Mathematik · Klasse 13 · Kapitel

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Abiturvorbereitung: gemischte Aufgaben

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Hier ist eine Abituraufgabe mit Sachtext. Löse Teil a) – ohne etwas zu zeichnen.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Ohne Skizze wird der Sachtext falsch gelesen; die Hälfte rechnet etwas anderes, als gefragt ist. Die Klasse merkt, dass die Zeichnung kein Schmuck ist. Erst die Skizze: Graph, Körper oder Baum mit allen Angaben. Zwei Minuten, die zehn sparen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenModell, Rechnung, Rückübersetzung

Eine Abituraufgabe hat drei Teile: den Sachverhalt in Mathematik übersetzen, rechnen, das Ergebnis zurück in den Sachverhalt übersetzen. Punkte gibt es für jeden Teil – auch für den ersten und den letzten, die viele auslassen.

WeiterdenkenDenk nach

Welche Frage stellt man sich nach dem Ausrechnen, bevor man die Antwort hinschreibt?

1Ich löse Analysis-Aufgaben im Abiturformat (Kurvendiskussion mit Sachbezug).

EntdeckenFrage

Warum hilft es, sich selbst zu prüfen, mehr als noch einmal zu lesen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Abrufen festigt stärker als Wiederlesen – Testeffekt: Nach einer Woche behielten Selbsttester 61 %, Wiederleser 40 %. Jede Übungsaufgabe ist ein Test, den man sich selbst stellt.

MerkenAnalysis: Extrempunkte

Reihenfolge: Nullstellen, f', Extrema, f'', Wendepunkte, Graph, Sachbezug deuten.

BeispielExtremwertaufgabe mit Nebenbedingung

Eine zylindrische Dose soll 2000 cm³ fassen und möglichst wenig Blech verbrauchen. Bestimme Radius und Höhe.

Schritt für Schritt

Nebenbedingung: V = πr²h = 2000 → h = 2000/(πr²)
Zielfunktion: O(r) = 2πr² + 2πrh = 2πr² + 4000/r
O'(r) = 4πr − 4000/r² = 0 → r³ = 2000/(2π)
r ≈ 6,83 cm, h = 2000/(π · 6,83²) ≈ 13,66 cm
Bemerkenswert: h = 2r – die sparsamste Dose ist so hoch wie breit.

Nebenbedingung: V = πr²h = 2000 → h = 2000/(πr²)
Zielfunktion: O(r) = 2πr² + 2πrh = 2πr² + 4000/r
O'(r) = 4πr − 4000/r² = 0 → r³ = 2000/(2π)
r ≈ 6,83 cm, h = 2000/(π · 6,83²) ≈ 13,66 cm
Bemerkenswert: h = 2r – die sparsamste Dose ist so hoch wie breit.

Ergebnis:

r ≈ 6,83 cm, h ≈ 13,66 cm (O ≈ 878,8 cm²)

