Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 10:30 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 45 min = 0 h 45 min
2. 10:30 + 0:45 = 11:15 Uhr
Ergebnis:
11:15 Uhr
●40
Rechne um: 5 km in m.
Lösung zeigen
1. 1 km = 1.000 m
2. 5 · 1.000 = 5.000 m
Ergebnis:
5.000 m

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 35 Tore geschossen. Zum Finale kamen 390 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 11 Spiele.
15 − 11 = 4
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Gebraucht: 11 Spiele.
15 − 11 = 4
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Ergebnis:

4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 29 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 105 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 29 Kinder und 9 € je Karte.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 29 Kinder und 9 € je Karte.
2. 29 · 9 € = 261 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
261 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●2
23 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 9 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 3.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 33 Tore geschossen. Zum Finale kamen 122 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Noah ist um 7:03 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Noah auf den nächsten Bus 100?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 7:08 Uhr.
Von 7:03 bis 7:08 Uhr sind es 5 Minuten.

Der nächste fährt um 7:08 Uhr.
Von 7:03 bis 7:08 Uhr sind es 5 Minuten.

Ergebnis:

5 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Der Unterricht beginnt um 7:19 Uhr. Welchen Bus 100 muss Noah spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
So fängst du an:
Ankunft vor 7:19 Uhr: 7:03, 7:13 Uhr.
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:19 Uhr: 7:03, 7:13 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:13 Uhr an.
3. Er fährt um 7:01 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:01 Uhr
●5
Ben ist um 6:43 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Ben auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:56 Uhr.
2. Von 6:43 bis 6:56 Uhr sind es 13 Minuten.
Ergebnis:
13 Minuten
★6
Der Unterricht beginnt um 7:54 Uhr. Welchen Bus X34 muss Can spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:54 Uhr: 7:11, 7:26, 7:41 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:41 Uhr an.
3. Er fährt um 7:18 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:18 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Noah hat 67 Karten. Tim hat 9 Karten mehr als Noah. Wie viele Karten hat Tim?

Schritt für Schritt

Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
67 + 9 = 76

Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
67 + 9 = 76

Ergebnis:

76 Karten

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Aylin hat 68 Murmeln. Ela hat 17 Murmeln weniger als Aylin. Wie viele Murmeln hat Ela?
So fängst du an:
Ela hat weniger: der Streifen von Ela ist kürzer
Lösung zeigen
1. Ela hat weniger: der Streifen von Ela ist kürzer
2. 68 − 17 = 51
Ergebnis:
51 Murmeln
●8
Ben hat 64 Bücher. Ela hat 8 Bücher weniger als Ben. Wie viele Bücher hat Ela?
Lösung zeigen
1. Ela hat weniger: der Streifen von Ela ist kürzer
2. 64 − 8 = 56
Ergebnis:
56 Bücher
★9
Noah hat 869 Sticker. Jonas hat 67 Sticker mehr als Noah. Wie viele Sticker hat Jonas?
Lösung zeigen
1. Jonas hat mehr: der Streifen von Jonas ist länger
2. 869 + 67 = 936
Ergebnis:
936 Sticker

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Emma braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 25 Minuten für den Weg. Wann muss Emma spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 15:51 Uhr.
Noch 25 Minuten früher: 15:26 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 15:51 Uhr.
Noch 25 Minuten früher: 15:26 Uhr.

Ergebnis:

15:26 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Lina braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 28 Minuten für den Weg. Wann muss Lina spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 15:23 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 15:23 Uhr.
2. Noch 28 Minuten früher: 14:55 Uhr.
Ergebnis:
14:55 Uhr
●11
Elias kauft ein Buch für 14 €. Danach bekommt Elias 6 € geschenkt und hat jetzt 23 €. Wie viel Geld hatte Elias am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 23 € − 6 € = 17 €
2. Dann den Kauf: 17 € + 14 € = 31 €
Ergebnis:
31 €
★12
Lina kauft ein Buch für 5 €. Danach bekommt Lina 3 € geschenkt und hat jetzt 14 €. Wie viel Geld hatte Lina am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 14 € − 3 € = 11 €
2. Dann den Kauf: 11 € + 5 € = 16 €
Ergebnis:
16 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 7 Fahrzeuge mit 19 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
2 Fahrräder und 5 Dreiräder: 2 · 2 + 5 · 3 = 19

Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
2 Fahrräder und 5 Dreiräder: 2 · 2 + 5 · 3 = 19

Ergebnis:

5 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 9 Fahrzeuge mit 20 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 5 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 22 Räder.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 22 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 7 Fahrräder und 2 Dreiräder: 7 · 2 + 2 · 3 = 20
Ergebnis:
2 Dreiräder
●14
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere mit 24 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
2. Das passt genau.
3. 4 Hühner und 4 Kaninchen: 4 · 2 + 4 · 4 = 24
Ergebnis:
4 Kaninchen
★15
Auf einem Hof zählt Noah 10 Tiere und 32 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 4 Hühner und 6 Kaninchen: 4 · 2 + 6 · 4 = 32
Ergebnis:
4 Hühner, 6 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Eine Saftflasche kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 6 Flaschen kostet 6,60 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Flaschen braucht?

Schritt für Schritt

6 einzeln: 6 · 1,20 € = 7,20 €
Packung: 6,60 €
Die Packung ist günstiger.

6 einzeln: 6 · 1,20 € = 7,20 €
Packung: 6,60 €
Die Packung ist günstiger.

Ergebnis:

die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
2. Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,33 €
●17
Eine Saftflasche kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 4 Flaschen kostet 5,70 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
2. Packung: 5,70 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Eine Fahrt kostet 3,50 €. Eine Monatskarte kostet 58,00 €. Milan fährt im Monat 16-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 16 · 3,50 € = 56,00 €
2. Monatskarte: 58,00 €
3. Einzeln ist günstiger: Die Karte lohnt sich nicht.
Ergebnis:
Nein

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 3 Kästen liegen je 9 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?

Schritt für Schritt

3 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
3 · 9 = 27

3 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
3 · 9 = 27

Ergebnis:

27 Murmeln

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 5 Kästen liegen je 9 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
So fängst du an:
5 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 5 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
2. 5 · 9 = 45
Ergebnis:
45 Murmeln
●20
In 5 Kästen liegen je 6 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 5 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
2. 5 · 6 = 30
Ergebnis:
30 Murmeln
★21
147 Karten werden gleichmäßig auf 7 Kästen verteilt. Wie viele Karten kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 147, 7 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 147 : 7 = 21
Ergebnis:
21 Karten

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Lina hat 77 Karten, Aylin hat 28 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
77 + 28 = 105

Zwei Teile, gesucht das Ganze
77 + 28 = 105

Ergebnis:

105 Karten

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Jonas hat 34 Karten, Noah hat 35 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 34 + 35 = 69
Ergebnis:
69 Karten
●23
Ela hat 25 Murmeln, Lina hat 54 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 25 + 54 = 79
Ergebnis:
79 Murmeln
★24
Tim und Mia haben zusammen 442 Bücher. Tim hat 176 Bücher. Wie viele Bücher hat Mia?
Lösung zeigen
1. Ganzes 442, ein Teil 176, gesucht der andere Teil
2. 442 − 176 = 266
Ergebnis:
266 Bücher

