Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:15 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 8:15 + 1:00 = 9:15 Uhr
Ergebnis:
9:15 Uhr
●40
Rechne um: 3 kg in g.
Lösung zeigen
1. 1 kg = 1.000 g
2. 3 · 1.000 = 3.000 g
Ergebnis:
3.000 g

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 26 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 26 Kinder und 7 € je Karte.
26 · 7 € = 182 €
Nicht gebraucht: die Filmdauer.

Gebraucht: 26 Kinder und 7 € je Karte.
26 · 7 € = 182 €
Nicht gebraucht: die Filmdauer.

Ergebnis:

182 €, die Filmdauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 30 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 95 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 30 Kinder und 7 € je Karte.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 30 Kinder und 7 € je Karte.
2. 30 · 7 € = 210 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
210 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●2
28 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 7 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 14 Tore geschossen. Zum Finale kamen 129 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 11 Spiele.
2. 15 − 11 = 4
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Zeynep ist um 6:57 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Zeynep auf den nächsten Bus X34?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 7:00 Uhr.
Von 6:57 bis 7:00 Uhr sind es 3 Minuten.

Der nächste fährt um 7:00 Uhr.
Von 6:57 bis 7:00 Uhr sind es 3 Minuten.

Ergebnis:

3 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Noah ist um 6:50 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Noah auf den nächsten Bus X34?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 6:58 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:58 Uhr.
2. Von 6:50 bis 6:58 Uhr sind es 8 Minuten.
Ergebnis:
8 Minuten
●5
Der Unterricht beginnt um 8:13 Uhr. Welchen Bus X34 muss Lina spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 8:13 Uhr: 7:11, 7:31, 7:51, 8:11 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 8:11 Uhr an.
3. Er fährt um 7:52 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:52 Uhr
★6
Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:50 Uhr, an 7:16 Uhr.
2. Von 6:50 bis 7:16 Uhr sind es 26 Minuten.
Ergebnis:
26 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Lina hat 88 Murmeln. Ela hat 9 Murmeln mehr als Lina. Wie viele Murmeln hat Ela?

Schritt für Schritt

Ela hat mehr: der Streifen von Ela ist länger
88 + 9 = 97

Ela hat mehr: der Streifen von Ela ist länger
88 + 9 = 97

Ergebnis:

97 Murmeln

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Jonas hat 60 Bücher. Noah hat 19 Bücher mehr als Jonas. Wie viele Bücher hat Noah?
So fängst du an:
Noah hat mehr: der Streifen von Noah ist länger
Lösung zeigen
1. Noah hat mehr: der Streifen von Noah ist länger
2. 60 + 19 = 79
Ergebnis:
79 Bücher
●8
Ben hat 48 Sticker. Lina hat 6 Sticker mehr als Ben. Wie viele Sticker hat Lina?
Lösung zeigen
1. Lina hat mehr: der Streifen von Lina ist länger
2. 48 + 6 = 54
Ergebnis:
54 Sticker
★9
Noah hat 592 Murmeln, Jonas hat 450 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Noah mehr?
Lösung zeigen
1. Der Unterschied ist der Rest zwischen den Streifen
2. 592 − 450 = 142
Ergebnis:
142 Murmeln

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Noah kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Noah 10 € geschenkt und hat jetzt 14 €. Wie viel Geld hatte Noah am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 14 € − 10 € = 4 €
Dann den Kauf: 4 € + 7 € = 11 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 14 € − 10 € = 4 €
Dann den Kauf: 4 € + 7 € = 11 €

Ergebnis:

11 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Can braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 20 Minuten für den Weg. Wann muss Can spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 16:46 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 16:46 Uhr.
2. Noch 20 Minuten früher: 16:26 Uhr.
Ergebnis:
16:26 Uhr
●11
Jonas kauft ein Buch für 9 €. Danach bekommt Jonas 3 € geschenkt und hat jetzt 16 €. Wie viel Geld hatte Jonas am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 16 € − 3 € = 13 €
2. Dann den Kauf: 13 € + 9 € = 22 €
Ergebnis:
22 €
★12
Lina kauft ein Buch für 5 €. Danach bekommt Lina 10 € geschenkt und hat jetzt 21 €. Wie viel Geld hatte Lina am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 21 € − 10 € = 11 €
2. Dann den Kauf: 11 € + 5 € = 16 €
Ergebnis:
16 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof zählt Lea 6 Tiere und 22 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
1 Huhn und 5 Kaninchen: 1 · 2 + 5 · 4 = 22

Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
1 Huhn und 5 Kaninchen: 1 · 2 + 5 · 4 = 22

Ergebnis:

1 Huhn, 5 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof zählt Lina 5 Tiere und 16 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 3 Hühner und 2 Kaninchen ergeben 14 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Hühner und 2 Kaninchen ergeben 14 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 2 Hühner und 3 Kaninchen: 2 · 2 + 3 · 4 = 16
Ergebnis:
2 Hühner, 3 Kaninchen
●14
Im Hof der Kita zählt Milan 5 Fahrzeuge und 13 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 2 Fahrräder und 3 Dreiräder: 2 · 2 + 3 · 3 = 13
Ergebnis:
2 Fahrräder, 3 Dreiräder
★15
Auf einem Hof zählt Milan 20 Tiere und 62 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 10 Hühner und 10 Kaninchen ergeben 60 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 9 Hühner und 11 Kaninchen: 9 · 2 + 11 · 4 = 62
Ergebnis:
9 Hühner, 11 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Eine Saftflasche kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 9,60 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?

Schritt für Schritt

10 einzeln: 10 · 0,90 € = 9,00 €
Packung: 9,60 €
Einzeln ist günstiger.

10 einzeln: 10 · 0,90 € = 9,00 €
Packung: 9,60 €
Einzeln ist günstiger.

Ergebnis:

einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
Ergebnis:
1,00 €
●17
Eine Saftflasche kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 4 Flaschen kostet 6,60 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
2. Packung: 6,60 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
★18
Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 10 Riegeln kostet 11,40 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Riegel braucht?
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 1,20 € = 12,00 €
2. Packung: 11,40 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 5 Kästen liegen je 4 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?

Schritt für Schritt

5 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
5 · 4 = 20

5 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
5 · 4 = 20

Ergebnis:

20 Sticker

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 7 Kästen liegen je 4 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
So fängst du an:
7 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 7 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
2. 7 · 4 = 28
Ergebnis:
28 Sticker
●20
In 3 Kästen liegen je 8 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 3 gleiche Teile zu je 8, gesucht das Ganze
2. 3 · 8 = 24
Ergebnis:
24 Sticker
★21
168 Murmeln werden gleichmäßig auf 6 Kästen verteilt. Wie viele Murmeln kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 168, 6 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 168 : 6 = 28
Ergebnis:
28 Murmeln

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Jonas hat 83 Sticker, Aylin hat 79 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
83 + 79 = 162

Zwei Teile, gesucht das Ganze
83 + 79 = 162

Ergebnis:

162 Sticker

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Ben hat 89 Karten, Lina hat 75 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 89 + 75 = 164
Ergebnis:
164 Karten
●23
Ela hat 38 Karten, Lina hat 37 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 38 + 37 = 75
Ergebnis:
75 Karten
★24
Lina und Jonas haben zusammen 647 Murmeln. Lina hat 394 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Jonas?
Lösung zeigen
1. Ganzes 647, ein Teil 394, gesucht der andere Teil
2. 647 − 394 = 253
Ergebnis:
253 Murmeln

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
28 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 10 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 3.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
●26
Ein Regal hat 3 Böden mit je 11 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viele Seiten hat das dickste Buch? B: Wie viel kostet ein Buch? C: Wie viele Bücher stehen im Regal?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 3 · 11 = 33.
3. Richtig ist C.
Ergebnis:
C, 33 Bücher
●27
An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Can sagt: „36 m Zaun mit einem Pfahl alle 4 m braucht 9 Pfähle.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. 36 : 4 = 9 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 10.
Ergebnis:
Nein, 10 Pfähle
●28
In der Schlange vor der Mensa steht Can an 3. Stelle von vorn und an 5. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 2 Kinder, dann Can, dahinter 4 Kinder.
2. 2 + 1 + 4 = 7
Ergebnis:
7 Kinder
●29
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Elias braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 21 Minuten für den Weg. Wann muss Elias spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 16:08 Uhr.
2. Noch 21 Minuten früher: 15:47 Uhr.
Ergebnis:
15:47 Uhr
●30
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 7 Fahrzeuge mit 18 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 3 Fahrräder und 4 Dreiräder: 3 · 2 + 4 · 3 = 18
Ergebnis:
4 Dreiräder