ÜbenJetzt du

○1
Eine zylindrische Dose soll 1000 cm³ fassen und möglichst wenig Blech verbrauchen. Bestimme Radius und Höhe.
So fängst du an:
Nebenbedingung: V = πr²h = 1000 → h = 1000/(πr²)
Lösung zeigen
1. Nebenbedingung: V = πr²h = 1000 → h = 1000/(πr²)
2. Zielfunktion: O(r) = 2πr² + 2πrh = 2πr² + 2000/r
3. O'(r) = 4πr − 2000/r² = 0 → r³ = 1000/(2π)
4. r ≈ 5,42 cm, h = 1000/(π · 5,42²) ≈ 10,84 cm
5. Bemerkenswert: h = 2r – die sparsamste Dose ist so hoch wie breit.
Ergebnis:
r ≈ 5,42 cm, h ≈ 10,84 cm (O ≈ 553,6 cm²)
●2
Mit 48 m Zaun soll an einer geraden Hauswand eine rechteckige Fläche abgeteilt werden – die Wand zählt nicht mit. Wie groß wird die Fläche höchstens?
Lösung zeigen
1. Nebenbedingung: 2x + y = 48, also y = 48 − 2x
2. Zielfunktion: A(x) = x · (48 − 2x) = 48x − 2x²
3. A'(x) = 48 − 4x = 0 → x = 12
4. A''(x) = −4 < 0 → Maximum
5. y = 48 − 2 · 12 = 24, A = 12 · 24 = 288
Ergebnis:
288 m² (12 m × 24 m)
★3
Eine zylindrische Dose soll 500 cm³ fassen und möglichst wenig Blech verbrauchen. Bestimme Radius und Höhe.
Lösung zeigen
1. Nebenbedingung: V = πr²h = 500 → h = 500/(πr²)
2. Zielfunktion: O(r) = 2πr² + 2πrh = 2πr² + 1000/r
3. O'(r) = 4πr − 1000/r² = 0 → r³ = 500/(2π)
4. r ≈ 4,3 cm, h = 500/(π · 4,3²) ≈ 8,6 cm
5. Bemerkenswert: h = 2r – die sparsamste Dose ist so hoch wie breit.
Ergebnis:
r ≈ 4,3 cm, h ≈ 8,6 cm (O ≈ 348,7 cm²)

2Ich löse Integral-Aufgaben im Abiturformat.

EntdeckenFrage

Warum bringt Üben, das über Wochen verteilt ist, mehr als eine lange Nacht davor?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil Wiederholung nach einer Pause die Spur tiefer legt. In Übersichtsarbeiten über hunderte Versuche schneiden verteilte Einheiten deutlich besser ab als gleich lange Blöcke am Stück.

MerkenBestimmtes Integral

Nullstellen prüfen, aufteilen, Beträge – und immer die Einheit im Sachzusammenhang.

BeispielFläche zwischen zwei Graphen

Berechne den Inhalt der Fläche zwischen f(x) = x² und der Geraden g(x) = 16.

Schritt für Schritt

Schnittstellen: x² = 16 → x = ±4
Zwischen −4 und 4 liegt g oben: A = ∫₋4⁴(16 − x²) dx
= [16x − x³/3]₋4⁴ = 2 · (64 − 21,333)
A ≈ 85,33

Schnittstellen: x² = 16 → x = ±4
Zwischen −4 und 4 liegt g oben: A = ∫₋4⁴(16 − x²) dx
= [16x − x³/3]₋4⁴ = 2 · (64 − 21,333)
A ≈ 85,33

Ergebnis:

A ≈ 85,33 FE

AchtungVorzeichen bei Fläche

So nicht

Fläche von x^3 zwischen −1 und 1: ∫ = 0, also Fläche 0

So richtig

Fläche von x^3 zwischen −1 und 1 = 2 · ∫ von 0 bis 1 = 2 · 1/4 = 0,5

An Nullstellen aufteilen; unterhalb der x-Achse Betrag nehmen.

ÜbenJetzt du

○4
Berechne den Inhalt der Fläche zwischen f(x) = x² und der Geraden g(x) = 25.
So fängst du an:
Schnittstellen: x² = 25 → x = ±5
Lösung zeigen
1. Schnittstellen: x² = 25 → x = ±5
2. Zwischen −5 und 5 liegt g oben: A = ∫₋5⁵(25 − x²) dx
3. = [25x − x³/3]₋5⁵ = 2 · (125 − 41,667)
4. A ≈ 166,67
Ergebnis:
A ≈ 166,67 FE
●5
Berechne den Inhalt der Fläche zwischen f(x) = x² und g(x) = 2x.
Lösung zeigen
1. Schnittstellen: x² = 2x → x(x − 2) = 0 → x₁ = 0, x₂ = 2
2. Zwischen 0 und 2 liegt g oben: A = ∫₀²(2x − x²) dx
3. = [1x² − x³/3]₀² = 4 − 2,67
4. A ≈ 1,33
Ergebnis:
A ≈ 1,33 FE
★6
Berechne den Inhalt der Fläche zwischen f(x) = x² und g(x) = 4x.
Lösung zeigen
1. Schnittstellen: x² = 4x → x(x − 4) = 0 → x₁ = 0, x₂ = 4
2. Zwischen 0 und 4 liegt g oben: A = ∫₀⁴(4x − x²) dx
3. = [2x² − x³/3]₀⁴ = 32 − 21,33
4. A ≈ 10,67
Ergebnis:
A ≈ 10,67 FE