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die 5b fährt mit 26 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 105 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 26 Kinder und 5 € je Karte.
2. 26 · 5 € = 130 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
130 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●26
In der Klasse sind 24 Kinder. Sie spielen in 4 Teams. Wie viele Tore fallen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. Über Tore steht nichts im Text.
2. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Lea ist um 6:49 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lea auf den nächsten Bus X34?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:06 Uhr.
2. Von 6:49 bis 7:06 Uhr sind es 17 Minuten.
Ergebnis:
17 Minuten
●28
Entlang eines Weges stehen 9 Laternen im Abstand von 5 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 9 Laternen haben 8 Abstände dazwischen.
2. 8 · 5 m = 40 m
Ergebnis:
40 m
●29
Im Kino sitzt Paul auf Platz 5 von links. Zwischen Paul und Emma sitzen 3 Kinder, Emma sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Emma?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 5 ist Paul, dann 3 Plätze dazwischen.
2. 5 + 3 + 1 = 9
Ergebnis:
Platz 9
●30
Milan kauft ein Buch für 6 €. Danach bekommt Milan 3 € geschenkt und hat jetzt 25 €. Wie viel Geld hatte Milan am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 25 € − 3 € = 22 €
2. Dann den Kauf: 22 € + 6 € = 28 €
Ergebnis:
28 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
29 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 14 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 7:55 Uhr. Welchen Bus 100 muss Emma spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 7:38 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Jonas hat 69 Karten. Aylin hat 14 Karten mehr als Jonas. Wie viele Karten hat Aylin?
Lösung zeigen
Ergebnis:
83 Karten
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Noah kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Noah 9 € geschenkt und hat jetzt 22 €. Wie viel Geld hatte Noah am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
20 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 9 Fahrzeuge mit 26 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
8 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 10 Riegeln kostet 14,40 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Riegel braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
die Packung
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 6 Kästen liegen je 4 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
24 Bücher
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Ben hat 63 Sticker, Tim hat 45 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
108 Sticker

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

261 €, die Filmdauer brauche ich nicht
Der Preis für Erwachsene fehlt
Die Tore im Finale fehlen
den um 7:01 Uhr
13 Minuten
den um 7:18 Uhr
51 Murmeln
56 Bücher
936 Sticker
14:55 Uhr
31 €
16 €
2 Dreiräder
4 Kaninchen
4 Hühner, 6 Kaninchen
1,33 €
die Packung
Nein
45 Murmeln
30 Murmeln
21 Karten
69 Karten
79 Murmeln
266 Bücher
130 €, die Filmdauer brauche ich nicht
nicht lösbar
17 Minuten
40 m
Platz 9
28 €
Der Preis für Erwachsene fehlt
den um 7:38 Uhr
83 Karten
20 €
8 Dreiräder
die Packung
24 Bücher
108 Sticker
11:15 Uhr
5.000 m

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 10:30 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 45 min = 0 h 45 min
2. 10:30 + 0:45 = 11:15 Uhr
Ergebnis:
11:15 Uhr
●40
Rechne um: 5 km in m.
Lösung zeigen
1. 1 km = 1.000 m
2. 5 · 1.000 = 5.000 m
Ergebnis:
5.000 m

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 35 Tore geschossen. Zum Finale kamen 390 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 11 Spiele.
15 − 11 = 4
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Gebraucht: 11 Spiele.
15 − 11 = 4
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Ergebnis:

4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 29 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 105 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 29 Kinder und 9 € je Karte.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 29 Kinder und 9 € je Karte.
2. 29 · 9 € = 261 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
261 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●2
23 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 9 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 3.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 33 Tore geschossen. Zum Finale kamen 122 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Noah ist um 7:03 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Noah auf den nächsten Bus 100?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 7:08 Uhr.
Von 7:03 bis 7:08 Uhr sind es 5 Minuten.

Der nächste fährt um 7:08 Uhr.
Von 7:03 bis 7:08 Uhr sind es 5 Minuten.

Ergebnis:

5 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Der Unterricht beginnt um 7:19 Uhr. Welchen Bus 100 muss Noah spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
So fängst du an:
Ankunft vor 7:19 Uhr: 7:03, 7:13 Uhr.
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:19 Uhr: 7:03, 7:13 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:13 Uhr an.
3. Er fährt um 7:01 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:01 Uhr
●5
Ben ist um 6:43 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Ben auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:56 Uhr.
2. Von 6:43 bis 6:56 Uhr sind es 13 Minuten.
Ergebnis:
13 Minuten
★6
Der Unterricht beginnt um 7:54 Uhr. Welchen Bus X34 muss Can spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:54 Uhr: 7:11, 7:26, 7:41 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:41 Uhr an.
3. Er fährt um 7:18 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:18 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Noah hat 67 Karten. Tim hat 9 Karten mehr als Noah. Wie viele Karten hat Tim?