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
27 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 15 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
108 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 7:36 Uhr. Welchen Bus M29 muss Hanna spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 7:02 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Lina hat 59 Sticker. Aylin hat 13 Sticker weniger als Lina. Wie viele Sticker hat Aylin?
Lösung zeigen
Ergebnis:
46 Sticker
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Lea braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 15 Minuten für den Weg. Wann muss Lea spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
15:00 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita zählt Ben 5 Fahrzeuge und 12 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
3 Fahrräder, 2 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Tennisball kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 4 Bällen kostet 2,60 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bälle braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
die Packung
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 3 Kästen liegen je 8 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
24 Karten
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Lina hat 63 Karten, Aylin hat 68 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
131 Karten

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

210 €, die Filmdauer brauche ich nicht
Der Preis für Erwachsene fehlt
4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
8 Minuten
den um 7:52 Uhr
26 Minuten
79 Bücher
54 Sticker
142 Murmeln
16:26 Uhr
22 €
16 €
2 Hühner, 3 Kaninchen
2 Fahrräder, 3 Dreiräder
9 Hühner, 11 Kaninchen
1,00 €
einzeln
die Packung
28 Sticker
24 Sticker
28 Murmeln
164 Karten
75 Karten
253 Murmeln
Der Preis für Erwachsene fehlt
C, 33 Bücher
Nein, 10 Pfähle
7 Kinder
15:47 Uhr
4 Dreiräder
108 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
den um 7:02 Uhr
46 Sticker
15:00 Uhr
3 Fahrräder, 2 Dreiräder
die Packung
24 Karten
131 Karten
9:15 Uhr
3.000 g

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:15 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 8:15 + 1:00 = 9:15 Uhr
Ergebnis:
9:15 Uhr
●40
Rechne um: 3 kg in g.
Lösung zeigen
1. 1 kg = 1.000 g
2. 3 · 1.000 = 3.000 g
Ergebnis:
3.000 g

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 26 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 26 Kinder und 7 € je Karte.
26 · 7 € = 182 €
Nicht gebraucht: die Filmdauer.

Gebraucht: 26 Kinder und 7 € je Karte.
26 · 7 € = 182 €
Nicht gebraucht: die Filmdauer.

Ergebnis:

182 €, die Filmdauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 30 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 95 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 30 Kinder und 7 € je Karte.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 30 Kinder und 7 € je Karte.
2. 30 · 7 € = 210 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
210 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●2
28 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 7 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 14 Tore geschossen. Zum Finale kamen 129 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 11 Spiele.
2. 15 − 11 = 4
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Zeynep ist um 6:57 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Zeynep auf den nächsten Bus X34?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 7:00 Uhr.
Von 6:57 bis 7:00 Uhr sind es 3 Minuten.

Der nächste fährt um 7:00 Uhr.
Von 6:57 bis 7:00 Uhr sind es 3 Minuten.

Ergebnis:

3 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Noah ist um 6:50 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Noah auf den nächsten Bus X34?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 6:58 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:58 Uhr.
2. Von 6:50 bis 6:58 Uhr sind es 8 Minuten.
Ergebnis:
8 Minuten
●5
Der Unterricht beginnt um 8:13 Uhr. Welchen Bus X34 muss Lina spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 8:13 Uhr: 7:11, 7:31, 7:51, 8:11 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 8:11 Uhr an.
3. Er fährt um 7:52 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:52 Uhr
★6
Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:50 Uhr, an 7:16 Uhr.
2. Von 6:50 bis 7:16 Uhr sind es 26 Minuten.
Ergebnis:
26 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Lina hat 88 Murmeln. Ela hat 9 Murmeln mehr als Lina. Wie viele Murmeln hat Ela?