3Ich löse e-Funktions-Aufgaben im Abiturformat.

EntdeckenFrage

Warum verliert man in einer Klausur Punkte, obwohl das Ergebnis stimmt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil der Operator etwas anderes verlangt hat. „Zeigen“ fordert eine Begründung, „bestimmen“ ein Ergebnis mit Rechenweg – bewertet wird, was der Operator verlangt, nicht die Zahl allein.

Merkene-Funktion ableiten

Ausklammern von e^(kx) zeigt Nullstellen; Asymptote nicht vergessen.

Beispiele-Funktion ableiten

Bestimme f'(x) für f(x) = 2 · e^3x

Schritt für Schritt

Kettenregel: innere Ableitung 3
f'(x) = 6 · e^3x

Kettenregel: innere Ableitung 3
f'(x) = 6 · e^3x

Ergebnis:

f'(x) = 6e^3x

Achtunge-Funktion aufgeleitet ohne den Faktor 1/k

So nicht

∫ e^(−x) dx → e^(−x)

So richtig

∫ e^(−x) dx → −e^(−x)

Teile durch k. Leite F zur Probe ab, es muss f herauskommen.

ÜbenJetzt du

○7
Bestimme f'(x) für f(x) = 2 · e^2x
So fängst du an:
Kettenregel: innere Ableitung 2
Lösung zeigen
1. Kettenregel: innere Ableitung 2
2. f'(x) = 4 · e^2x
Ergebnis:
f'(x) = 4e^2x
●8
Bestimme f'(x) für f(x) = 5 · e^−3x
Lösung zeigen
1. Kettenregel: innere Ableitung −3
2. f'(x) = −15 · e^−3x
Ergebnis:
f'(x) = −15e^−3x
★9
Bestimme f'(x) für f(x) = (x + 5) · e^−0,5x
Lösung zeigen
1. Produktregel: u = x + 5, v = e^−0,5x
2. f' = 1 · e^−0,5x + (x + 5) · (−0,5)e^−0,5x
3. = e^−0,5x · (−0,5x − 1,5)
Ergebnis:
f'(x) = e^−0,5x(−0,5x − 1,5)

4Ich löse Aufgaben zur analytischen Geometrie im Abiturformat.

EntdeckenFrage

Woran merkst du in einer Prüfung, dass du zu lange an einer Aufgabe sitzt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

An den Minuten je Punkt. Bearbeitungszeit geteilt durch Gesamtpunkte ergibt das Zeitbudget – wer es für eine Aufgabe überschreitet, geht weiter und kommt später zurück.

MerkenSchnittpunkt Gerade–Ebene

Skizze, Vektoren, Gleichungen – jede Behauptung mit Rechnung belegen.

BeispielSchnittpunkt Gerade – Ebene

g: x = (−1 | 2 | −1) + t · (1 | −1 | −1) und E: x₁ + 2x₂ + 2x₃ = −5. Bestimme den Schnittpunkt.

