist da: 110 Minuten.
    3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
    Ergebnis:
    Der Beginn des Films fehlt
  2. ●2
    Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 110 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
    28 Kindern6 €110 Minuten
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 28 Kinder und 6 € je Karte.
    2. 28 · 6 € = 168 €
    3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
    Ergebnis:
    168 €, die Filmdauer brauche ich nicht
  3. ★3
    23 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 10 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
    23 Kinder2 Lehrkräfte10 km4 €
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
    2. Die Anzahl ist da: 2.
    3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
    Ergebnis:
    Der Preis für Erwachsene fehlt

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 8:12 Uhr. Welchen Bus 248 muss Paul spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Bus 248Hauptstraße abSchule an6:537:097:137:297:337:497:538:09
Schritt für Schritt
  1. Ankunft vor 8:12 Uhr: 7:09, 7:29, 7:49, 8:09 Uhr.
  2. Der letzte davon kommt um 8:09 Uhr an.
  3. Er fährt um 7:53 Uhr ab.
  1. Ankunft vor 8:12 Uhr: 7:09, 7:29, 7:49, 8:09 Uhr.
  2. Der letzte davon kommt um 8:09 Uhr an.
  3. Er fährt um 7:53 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:53 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten
So richtig
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Der Unterricht beginnt um 7:41 Uhr. Welchen Bus X34 muss Milan spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:537:177:037:277:137:377:237:47
    So fängst du an:
    Ankunft vor 7:41 Uhr: 7:17, 7:27, 7:37 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:41 Uhr: 7:17, 7:27, 7:37 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:37 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:13 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:13 Uhr
  2. ●5
    Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:487:027:087:227:287:427:488:02
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:48 Uhr, an 7:02 Uhr.
    2. Von 6:48 bis 7:02 Uhr sind es 14 Minuten.
    Ergebnis:
    14 Minuten
  3. ★6
    Paul braucht 7 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus 100 um 7:31 Uhr nehmen. Wann muss Paul spätestens los, und wann ist Paul an der Schule?
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:517:077:117:277:317:477:518:07
    Lösung zeigen
    1. Los: 7 Minuten vor 7:31 Uhr, also 7:24 Uhr.
    2. Ankunft laut Fahrplan: 7:47 Uhr.
    Ergebnis:
    los um 7:24 Uhr, an um 7:47 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Ben hat 80 Bücher. Jonas hat 15 Bücher weniger als Ben. Wie viele Bücher hat Jonas?
BenJonas80?15
Schritt für Schritt
  1. Jonas hat weniger: der Streifen von Jonas ist kürzer
  2. 80 − 15 = 65
  1. Jonas hat weniger: der Streifen von Jonas ist kürzer
  2. 80 − 15 = 65
Ergebnis:
65 Bücher

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle
So richtig
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ela hat 61 Sticker. Noah hat 15 Sticker weniger als Ela. Wie viele Sticker hat Noah?
    ElaNoah61?15
    So fängst du an:
    Noah hat weniger: der Streifen von Noah ist kürzer
    Lösung zeigen
    1. Noah hat weniger: der Streifen von Noah ist kürzer
    2. 61 − 15 = 46
    Ergebnis:
    46 Sticker
  2. ●8
    Tim hat 80 Murmeln. Jonas hat 11 Murmeln weniger als Tim. Wie viele Murmeln hat Jonas?
    TimJonas80?11
    Lösung zeigen
    1. Jonas hat weniger: der Streifen von Jonas ist kürzer
    2. 80 − 11 = 69
    Ergebnis:
    69 Murmeln
  3. ★9
    Ela hat 477 Karten, Noah hat 514 Karten. Wie viele Karten hat Noah mehr?
    ElaNoah477514?
    Lösung zeigen
    1. Der Unterschied ist der Rest zwischen den Streifen
    2. 514 − 477 = 37
    Ergebnis:
    37 Karten

