Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 9:00 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 45 min = 0 h 45 min
2. 9:00 + 0:45 = 9:45 Uhr
Ergebnis:
9:45 Uhr
●40
Rechne um: 2 kg in g.
Lösung zeigen
1. 1 kg = 1.000 g
2. 2 · 1.000 = 2.000 g
Ergebnis:
2.000 g

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 19 Tore geschossen. Zum Finale kamen 211 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.

Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.

Ergebnis:

Die Tore im Finale fehlen

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 28 Kinder und 9 € je Karte.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 28 Kinder und 9 € je Karte.
2. 28 · 9 € = 252 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
252 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●2
Die 5b fährt mit 25 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 110 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 25 Kinder und 6 € je Karte.
2. 25 · 6 € = 150 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
150 €, die Filmdauer brauche ich nicht
★3
Die 5b fährt mit 27 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 105 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 27 Kinder und 7 € je Karte.
2. 27 · 7 € = 189 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
189 €, die Filmdauer brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.

Schritt für Schritt

Zum Beispiel: ab 6:39 Uhr, an 6:54 Uhr.
Von 6:39 bis 6:54 Uhr sind es 15 Minuten.

Zum Beispiel: ab 6:39 Uhr, an 6:54 Uhr.
Von 6:39 bis 6:54 Uhr sind es 15 Minuten.

Ergebnis:

15 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Der Unterricht beginnt um 7:27 Uhr. Welchen Bus 100 muss Sofia spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
So fängst du an:
Ankunft vor 7:27 Uhr: 7:06, 7:16, 7:26 Uhr.
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:27 Uhr: 7:06, 7:16, 7:26 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:26 Uhr an.
3. Er fährt um 7:11 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:11 Uhr
●5
Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:38 Uhr, an 6:51 Uhr.
2. Von 6:38 bis 6:51 Uhr sind es 13 Minuten.
Ergebnis:
13 Minuten
★6
Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:39 Uhr, an 7:07 Uhr.
2. Von 6:39 bis 7:07 Uhr sind es 28 Minuten.
Ergebnis:
28 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Ben hat 75 Murmeln. Tim hat 25 Murmeln mehr als Ben. Wie viele Murmeln hat Tim?

Schritt für Schritt

Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
75 + 25 = 100

Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
75 + 25 = 100

Ergebnis:

100 Murmeln

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Jonas hat 63 Murmeln. Lina hat 23 Murmeln weniger als Jonas. Wie viele Murmeln hat Lina?
So fängst du an:
Lina hat weniger: der Streifen von Lina ist kürzer
Lösung zeigen
1. Lina hat weniger: der Streifen von Lina ist kürzer
2. 63 − 23 = 40
Ergebnis:
40 Murmeln
●8
Noah hat 71 Sticker. Ben hat 16 Sticker mehr als Noah. Wie viele Sticker hat Ben?
Lösung zeigen
1. Ben hat mehr: der Streifen von Ben ist länger
2. 71 + 16 = 87
Ergebnis:
87 Sticker
★9
Ben hat 439 Karten. Mia hat 58 Karten mehr als Ben. Wie viele Karten hat Mia?
Lösung zeigen
1. Mia hat mehr: der Streifen von Mia ist länger
2. 439 + 58 = 497
Ergebnis:
497 Karten

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Tom kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Tom 6 € geschenkt und hat jetzt 21 €. Wie viel Geld hatte Tom am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 21 € − 6 € = 15 €
Dann den Kauf: 15 € + 7 € = 22 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 21 € − 6 € = 15 €
Dann den Kauf: 15 € + 7 € = 22 €

Ergebnis:

22 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Zeynep kauft ein Buch für 13 €. Danach bekommt Zeynep 4 € geschenkt und hat jetzt 18 €. Wie viel Geld hatte Zeynep am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 18 € − 4 € = 14 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 18 € − 4 € = 14 €
2. Dann den Kauf: 14 € + 13 € = 27 €
Ergebnis:
27 €
●11
Noah kauft ein Buch für 18 €. Danach bekommt Noah 4 € geschenkt und hat jetzt 10 €. Wie viel Geld hatte Noah am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 10 € − 4 € = 6 €
2. Dann den Kauf: 6 € + 18 € = 24 €
Ergebnis:
24 €
★12
Emma verschenkt 4 Sammelkarten. Dann verdoppelt sich die Sammlung durch ein Tauschspiel, und zuletzt kauft Emma noch 10 Karten dazu. Jetzt sind es 52. Wie viele Karten waren es am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts: 52 − 10 = 42
2. Verdoppeln rückgängig: 42 : 2 = 21
3. Verschenken rückgängig: 21 + 4 = 25
Ergebnis:
25 Karten