Schritt für Schritt

g in E einsetzen: 1 · (−1 + t) + 2 · (2 − t) + 2 · (−1 − t) = −5
1 − 3t = −5 → t = 2
S = (−1 | 2 | −1) + 2 · (1 | −1 | −1) = (1 | 0 | −3)

g in E einsetzen: 1 · (−1 + t) + 2 · (2 − t) + 2 · (−1 − t) = −5
1 − 3t = −5 → t = 2
S = (−1 | 2 | −1) + 2 · (1 | −1 | −1) = (1 | 0 | −3)

Ergebnis:

S(1 | 0 | −3)

ÜbenJetzt du

○10
g: x = (2 | −1 | 2) + t · (3 | 0 | 1) und E: x₁ + 2x₂ − 2x₃ = −3. Bestimme den Schnittpunkt.
So fängst du an:
g in E einsetzen: 1 · (2 + 3t) + 2 · (−1 + 0t) + (−2) · (2 + t) = −3
Lösung zeigen
1. g in E einsetzen: 1 · (2 + 3t) + 2 · (−1 + 0t) + (−2) · (2 + t) = −3
2. −4 + t = −3 → t = 1
3. S = (2 | −1 | 2) + 1 · (3 | 0 | 1) = (5 | −1 | 3)
Ergebnis:
S(5 | −1 | 3)
●11
g: x = (−2 | 0 | 1) + t · (1 | 1 | 1) und E: x₁ + x₂ + x₃ = 2. Bestimme den Schnittpunkt.
Lösung zeigen
1. g in E einsetzen: 1 · (−2 + t) + 1 · (0 + t) + 1 · (1 + t) = 2
2. −1 + 3t = 2 → t = 1
3. S = (−2 | 0 | 1) + 1 · (1 | 1 | 1) = (−1 | 1 | 2)
Ergebnis:
S(−1 | 1 | 2)
★12
g: x = (0 | −2 | 1) + t · (2 | 1 | −1) und E: x₁ + x₂ + 2x₃ = 2. Bestimme den Schnittpunkt.
Lösung zeigen
1. g in E einsetzen: 1 · (0 + 2t) + 1 · (−2 + t) + 2 · (1 − t) = 2
2. 0 + t = 2 → t = 2
3. S = (0 | −2 | 1) + 2 · (2 | 1 | −1) = (4 | 0 | −1)
Ergebnis:
S(4 | 0 | −1)

5Ich löse Stochastik-Aufgaben im Abiturformat.

EntdeckenFrage

Warum fällt der Teil ohne Taschenrechner vielen schwerer als der Rest?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil dort nichts nachgeschlagen werden kann und Grundwissen sofort abrufbar sein muss. Genau das lässt sich trainieren: kurze tägliche Durchgänge wirken besser als seltene lange.

MerkenBinomialverteilung

Situation in n, p übersetzen; „mindestens“ über Gegenereignis; Erwartungswert deuten.

BeispielBinomialverteilung: P(X = k)

Ein Multiple-Choice-Test hat 5 Fragen mit je Trefferwahrscheinlichkeit 0,5 beim Raten. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau 1 richtige.

Schritt für Schritt

Bernoulli-Kette: n = 5, p = 0,5
P(X = 1) = (5 über 1) · 0,5¹ · 0,5⁴
= 5 · 0,5 · 0,0625 ≈ 0,1563

Bernoulli-Kette: n = 5, p = 0,5
P(X = 1) = (5 über 1) · 0,5¹ · 0,5⁴
= 5 · 0,5 · 0,0625 ≈ 0,1563

Ergebnis:

≈ 15,6 %

ÜbenJetzt du

○13
Ein Multiple-Choice-Test hat 6 Fragen mit je Trefferwahrscheinlichkeit 0,2 beim Raten. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau 2 richtige.
So fängst du an:
Bernoulli-Kette: n = 6, p = 0,2
Lösung zeigen
1. Bernoulli-Kette: n = 6, p = 0,2
2. P(X = 2) = (6 über 2) · 0,2² · 0,8⁴
3. = 15 · 0,04 · 0,4096 ≈ 0,2458
Ergebnis:
≈ 24,6 %
●14
Ein Multiple-Choice-Test hat 5 Fragen mit je Trefferwahrscheinlichkeit 0,2 beim Raten. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau 3 richtige.
Lösung zeigen
1. Bernoulli-Kette: n = 5, p = 0,2
2. P(X = 3) = (5 über 3) · 0,2³ · 0,8²
3. = 10 · 0,008 · 0,64 ≈ 0,0512
Ergebnis:
≈ 5,1 %
★15
Ein Multiple-Choice-Test hat 8 Fragen mit je Trefferwahrscheinlichkeit 0,2 beim Raten. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau 4 richtige.
Lösung zeigen
1. Bernoulli-Kette: n = 8, p = 0,2
2. P(X = 4) = (8 über 4) · 0,2⁴ · 0,8⁴
3. = 70 · 0,0016 · 0,4096 ≈ 0,0459
Ergebnis:
≈ 4,6 %

6Ich trainiere den hilfsmittelfreien Teil.

EntdeckenFrage

Archimedes bestimmte Flächen unter Parabeln ohne jede Rechenmaschine. Wie groß ist die Fläche unter y = x² von 0 bis 3?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Stammfunktion von x² ist x³/3. Von 0 bis 3 ergibt das 27/3 = 9 Flächeneinheiten – ein Drittel des Rechtecks aus 3 mal 9. Das geht im Kopf, ohne Taschenrechner.

MerkenHilfsmittelfrei

Ableitungen, Integrale und Vektorrechnung ohne Rechner sicher beherrschen.

BeispielBestimmtes Integral berechnen

Berechne ∫₀³ (6x² + 2x + 3) dx

Schritt für Schritt

F(x) = 2x³ + x² + 3x
F(3) − F(0) = 72 − (0) = 72

F(x) = 2x³ + x² + 3x
F(3) − F(0) = 72 − (0) = 72

Ergebnis:

AchtungAufgeleitet ohne durch den neuen Exponenten zu teilen

So nicht

Berechne ∫_0^3 (6x^2 + 2x + 3) dx → 189

So richtig

Berechne ∫_0^3 (6x^2 + 2x + 3) dx → 72

Teile durch den neuen Exponenten. Leite zur Probe ab.

ÜbenJetzt du

○16
Berechne ∫₀² (3x² + 2x + 4) dx
So fängst du an:
F(x) = x³ + x² + 4x
Lösung zeigen
1. F(x) = x³ + x² + 4x
2. F(2) − F(0) = 20 − (0) = 20
Ergebnis:
20
●17
Berechne ∫₀² (3x² + 2x + 3) dx
Lösung zeigen
1. F(x) = x³ + x² + 3x
2. F(2) − F(0) = 18 − (0) = 18
Ergebnis:
18
★18
Berechne ∫₁³ (3x² + 2x + 1) dx
Lösung zeigen
1. F(x) = x³ + x² + x
2. F(3) − F(1) = 39 − (3) = 36
Ergebnis:
36

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●19
Bestimme die Extrempunkte von f(x) = x³ − 27x − 2.
Lösung zeigen
1. f'(x) = 3x² − 27 = 0 → x² = 9 → x = ±3
2. f''(x) = 6x: f''(−3) < 0 → Hochpunkt, f''(3) > 0 → Tiefpunkt
3. f(−3) = 52, f(3) = −56
Ergebnis:
H(−3 | 52), T(3 | −56)
●20
Berechne ∫₀² (3x²) dx
Lösung zeigen
1. F(x) = x³
2. F(2) − F(0) = 8 − (0) = 8
Ergebnis:
8
●21
Bestimme f'(x) für f(x) = e^2x
Lösung zeigen
1. Kettenregel: innere Ableitung 2
2. f'(x) = 2 · e^2x
Ergebnis:
f'(x) = 2e^2x
●22
g: x = (0 | 0 | 1) + t · (3 | 0 | −1) und E: x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 1. Bestimme den Schnittpunkt.
Lösung zeigen
1. g in E einsetzen: 1 · (0 + 3t) + 2 · (0 + 0t) + 2 · (1 − t) = 1
2. 2 + t = 1 → t = −1
3. S = (0 | 0 | 1) + −1 · (3 | 0 | −1) = (−3 | 0 | 2)
Ergebnis:
S(−3 | 0 | 2)
●23
Ein Multiple-Choice-Test hat 5 Fragen mit je Trefferwahrscheinlichkeit 0,2 beim Raten. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau 2 richtige.
Lösung zeigen
1. Bernoulli-Kette: n = 5, p = 0,2
2. P(X = 2) = (5 über 2) · 0,2² · 0,8³
3. = 10 · 0,04 · 0,512 ≈ 0,2048
Ergebnis:
≈ 20,5 %
●24
Von 200 Schüler:innen fahren 60 mit dem Rad (R). 18 davon sind auch im Sportverein (S); insgesamt sind 76 im Sportverein. Wie viele fahren Rad, sind aber nicht im Verein?
Lösung zeigen
1. Vierfeldertafel: R ∩ S = 18
2. R ∩ nicht S = 60 − 18 = 42
Ergebnis:
42