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Ben braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 19 Minuten für den Weg. Wann muss Ben spätestens von zu Hause los?
WegUmziehen?17:00 Uhr
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 16:45 Uhr.
  2. Noch 19 Minuten früher: 16:26 Uhr.
  1. Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 16:45 Uhr.
  2. Noch 19 Minuten früher: 16:26 Uhr.
Ergebnis:
16:26 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €
So richtig
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Hanna kauft ein Buch für 6 €. Danach bekommt Hanna 8 € geschenkt und hat jetzt 27 €. Wie viel Geld hatte Hanna am Anfang?
    ?− 6 €+ 8 €27 €
    So fängst du an:
    Rückwärts, zuerst das Geschenk: 27 € − 8 € = 19 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 27 € − 8 € = 19 €
    2. Dann den Kauf: 19 € + 6 € = 25 €
    Ergebnis:
    25 €
  2. ●11
    Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Jonas braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 27 Minuten für den Weg. Wann muss Jonas spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?17:00 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 16:53 Uhr.
    2. Noch 27 Minuten früher: 16:26 Uhr.
    Ergebnis:
    16:26 Uhr
  3. ★12
    Milan kauft ein Buch für 12 €. Danach bekommt Milan 9 € geschenkt und hat jetzt 28 €. Wie viel Geld hatte Milan am Anfang?
    ?− 12 €+ 9 €28 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 28 € − 9 € = 19 €
    2. Dann den Kauf: 19 € + 12 € = 31 €
    Ergebnis:
    31 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere mit 18 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Kaninchen0123…Beine????
Schritt für Schritt
  1. Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
  2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
  3. 7 Hühner und 1 Kaninchen: 7 · 2 + 1 · 4 = 18
  1. Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
  2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
  3. 7 Hühner und 1 Kaninchen: 7 · 2 + 1 · 4 = 18
Ergebnis:
1 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht
9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5
So richtig
9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    In der Mensa zählt Jonas 9 Tische und 46 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Vierertische0123…Plätze????
    So fängst du an:
    Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
    2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 4 Vierertische und 5 Sechsertische: 4 · 4 + 5 · 6 = 46
    Ergebnis:
    4 Vierertische, 5 Sechsertische
  2. ●14
    Auf einem Hof zählt Lina 5 Tiere und 18 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 3 Hühner und 2 Kaninchen ergeben 14 Beine.
    2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 1 Huhn und 4 Kaninchen: 1 · 2 + 4 · 4 = 18
    Ergebnis:
    1 Huhn, 4 Kaninchen
  3. ★15
    In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 14 Tische mit 60 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 7 Vierertische und 7 Sechsertische ergeben 70 Plätze.
    2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
    3. 12 Vierertische und 2 Sechsertische: 12 · 4 + 2 · 6 = 60
    Ergebnis:
    2 Sechsertische

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 6 Riegeln kostet 8,70 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Riegel braucht?
einzeln1 Müsliriegel1,50 €Packung6 Riegeln8,70 €
Schritt für Schritt
  1. 6 einzeln: 6 · 1,50 € = 9,00 €
  2. Packung: 8,70 €
  3. Die Packung ist günstiger.
  1. 6 einzeln: 6 · 1,50 € = 9,00 €
  2. Packung: 8,70 €
  3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €
So richtig
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Bleistift kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 10 Bleistiften kostet 15,60 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bleistifte braucht?
    einzeln1 Bleistift1,50 €Packung10 Bleistiften15,60 €
    So fängst du an:
    10 einzeln: 10 · 1,50 € = 15,00 €
    Lösung zeigen
    1. 10 einzeln: 10 · 1,50 € = 15,00 €
    2. Packung: 15,60 €
    3. Einzeln ist günstiger.
    Ergebnis:
    einzeln
  2. ●17
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück2,50 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
    2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
    3. Gerundet auf ganze Cent.
    Ergebnis:
    1,67 €
  3. ★18
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,00 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
    2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
    3. Gerundet auf ganze Cent.
    Ergebnis:
    0,67 €

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 7 Kästen liegen je 6 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
?66666667 gleiche Teile
Schritt für Schritt
  1. 7 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
  2. 7 · 6 = 42
  1. 7 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
  2. 7 · 6 = 42
Ergebnis:
42 Murmeln

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    In 6 Kästen liegen je 7 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
    ?7777776 gleiche Teile
    So fängst du an:
    6 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
    Lösung zeigen
    1. 6 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
    2. 6 · 7 = 42
    Ergebnis:
    42 Sticker
  2. ●20
    In 8 Kästen liegen je 7 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
    ?777777778 gleiche Teile
    Lösung zeigen
    1. 8 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
    2. 8 · 7 = 56
    Ergebnis:
    56 Bücher
  3. ★21
    204 Karten werden gleichmäßig auf 6 Kästen verteilt. Wie viele Karten kommen in einen Kasten?
    204?6 gleiche Teile
    Lösung zeigen
    1. Ganzes 204, 6 gleiche Teile, gesucht ein Teil
    2. 204 : 6 = 34
    Ergebnis:
    34 Karten

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Ela hat 23 Sticker, Mia hat 58 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
?23Ela58Mia
Schritt für Schritt
  1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
  2. 23 + 58 = 81
  1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
  2. 23 + 58 = 81
Ergebnis:
81 Sticker