Schritt für Schritt

Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
67 + 9 = 76

Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
67 + 9 = 76

Ergebnis:

76 Karten

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Aylin hat 68 Murmeln. Ela hat 17 Murmeln weniger als Aylin. Wie viele Murmeln hat Ela?
So fängst du an:
Ela hat weniger: der Streifen von Ela ist kürzer
Lösung zeigen
1. Ela hat weniger: der Streifen von Ela ist kürzer
2. 68 − 17 = 51
Ergebnis:
51 Murmeln
●8
Ben hat 64 Bücher. Ela hat 8 Bücher weniger als Ben. Wie viele Bücher hat Ela?
Lösung zeigen
1. Ela hat weniger: der Streifen von Ela ist kürzer
2. 64 − 8 = 56
Ergebnis:
56 Bücher
★9
Noah hat 869 Sticker. Jonas hat 67 Sticker mehr als Noah. Wie viele Sticker hat Jonas?
Lösung zeigen
1. Jonas hat mehr: der Streifen von Jonas ist länger
2. 869 + 67 = 936
Ergebnis:
936 Sticker

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Emma braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 25 Minuten für den Weg. Wann muss Emma spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 15:51 Uhr.
Noch 25 Minuten früher: 15:26 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 15:51 Uhr.
Noch 25 Minuten früher: 15:26 Uhr.

Ergebnis:

15:26 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Lina braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 28 Minuten für den Weg. Wann muss Lina spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 15:23 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 15:23 Uhr.
2. Noch 28 Minuten früher: 14:55 Uhr.
Ergebnis:
14:55 Uhr
●11
Elias kauft ein Buch für 14 €. Danach bekommt Elias 6 € geschenkt und hat jetzt 23 €. Wie viel Geld hatte Elias am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 23 € − 6 € = 17 €
2. Dann den Kauf: 17 € + 14 € = 31 €
Ergebnis:
31 €
★12
Lina kauft ein Buch für 5 €. Danach bekommt Lina 3 € geschenkt und hat jetzt 14 €. Wie viel Geld hatte Lina am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 14 € − 3 € = 11 €
2. Dann den Kauf: 11 € + 5 € = 16 €
Ergebnis:
16 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 7 Fahrzeuge mit 19 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
2 Fahrräder und 5 Dreiräder: 2 · 2 + 5 · 3 = 19

Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
2 Fahrräder und 5 Dreiräder: 2 · 2 + 5 · 3 = 19

Ergebnis:

5 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 9 Fahrzeuge mit 20 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 5 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 22 Räder.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 22 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 7 Fahrräder und 2 Dreiräder: 7 · 2 + 2 · 3 = 20
Ergebnis:
2 Dreiräder
●14
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere mit 24 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
2. Das passt genau.
3. 4 Hühner und 4 Kaninchen: 4 · 2 + 4 · 4 = 24
Ergebnis:
4 Kaninchen
★15
Auf einem Hof zählt Noah 10 Tiere und 32 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 4 Hühner und 6 Kaninchen: 4 · 2 + 6 · 4 = 32
Ergebnis:
4 Hühner, 6 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Eine Saftflasche kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 6 Flaschen kostet 6,60 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Flaschen braucht?

Schritt für Schritt

6 einzeln: 6 · 1,20 € = 7,20 €
Packung: 6,60 €
Die Packung ist günstiger.

6 einzeln: 6 · 1,20 € = 7,20 €
Packung: 6,60 €
Die Packung ist günstiger.

Ergebnis:

die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
2. Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,33 €
●17
Eine Saftflasche kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 4 Flaschen kostet 5,70 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
2. Packung: 5,70 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Eine Fahrt kostet 3,50 €. Eine Monatskarte kostet 58,00 €. Milan fährt im Monat 16-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 16 · 3,50 € = 56,00 €
2. Monatskarte: 58,00 €
3. Einzeln ist günstiger: Die Karte lohnt sich nicht.
Ergebnis:
Nein

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 3 Kästen liegen je 9 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?