Schritt für Schritt

Ela hat mehr: der Streifen von Ela ist länger
88 + 9 = 97

Ela hat mehr: der Streifen von Ela ist länger
88 + 9 = 97

Ergebnis:

97 Murmeln

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Jonas hat 60 Bücher. Noah hat 19 Bücher mehr als Jonas. Wie viele Bücher hat Noah?
So fängst du an:
Noah hat mehr: der Streifen von Noah ist länger
Lösung zeigen
1. Noah hat mehr: der Streifen von Noah ist länger
2. 60 + 19 = 79
Ergebnis:
79 Bücher
●8
Ben hat 48 Sticker. Lina hat 6 Sticker mehr als Ben. Wie viele Sticker hat Lina?
Lösung zeigen
1. Lina hat mehr: der Streifen von Lina ist länger
2. 48 + 6 = 54
Ergebnis:
54 Sticker
★9
Noah hat 592 Murmeln, Jonas hat 450 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Noah mehr?
Lösung zeigen
1. Der Unterschied ist der Rest zwischen den Streifen
2. 592 − 450 = 142
Ergebnis:
142 Murmeln

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Noah kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Noah 10 € geschenkt und hat jetzt 14 €. Wie viel Geld hatte Noah am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 14 € − 10 € = 4 €
Dann den Kauf: 4 € + 7 € = 11 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 14 € − 10 € = 4 €
Dann den Kauf: 4 € + 7 € = 11 €

Ergebnis:

11 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Can braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 20 Minuten für den Weg. Wann muss Can spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 16:46 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 16:46 Uhr.
2. Noch 20 Minuten früher: 16:26 Uhr.
Ergebnis:
16:26 Uhr
●11
Jonas kauft ein Buch für 9 €. Danach bekommt Jonas 3 € geschenkt und hat jetzt 16 €. Wie viel Geld hatte Jonas am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 16 € − 3 € = 13 €
2. Dann den Kauf: 13 € + 9 € = 22 €
Ergebnis:
22 €
★12
Lina kauft ein Buch für 5 €. Danach bekommt Lina 10 € geschenkt und hat jetzt 21 €. Wie viel Geld hatte Lina am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 21 € − 10 € = 11 €
2. Dann den Kauf: 11 € + 5 € = 16 €
Ergebnis:
16 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof zählt Lea 6 Tiere und 22 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
1 Huhn und 5 Kaninchen: 1 · 2 + 5 · 4 = 22

Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
1 Huhn und 5 Kaninchen: 1 · 2 + 5 · 4 = 22

Ergebnis:

1 Huhn, 5 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof zählt Lina 5 Tiere und 16 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 3 Hühner und 2 Kaninchen ergeben 14 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Hühner und 2 Kaninchen ergeben 14 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 2 Hühner und 3 Kaninchen: 2 · 2 + 3 · 4 = 16
Ergebnis:
2 Hühner, 3 Kaninchen
●14
Im Hof der Kita zählt Milan 5 Fahrzeuge und 13 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 2 Fahrräder und 3 Dreiräder: 2 · 2 + 3 · 3 = 13
Ergebnis:
2 Fahrräder, 3 Dreiräder
★15
Auf einem Hof zählt Milan 20 Tiere und 62 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 10 Hühner und 10 Kaninchen ergeben 60 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 9 Hühner und 11 Kaninchen: 9 · 2 + 11 · 4 = 62
Ergebnis:
9 Hühner, 11 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Eine Saftflasche kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 9,60 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?

Schritt für Schritt

10 einzeln: 10 · 0,90 € = 9,00 €
Packung: 9,60 €
Einzeln ist günstiger.

10 einzeln: 10 · 0,90 € = 9,00 €
Packung: 9,60 €
Einzeln ist günstiger.

Ergebnis:

einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
Ergebnis:
1,00 €
●17
Eine Saftflasche kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 4 Flaschen kostet 6,60 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
2. Packung: 6,60 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
★18
Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 10 Riegeln kostet 11,40 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Riegel braucht?
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 1,20 € = 12,00 €
2. Packung: 11,40 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 5 Kästen liegen je 4 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?