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof zählt Elias 6 Tiere und 18 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
Das passt genau.
3 Hühner und 3 Kaninchen: 3 · 2 + 3 · 4 = 18

Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
Das passt genau.
3 Hühner und 3 Kaninchen: 3 · 2 + 3 · 4 = 18

Ergebnis:

3 Hühner, 3 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 7 Tische mit 30 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 6 Vierertische und 1 Sechsertisch: 6 · 4 + 1 · 6 = 30
Ergebnis:
1 Sechsertisch
●14
Auf einem Hof zählt Lina 10 Tiere und 32 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 4 Hühner und 6 Kaninchen: 4 · 2 + 6 · 4 = 32
Ergebnis:
4 Hühner, 6 Kaninchen
★15
Auf einem Hof zählt Paul 14 Tiere und 40 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 7 Hühner und 7 Kaninchen ergeben 42 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 8 Hühner und 6 Kaninchen: 8 · 2 + 6 · 4 = 40
Ergebnis:
8 Hühner, 6 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Tennisball kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 10 Bällen kostet 17,40 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bälle braucht?

Schritt für Schritt

10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
Packung: 17,40 €
Die Packung ist günstiger.

10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
Packung: 17,40 €
Die Packung ist günstiger.

Ergebnis:

die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
Ergebnis:
1,00 €
★18
Eine Fahrt kostet 2,80 €. Eine Monatskarte kostet 58,00 €. Can fährt im Monat 11-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 11 · 2,80 € = 30,80 €
2. Monatskarte: 58,00 €
3. Einzeln ist günstiger: Die Karte lohnt sich nicht.
Ergebnis:
Nein

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 6 Kästen liegen je 9 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?

Schritt für Schritt

6 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
6 · 9 = 54

6 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
6 · 9 = 54

Ergebnis:

54 Bücher

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 6 Kästen liegen je 6 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
So fängst du an:
6 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 6 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
2. 6 · 6 = 36
Ergebnis:
36 Karten
●20
In 8 Kästen liegen je 9 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 8 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
2. 8 · 9 = 72
Ergebnis:
72 Sticker
★21
528 Bücher werden gleichmäßig auf 12 Kästen verteilt. Wie viele Bücher kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 528, 12 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 528 : 12 = 44
Ergebnis:
44 Bücher

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Mia hat 73 Karten, Aylin hat 60 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
73 + 60 = 133

Zwei Teile, gesucht das Ganze
73 + 60 = 133

Ergebnis:

133 Karten

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Aylin hat 66 Bücher, Ela hat 31 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 66 + 31 = 97
Ergebnis:
97 Bücher
●23
Tim hat 28 Murmeln, Mia hat 25 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 28 + 25 = 53
Ergebnis:
53 Murmeln
★24
Tim und Mia haben zusammen 775 Sticker. Tim hat 343 Sticker. Wie viele Sticker hat Mia?
Lösung zeigen
1. Ganzes 775, ein Teil 343, gesucht der andere Teil
2. 775 − 343 = 432
Ergebnis:
432 Sticker