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht
47 + 38 = 75
So richtig
47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ela hat 25 Sticker, Lina hat 33 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
    ?25Ela33Lina
    So fängst du an:
    Zwei Teile, gesucht das Ganze
    Lösung zeigen
    1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
    2. 25 + 33 = 58
    Ergebnis:
    58 Sticker
  2. ●23
    Jonas hat 74 Sticker, Tim hat 45 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
    ?74Jonas45Tim
    Lösung zeigen
    1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
    2. 74 + 45 = 119
    Ergebnis:
    119 Sticker
  3. ★24
    Aylin und Ela haben zusammen 508 Sticker. Aylin hat 244 Sticker. Wie viele Sticker hat Ela?
    508244Aylin?Ela
    Lösung zeigen
    1. Ganzes 508, ein Teil 244, gesucht der andere Teil
    2. 508 − 244 = 264
    Ergebnis:
    264 Sticker

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    26 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 13 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    26 Kinder3 Lehrkräfte13 km3 €
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 26 Kinder und 3 €.
    2. 26 · 3 € = 78 €
    3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
    Ergebnis:
    78 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  2. ●26
    Ein Regal hat 8 Böden. Auf jedem stehen 17 Bücher. Wie viele Seiten hat ein Buch?
    8 Böden17 Bücher
    Lösung zeigen
    1. Die Angaben: 8 Böden, 17 Bücher je Boden.
    2. Über die Seiten steht nichts im Text.
    3. Die Frage kann man nicht beantworten.
    Ergebnis:
    nicht lösbar
  3. ●27
    Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:487:147:037:297:187:447:337:59
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:48 Uhr, an 7:14 Uhr.
    2. Von 6:48 bis 7:14 Uhr sind es 26 Minuten.
    Ergebnis:
    26 Minuten
  4. ●28
    Ein Weg ist 44 m lang. Alle 4 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
    4 m4 m4 m…?
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 44 : 4 = 11
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 11 + 1 = 12
    Ergebnis:
    12 Laternen
  5. ●29
    Im Kino sitzt Emma auf Platz 6 von links. Zwischen Emma und Noah sitzen 3 Kinder, Noah sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Noah?
    63 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Skizze: Platz 6 ist Emma, dann 3 Plätze dazwischen.
    2. 6 + 3 + 1 = 10
    Ergebnis:
    Platz 10
  6. ●30
    Ben kauft ein Buch für 18 €. Danach bekommt Ben 12 € geschenkt und hat jetzt 18 €. Wie viel Geld hatte Ben am Anfang?
    ?− 18 €+ 12 €18 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 18 € − 12 € = 6 €
    2. Dann den Kauf: 6 € + 18 € = 24 €
    Ergebnis:
    24 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren
Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne
Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft
Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen
Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle
Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan
Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung
Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

    31
    29 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 12 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
    29 Kinder3 Lehrkräfte12 km4 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Der Preis für Erwachsene fehlt

  2. Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

    32
    Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:487:017:087:217:287:417:488:01
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13 Minuten

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    33
    Tim hat 54 Sticker. Lina hat 15 Sticker weniger als Tim. Wie viele Sticker hat Lina?
    TimLina54?15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    39 Sticker

  4. Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

    34
    Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Aylin braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 31 Minuten für den Weg. Wann muss Aylin spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?17:00 Uhr
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16:23 Uhr

  5. Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

    35
    Auf einem Hof zählt Elias 7 Tiere und 20 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 Hühner, 3 Kaninchen

  6. Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

    36
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück2,50 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1,67 €

  7. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

    37
    In 4 Kästen liegen je 4 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
    ?44444 gleiche Teile
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16 Murmeln

  8. Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

    38
    Tim hat 74 Bücher, Mia hat 73 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?
    ?74Tim73Mia
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    147 Bücher

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

  1. Der Beginn des Films fehlt
  2. 168 €, die Filmdauer brauche ich nicht
  3. Der Preis für Erwachsene fehlt
  4. den um 7:13 Uhr
  5. 14 Minuten
  6. los um 7:24 Uhr, an um 7:47 Uhr
  7. 46 Sticker
  8. 69 Murmeln
  9. 37 Karten
  10. 25 €
  11. 16:26 Uhr
  12. 31 €
  13. 4 Vierertische, 5 Sechsertische
  14. 1 Huhn, 4 Kaninchen
  15. 2 Sechsertische
  16. einzeln
  17. 1,67 €
  18. 0,67 €
  19. 42 Sticker
  20. 56 Bücher
  21. 34 Karten
  22. 58 Sticker
  23. 119 Sticker
  24. 264 Sticker
  25. 78 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  26. nicht lösbar
  27. 26 Minuten
  28. 12 Laternen
  29. Platz 10
  30. 24 €
  31. Der Preis für Erwachsene fehlt
  32. 13 Minuten
  33. 39 Sticker
  34. 16:23 Uhr
  35. 4 Hühner, 3 Kaninchen
  36. 1,67 €
  37. 16 Murmeln
  38. 147 Bücher
  39. 11:15 Uhr
  40. 300 min