Schritt für Schritt

3 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
3 · 9 = 27

3 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
3 · 9 = 27

Ergebnis:

27 Murmeln

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 5 Kästen liegen je 9 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
So fängst du an:
5 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 5 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
2. 5 · 9 = 45
Ergebnis:
45 Murmeln
●20
In 5 Kästen liegen je 6 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 5 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
2. 5 · 6 = 30
Ergebnis:
30 Murmeln
★21
147 Karten werden gleichmäßig auf 7 Kästen verteilt. Wie viele Karten kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 147, 7 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 147 : 7 = 21
Ergebnis:
21 Karten

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Lina hat 77 Karten, Aylin hat 28 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
77 + 28 = 105

Zwei Teile, gesucht das Ganze
77 + 28 = 105

Ergebnis:

105 Karten

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Jonas hat 34 Karten, Noah hat 35 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 34 + 35 = 69
Ergebnis:
69 Karten
●23
Ela hat 25 Murmeln, Lina hat 54 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 25 + 54 = 79
Ergebnis:
79 Murmeln
★24
Tim und Mia haben zusammen 442 Bücher. Tim hat 176 Bücher. Wie viele Bücher hat Mia?
Lösung zeigen
1. Ganzes 442, ein Teil 176, gesucht der andere Teil
2. 442 − 176 = 266
Ergebnis:
266 Bücher

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die 5b fährt mit 26 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 105 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 26 Kinder und 5 € je Karte.
2. 26 · 5 € = 130 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
130 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●26
In der Klasse sind 24 Kinder. Sie spielen in 4 Teams. Wie viele Tore fallen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. Über Tore steht nichts im Text.
2. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Lea ist um 6:49 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lea auf den nächsten Bus X34?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:06 Uhr.
2. Von 6:49 bis 7:06 Uhr sind es 17 Minuten.
Ergebnis:
17 Minuten
●28
Entlang eines Weges stehen 9 Laternen im Abstand von 5 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 9 Laternen haben 8 Abstände dazwischen.
2. 8 · 5 m = 40 m
Ergebnis:
40 m
●29
Im Kino sitzt Paul auf Platz 5 von links. Zwischen Paul und Emma sitzen 3 Kinder, Emma sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Emma?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 5 ist Paul, dann 3 Plätze dazwischen.
2. 5 + 3 + 1 = 9
Ergebnis:
Platz 9
●30
Milan kauft ein Buch für 6 €. Danach bekommt Milan 3 € geschenkt und hat jetzt 25 €. Wie viel Geld hatte Milan am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 25 € − 3 € = 22 €
2. Dann den Kauf: 22 € + 6 € = 28 €
Ergebnis:
28 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
29 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 14 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 7:55 Uhr. Welchen Bus 100 muss Emma spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 7:38 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Jonas hat 69 Karten. Aylin hat 14 Karten mehr als Jonas. Wie viele Karten hat Aylin?
Lösung zeigen
Ergebnis:
83 Karten
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Noah kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Noah 9 € geschenkt und hat jetzt 22 €. Wie viel Geld hatte Noah am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
20 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 9 Fahrzeuge mit 26 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
8 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 10 Riegeln kostet 14,40 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Riegel braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
die Packung
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 6 Kästen liegen je 4 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
24 Bücher
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Ben hat 63 Sticker, Tim hat 45 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
108 Sticker

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

261 €, die Filmdauer brauche ich nicht
Der Preis für Erwachsene fehlt
Die Tore im Finale fehlen
den um 7:01 Uhr
13 Minuten
den um 7:18 Uhr
51 Murmeln
56 Bücher
936 Sticker
14:55 Uhr
31 €
16 €
2 Dreiräder
4 Kaninchen
4 Hühner, 6 Kaninchen
1,33 €
die Packung
Nein
45 Murmeln
30 Murmeln
21 Karten
69 Karten
79 Murmeln
266 Bücher
130 €, die Filmdauer brauche ich nicht
nicht lösbar
17 Minuten
40 m
Platz 9
28 €
Der Preis für Erwachsene fehlt
den um 7:38 Uhr
83 Karten
20 €
8 Dreiräder
die Packung
24 Bücher
108 Sticker
11:15 Uhr
5.000 m