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 110 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 110 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
●26
Ein Regal hat 3 Böden mit je 5 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viele Bücher stehen im Regal? B: Wie viel kostet ein Buch? C: Wie viele Seiten hat das dickste Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 3 · 5 = 15.
3. Richtig ist A.
Ergebnis:
A, 15 Bücher
●27
Der Unterricht beginnt um 7:42 Uhr. Welchen Bus X34 muss Tom spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:42 Uhr: 7:01, 7:16, 7:31 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:31 Uhr an.
3. Er fährt um 7:13 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:13 Uhr
●28
An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Milan sagt: „15 m Zaun mit einem Pfahl alle 3 m braucht 5 Pfähle.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. 15 : 3 = 5 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 6.
Ergebnis:
Nein, 6 Pfähle
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Hanna an 7. Stelle von vorn und an 8. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 6 Kinder, dann Hanna, dahinter 7 Kinder.
2. 6 + 1 + 7 = 14
Ergebnis:
14 Kinder
●30
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Zeynep braucht 12 Minuten zum Umziehen und davor 24 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 12 Minuten früher ist 15:18 Uhr.
2. Noch 24 Minuten früher: 14:54 Uhr.
Ergebnis:
14:54 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die 5b fährt mit 27 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 4 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
108 €, die Filmdauer brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Lina ist um 6:45 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lina auf den nächsten Bus M29?
Lösung zeigen
Ergebnis:
14 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Jonas hat 55 Karten. Aylin hat 17 Karten weniger als Jonas. Wie viele Karten hat Aylin?
Lösung zeigen
Ergebnis:
38 Karten
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Aylin braucht 11 Minuten zum Umziehen und davor 20 Minuten für den Weg. Wann muss Aylin spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
14:59 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 5 Tiere mit 14 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 Kaninchen
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Tennisball kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 10 Bällen kostet 11,00 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bälle braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
die Packung
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 6 Kästen liegen je 7 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
42 Murmeln
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Jonas hat 51 Murmeln, Aylin hat 51 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
102 Murmeln

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

252 €, die Filmdauer brauche ich nicht
150 €, die Filmdauer brauche ich nicht
189 €, die Filmdauer brauche ich nicht
den um 7:11 Uhr
13 Minuten
28 Minuten
40 Murmeln
87 Sticker
497 Karten
27 €
24 €
25 Karten
1 Sechsertisch
4 Hühner, 6 Kaninchen
8 Hühner, 6 Kaninchen
1,67 €
1,00 €
Nein
36 Karten
72 Sticker
44 Bücher
97 Bücher
53 Murmeln
432 Sticker
Der Beginn des Films fehlt
A, 15 Bücher
den um 7:13 Uhr
Nein, 6 Pfähle
14 Kinder
14:54 Uhr
108 €, die Filmdauer brauche ich nicht
14 Minuten
38 Karten
14:59 Uhr
2 Kaninchen
die Packung
42 Murmeln
102 Murmeln
9:45 Uhr
2.000 g

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 9:00 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 45 min = 0 h 45 min
2. 9:00 + 0:45 = 9:45 Uhr
Ergebnis:
9:45 Uhr
●40
Rechne um: 2 kg in g.
Lösung zeigen
1. 1 kg = 1.000 g
2. 2 · 1.000 = 2.000 g
Ergebnis:
2.000 g

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 19 Tore geschossen. Zum Finale kamen 211 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.

Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.

Ergebnis:

Die Tore im Finale fehlen

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 28 Kinder und 9 € je Karte.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 28 Kinder und 9 € je Karte.
2. 28 · 9 € = 252 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
252 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●2
Die 5b fährt mit 25 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 110 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 25 Kinder und 6 € je Karte.
2. 25 · 6 € = 150 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
150 €, die Filmdauer brauche ich nicht
★3
Die 5b fährt mit 27 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 105 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 27 Kinder und 7 € je Karte.
2. 27 · 7 € = 189 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
189 €, die Filmdauer brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.

Schritt für Schritt

Zum Beispiel: ab 6:39 Uhr, an 6:54 Uhr.
Von 6:39 bis 6:54 Uhr sind es 15 Minuten.

Zum Beispiel: ab 6:39 Uhr, an 6:54 Uhr.
Von 6:39 bis 6:54 Uhr sind es 15 Minuten.

Ergebnis:

15 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Der Unterricht beginnt um 7:27 Uhr. Welchen Bus 100 muss Sofia spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
So fängst du an:
Ankunft vor 7:27 Uhr: 7:06, 7:16, 7:26 Uhr.
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:27 Uhr: 7:06, 7:16, 7:26 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:26 Uhr an.
3. Er fährt um 7:11 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:11 Uhr
●5
Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:38 Uhr, an 6:51 Uhr.
2. Von 6:38 bis 6:51 Uhr sind es 13 Minuten.
Ergebnis:
13 Minuten
★6
Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:39 Uhr, an 7:07 Uhr.
2. Von 6:39 bis 7:07 Uhr sind es 28 Minuten.
Ergebnis:
28 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Ben hat 75 Murmeln. Tim hat 25 Murmeln mehr als Ben. Wie viele Murmeln hat Tim?