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Analysis: Extrempunkte: Reihenfolge: Nullstellen, f', Extrema, f'', Wendepunkte, Graph, Sachbezug deuten.
Bestimmtes Integral: Nullstellen prüfen, aufteilen, Beträge – und immer die Einheit im Sachzusammenhang.
e-Funktion ableiten: Ausklammern von e^(kx) zeigt Nullstellen; Asymptote nicht vergessen.
Schnittpunkt Gerade–Ebene: Skizze, Vektoren, Gleichungen – jede Behauptung mit Rechnung belegen.
Binomialverteilung: Situation in n, p übersetzen; „mindestens“ über Gegenereignis; Erwartungswert deuten.
Hilfsmittelfrei: Ableitungen, Integrale und Vektorrechnung ohne Rechner sicher beherrschen.

Achtungy-Wert des Extrempunkts fehlt

So nicht

Extremstelle x = 2: H(2; 0) aus f' abgelesen

So richtig

Extremstelle x = 2: y = f(2) = 5, also H(2; 5)

x in f einsetzen, nicht in f'.

Achtung„mindestens“ falsch übersetzt

So nicht

P(mindestens 1 Treffer) = P(X = 1)

So richtig

P(mindestens 1 Treffer) = 1 − P(X = 0)

„Mindestens 1“ = 1 − P(X = 0).

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich löse Analysis-Aufgaben im Abiturformat (Kurvendiskussion mit Sachbezug).
25
Mit 40 m Zaun soll an einer geraden Hauswand eine rechteckige Fläche abgeteilt werden – die Wand zählt nicht mit. Wie groß wird die Fläche höchstens?
Lösung zeigen
Ergebnis:
200 m² (10 m × 20 m)
Ich löse Integral-Aufgaben im Abiturformat.
26
Berechne den Inhalt der Fläche zwischen f(x) = x² und g(x) = 5x.
Lösung zeigen
Ergebnis:
A ≈ 20,83 FE
Ich löse e-Funktions-Aufgaben im Abiturformat.
27
Bestimme f'(x) für f(x) = 2 · e^2x
Lösung zeigen
Ergebnis:
f'(x) = 4e^2x
Ich löse Aufgaben zur analytischen Geometrie im Abiturformat.
28
g: x = (−1 | −2 | 1) + t · (1 | 1 | −1) und E: x₁ − x₂ + x₃ = 1. Bestimme den Schnittpunkt.
Lösung zeigen
Ergebnis:
S(0 | −1 | 0)
Ich löse Stochastik-Aufgaben im Abiturformat.
29
Ein Multiple-Choice-Test hat 4 Fragen mit je Trefferwahrscheinlichkeit 0,5 beim Raten. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau 1 richtige.
Lösung zeigen
Ergebnis:
≈ 25 %
Ich trainiere den hilfsmittelfreien Teil.
30
Berechne ∫₀¹ (3x² + 2x + 3) dx
Lösung zeigen
Ergebnis:
5
Ich arbeite mit Operatoren (bestimmen, begründen, zeigen, beurteilen).
31
Bestimme die Extrempunkte von f(x) = 2x³ − 96x.
Lösung zeigen
Ergebnis:
H(−4 | 256), T(4 | −256)
Ich manage die Zeit in einer Prüfung.
32
Bestimme die Extrempunkte von f(x) = x³ − 3x + 1.
Lösung zeigen
Ergebnis:
H(−1 | 3), T(1 | −1)
Ich bereite die Abiturklausur vor.
33
Bestimme die Extrempunkte von f(x) = 2x³ − 54x + 2.
Lösung zeigen
Ergebnis:
H(−3 | 110), T(3 | −106)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Hier ist eine Abituraufgabe mit Sachtext. Löse Teil a) – ohne etwas zu zeichnen.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Skizze als erstes Werkzeug jeder Abituraufgabe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Die Prüfung selbst – Routine nimmt Angst. Beruf: Studium und Ausbildung setzen genau das voraus.