Schritt für Schritt

5 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
5 · 4 = 20

5 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
5 · 4 = 20

Ergebnis:

20 Sticker

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 7 Kästen liegen je 4 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
So fängst du an:
7 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 7 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
2. 7 · 4 = 28
Ergebnis:
28 Sticker
●20
In 3 Kästen liegen je 8 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 3 gleiche Teile zu je 8, gesucht das Ganze
2. 3 · 8 = 24
Ergebnis:
24 Sticker
★21
168 Murmeln werden gleichmäßig auf 6 Kästen verteilt. Wie viele Murmeln kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 168, 6 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 168 : 6 = 28
Ergebnis:
28 Murmeln

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Jonas hat 83 Sticker, Aylin hat 79 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
83 + 79 = 162

Zwei Teile, gesucht das Ganze
83 + 79 = 162

Ergebnis:

162 Sticker

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Ben hat 89 Karten, Lina hat 75 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 89 + 75 = 164
Ergebnis:
164 Karten
●23
Ela hat 38 Karten, Lina hat 37 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 38 + 37 = 75
Ergebnis:
75 Karten
★24
Lina und Jonas haben zusammen 647 Murmeln. Lina hat 394 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Jonas?
Lösung zeigen
1. Ganzes 647, ein Teil 394, gesucht der andere Teil
2. 647 − 394 = 253
Ergebnis:
253 Murmeln

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
28 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 10 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 3.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
●26
Ein Regal hat 3 Böden mit je 11 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viele Seiten hat das dickste Buch? B: Wie viel kostet ein Buch? C: Wie viele Bücher stehen im Regal?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 3 · 11 = 33.
3. Richtig ist C.
Ergebnis:
C, 33 Bücher
●27
An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Can sagt: „36 m Zaun mit einem Pfahl alle 4 m braucht 9 Pfähle.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. 36 : 4 = 9 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 10.
Ergebnis:
Nein, 10 Pfähle
●28
In der Schlange vor der Mensa steht Can an 3. Stelle von vorn und an 5. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 2 Kinder, dann Can, dahinter 4 Kinder.
2. 2 + 1 + 4 = 7
Ergebnis:
7 Kinder
●29
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Elias braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 21 Minuten für den Weg. Wann muss Elias spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 16:08 Uhr.
2. Noch 21 Minuten früher: 15:47 Uhr.
Ergebnis:
15:47 Uhr
●30
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 7 Fahrzeuge mit 18 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 3 Fahrräder und 4 Dreiräder: 3 · 2 + 4 · 3 = 18
Ergebnis:
4 Dreiräder

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
27 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 15 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
108 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 7:36 Uhr. Welchen Bus M29 muss Hanna spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 7:02 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Lina hat 59 Sticker. Aylin hat 13 Sticker weniger als Lina. Wie viele Sticker hat Aylin?
Lösung zeigen
Ergebnis:
46 Sticker
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Lea braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 15 Minuten für den Weg. Wann muss Lea spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
15:00 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita zählt Ben 5 Fahrzeuge und 12 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
3 Fahrräder, 2 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Tennisball kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 4 Bällen kostet 2,60 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bälle braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
die Packung
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 3 Kästen liegen je 8 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
24 Karten
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Lina hat 63 Karten, Aylin hat 68 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
131 Karten

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

210 €, die Filmdauer brauche ich nicht
Der Preis für Erwachsene fehlt
4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
8 Minuten
den um 7:52 Uhr
26 Minuten
79 Bücher
54 Sticker
142 Murmeln
16:26 Uhr
22 €
16 €
2 Hühner, 3 Kaninchen
2 Fahrräder, 3 Dreiräder
9 Hühner, 11 Kaninchen
1,00 €
einzeln
die Packung
28 Sticker
24 Sticker
28 Murmeln
164 Karten
75 Karten
253 Murmeln
Der Preis für Erwachsene fehlt
C, 33 Bücher
Nein, 10 Pfähle
7 Kinder
15:47 Uhr
4 Dreiräder
108 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
den um 7:02 Uhr
46 Sticker
15:00 Uhr
3 Fahrräder, 2 Dreiräder
die Packung
24 Karten
131 Karten
9:15 Uhr
3.000 g