Schritt für Schritt

Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
75 + 25 = 100

Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
75 + 25 = 100

Ergebnis:

100 Murmeln

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Jonas hat 63 Murmeln. Lina hat 23 Murmeln weniger als Jonas. Wie viele Murmeln hat Lina?
So fängst du an:
Lina hat weniger: der Streifen von Lina ist kürzer
Lösung zeigen
1. Lina hat weniger: der Streifen von Lina ist kürzer
2. 63 − 23 = 40
Ergebnis:
40 Murmeln
●8
Noah hat 71 Sticker. Ben hat 16 Sticker mehr als Noah. Wie viele Sticker hat Ben?
Lösung zeigen
1. Ben hat mehr: der Streifen von Ben ist länger
2. 71 + 16 = 87
Ergebnis:
87 Sticker
★9
Ben hat 439 Karten. Mia hat 58 Karten mehr als Ben. Wie viele Karten hat Mia?
Lösung zeigen
1. Mia hat mehr: der Streifen von Mia ist länger
2. 439 + 58 = 497
Ergebnis:
497 Karten

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Tom kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Tom 6 € geschenkt und hat jetzt 21 €. Wie viel Geld hatte Tom am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 21 € − 6 € = 15 €
Dann den Kauf: 15 € + 7 € = 22 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 21 € − 6 € = 15 €
Dann den Kauf: 15 € + 7 € = 22 €

Ergebnis:

22 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Zeynep kauft ein Buch für 13 €. Danach bekommt Zeynep 4 € geschenkt und hat jetzt 18 €. Wie viel Geld hatte Zeynep am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 18 € − 4 € = 14 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 18 € − 4 € = 14 €
2. Dann den Kauf: 14 € + 13 € = 27 €
Ergebnis:
27 €
●11
Noah kauft ein Buch für 18 €. Danach bekommt Noah 4 € geschenkt und hat jetzt 10 €. Wie viel Geld hatte Noah am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 10 € − 4 € = 6 €
2. Dann den Kauf: 6 € + 18 € = 24 €
Ergebnis:
24 €
★12
Emma verschenkt 4 Sammelkarten. Dann verdoppelt sich die Sammlung durch ein Tauschspiel, und zuletzt kauft Emma noch 10 Karten dazu. Jetzt sind es 52. Wie viele Karten waren es am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts: 52 − 10 = 42
2. Verdoppeln rückgängig: 42 : 2 = 21
3. Verschenken rückgängig: 21 + 4 = 25
Ergebnis:
25 Karten

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof zählt Elias 6 Tiere und 18 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
Das passt genau.
3 Hühner und 3 Kaninchen: 3 · 2 + 3 · 4 = 18

Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
Das passt genau.
3 Hühner und 3 Kaninchen: 3 · 2 + 3 · 4 = 18

Ergebnis:

3 Hühner, 3 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 7 Tische mit 30 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 6 Vierertische und 1 Sechsertisch: 6 · 4 + 1 · 6 = 30
Ergebnis:
1 Sechsertisch
●14
Auf einem Hof zählt Lina 10 Tiere und 32 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 4 Hühner und 6 Kaninchen: 4 · 2 + 6 · 4 = 32
Ergebnis:
4 Hühner, 6 Kaninchen
★15
Auf einem Hof zählt Paul 14 Tiere und 40 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 7 Hühner und 7 Kaninchen ergeben 42 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 8 Hühner und 6 Kaninchen: 8 · 2 + 6 · 4 = 40
Ergebnis:
8 Hühner, 6 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Tennisball kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 10 Bällen kostet 17,40 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bälle braucht?

Schritt für Schritt

10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
Packung: 17,40 €
Die Packung ist günstiger.

10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
Packung: 17,40 €
Die Packung ist günstiger.

Ergebnis:

die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
Ergebnis:
1,00 €
★18
Eine Fahrt kostet 2,80 €. Eine Monatskarte kostet 58,00 €. Can fährt im Monat 11-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 11 · 2,80 € = 30,80 €
2. Monatskarte: 58,00 €
3. Einzeln ist günstiger: Die Karte lohnt sich nicht.
Ergebnis:
Nein

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 6 Kästen liegen je 9 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?