Wörter

Ableitung: wie schnell sich etwas an einer Stelle ändert
Ausklammern: den gemeinsamen Faktor vor die Klammer holen
Extrempunkt: ein höchster oder tiefster Punkt
Funktion: eine Regel, die aus einer Zahl eine andere macht
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Integral: die Fläche unter dem Graphen
Nullstelle: wo der Graph die x-Achse trifft
Wendepunkt: wo die Kurve die Krümmung wechselt

Lösungen

r ≈ 5,42 cm, h ≈ 10,84 cm (O ≈ 553,6 cm²)
288 m² (12 m × 24 m)
r ≈ 4,3 cm, h ≈ 8,6 cm (O ≈ 348,7 cm²)
A ≈ 166,67 FE
A ≈ 1,33 FE
A ≈ 10,67 FE
f'(x) = 4e^2x
f'(x) = −15e^−3x
f'(x) = e^−0,5x(−0,5x − 1,5)
S(5 | −1 | 3)
S(−1 | 1 | 2)
S(4 | 0 | −1)
≈ 24,6 %
≈ 5,1 %
≈ 4,6 %
20
18
36
H(−3 | 52), T(3 | −56)
8
f'(x) = 2e^2x
S(−3 | 0 | 2)
≈ 20,5 %
42
200 m² (10 m × 20 m)
A ≈ 20,83 FE
f'(x) = 4e^2x
S(0 | −1 | 0)
≈ 25 %
5
H(−4 | 256), T(4 | −256)
H(−1 | 3), T(1 | −1)
H(−3 | 110), T(3 | −106)

Mathematik · Klasse 13 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Abiturvorbereitung: gemischte Aufgaben

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Hier ist eine Abituraufgabe mit Sachtext. Löse Teil a) – ohne etwas zu zeichnen.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenModell, Rechnung, Rückübersetzung

WeiterdenkenDenk nach

Welche Frage stellt man sich nach dem Ausrechnen, bevor man die Antwort hinschreibt?

1Ich löse Analysis-Aufgaben im Abiturformat (Kurvendiskussion mit Sachbezug).

EntdeckenFrage

Warum hilft es, sich selbst zu prüfen, mehr als noch einmal zu lesen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Abrufen festigt stärker als Wiederlesen – Testeffekt: Nach einer Woche behielten Selbsttester 61 %, Wiederleser 40 %. Jede Übungsaufgabe ist ein Test, den man sich selbst stellt.

MerkenAnalysis: Extrempunkte

Reihenfolge: Nullstellen, f', Extrema, f'', Wendepunkte, Graph, Sachbezug deuten.

BeispielExtremwertaufgabe mit Nebenbedingung

Eine zylindrische Dose soll 2000 cm³ fassen und möglichst wenig Blech verbrauchen. Bestimme Radius und Höhe.