Schritt für Schritt

6 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
6 · 9 = 54

6 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
6 · 9 = 54

Ergebnis:

54 Bücher

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 6 Kästen liegen je 6 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
So fängst du an:
6 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 6 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
2. 6 · 6 = 36
Ergebnis:
36 Karten
●20
In 8 Kästen liegen je 9 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 8 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
2. 8 · 9 = 72
Ergebnis:
72 Sticker
★21
528 Bücher werden gleichmäßig auf 12 Kästen verteilt. Wie viele Bücher kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 528, 12 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 528 : 12 = 44
Ergebnis:
44 Bücher

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Mia hat 73 Karten, Aylin hat 60 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
73 + 60 = 133

Zwei Teile, gesucht das Ganze
73 + 60 = 133

Ergebnis:

133 Karten

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Aylin hat 66 Bücher, Ela hat 31 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 66 + 31 = 97
Ergebnis:
97 Bücher
●23
Tim hat 28 Murmeln, Mia hat 25 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 28 + 25 = 53
Ergebnis:
53 Murmeln
★24
Tim und Mia haben zusammen 775 Sticker. Tim hat 343 Sticker. Wie viele Sticker hat Mia?
Lösung zeigen
1. Ganzes 775, ein Teil 343, gesucht der andere Teil
2. 775 − 343 = 432
Ergebnis:
432 Sticker

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 110 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 110 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
●26
Ein Regal hat 3 Böden mit je 5 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viele Bücher stehen im Regal? B: Wie viel kostet ein Buch? C: Wie viele Seiten hat das dickste Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 3 · 5 = 15.
3. Richtig ist A.
Ergebnis:
A, 15 Bücher
●27
Der Unterricht beginnt um 7:42 Uhr. Welchen Bus X34 muss Tom spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:42 Uhr: 7:01, 7:16, 7:31 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:31 Uhr an.
3. Er fährt um 7:13 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:13 Uhr
●28
An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Milan sagt: „15 m Zaun mit einem Pfahl alle 3 m braucht 5 Pfähle.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. 15 : 3 = 5 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 6.
Ergebnis:
Nein, 6 Pfähle
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Hanna an 7. Stelle von vorn und an 8. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 6 Kinder, dann Hanna, dahinter 7 Kinder.
2. 6 + 1 + 7 = 14
Ergebnis:
14 Kinder
●30
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Zeynep braucht 12 Minuten zum Umziehen und davor 24 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 12 Minuten früher ist 15:18 Uhr.
2. Noch 24 Minuten früher: 14:54 Uhr.
Ergebnis:
14:54 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die 5b fährt mit 27 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 4 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
108 €, die Filmdauer brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Lina ist um 6:45 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lina auf den nächsten Bus M29?
Lösung zeigen
Ergebnis:
14 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Jonas hat 55 Karten. Aylin hat 17 Karten weniger als Jonas. Wie viele Karten hat Aylin?
Lösung zeigen
Ergebnis:
38 Karten
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Aylin braucht 11 Minuten zum Umziehen und davor 20 Minuten für den Weg. Wann muss Aylin spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
14:59 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 5 Tiere mit 14 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 Kaninchen
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Tennisball kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 10 Bällen kostet 11,00 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bälle braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
die Packung
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 6 Kästen liegen je 7 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
42 Murmeln
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Jonas hat 51 Murmeln, Aylin hat 51 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
102 Murmeln

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

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Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

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Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

252 €, die Filmdauer brauche ich nicht
150 €, die Filmdauer brauche ich nicht
189 €, die Filmdauer brauche ich nicht
den um 7:11 Uhr
13 Minuten
28 Minuten
40 Murmeln
87 Sticker
497 Karten
27 €
24 €
25 Karten
1 Sechsertisch
4 Hühner, 6 Kaninchen
8 Hühner, 6 Kaninchen
1,67 €
1,00 €
Nein
36 Karten
72 Sticker
44 Bücher
97 Bücher
53 Murmeln
432 Sticker
Der Beginn des Films fehlt
A, 15 Bücher
den um 7:13 Uhr
Nein, 6 Pfähle
14 Kinder
14:54 Uhr
108 €, die Filmdauer brauche ich nicht
14 Minuten
38 Karten
14:59 Uhr
2 Kaninchen
die Packung
42 Murmeln
102 Murmeln
9:45 Uhr
2.000 g