Schritt für Schritt

Nebenbedingung: V = πr²h = 2000 → h = 2000/(πr²)
Zielfunktion: O(r) = 2πr² + 2πrh = 2πr² + 4000/r
O'(r) = 4πr − 4000/r² = 0 → r³ = 2000/(2π)
r ≈ 6,83 cm, h = 2000/(π · 6,83²) ≈ 13,66 cm
Bemerkenswert: h = 2r – die sparsamste Dose ist so hoch wie breit.

Nebenbedingung: V = πr²h = 2000 → h = 2000/(πr²)
Zielfunktion: O(r) = 2πr² + 2πrh = 2πr² + 4000/r
O'(r) = 4πr − 4000/r² = 0 → r³ = 2000/(2π)
r ≈ 6,83 cm, h = 2000/(π · 6,83²) ≈ 13,66 cm
Bemerkenswert: h = 2r – die sparsamste Dose ist so hoch wie breit.

Ergebnis:

r ≈ 6,83 cm, h ≈ 13,66 cm (O ≈ 878,8 cm²)

ÜbenJetzt du

○1
Eine zylindrische Dose soll 1000 cm³ fassen und möglichst wenig Blech verbrauchen. Bestimme Radius und Höhe.
So fängst du an:
Nebenbedingung: V = πr²h = 1000 → h = 1000/(πr²)
Lösung zeigen
1. Nebenbedingung: V = πr²h = 1000 → h = 1000/(πr²)
2. Zielfunktion: O(r) = 2πr² + 2πrh = 2πr² + 2000/r
3. O'(r) = 4πr − 2000/r² = 0 → r³ = 1000/(2π)
4. r ≈ 5,42 cm, h = 1000/(π · 5,42²) ≈ 10,84 cm
5. Bemerkenswert: h = 2r – die sparsamste Dose ist so hoch wie breit.
Ergebnis:
r ≈ 5,42 cm, h ≈ 10,84 cm (O ≈ 553,6 cm²)
●2
Mit 48 m Zaun soll an einer geraden Hauswand eine rechteckige Fläche abgeteilt werden – die Wand zählt nicht mit. Wie groß wird die Fläche höchstens?
Lösung zeigen
1. Nebenbedingung: 2x + y = 48, also y = 48 − 2x
2. Zielfunktion: A(x) = x · (48 − 2x) = 48x − 2x²
3. A'(x) = 48 − 4x = 0 → x = 12
4. A''(x) = −4 < 0 → Maximum
5. y = 48 − 2 · 12 = 24, A = 12 · 24 = 288
Ergebnis:
288 m² (12 m × 24 m)
★3
Eine zylindrische Dose soll 500 cm³ fassen und möglichst wenig Blech verbrauchen. Bestimme Radius und Höhe.
Lösung zeigen
1. Nebenbedingung: V = πr²h = 500 → h = 500/(πr²)
2. Zielfunktion: O(r) = 2πr² + 2πrh = 2πr² + 1000/r
3. O'(r) = 4πr − 1000/r² = 0 → r³ = 500/(2π)
4. r ≈ 4,3 cm, h = 500/(π · 4,3²) ≈ 8,6 cm
5. Bemerkenswert: h = 2r – die sparsamste Dose ist so hoch wie breit.
Ergebnis:
r ≈ 4,3 cm, h ≈ 8,6 cm (O ≈ 348,7 cm²)

2Ich löse Integral-Aufgaben im Abiturformat.

EntdeckenFrage

Warum bringt Üben, das über Wochen verteilt ist, mehr als eine lange Nacht davor?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil Wiederholung nach einer Pause die Spur tiefer legt. In Übersichtsarbeiten über hunderte Versuche schneiden verteilte Einheiten deutlich besser ab als gleich lange Blöcke am Stück.

MerkenBestimmtes Integral

Nullstellen prüfen, aufteilen, Beträge – und immer die Einheit im Sachzusammenhang.

BeispielFläche zwischen zwei Graphen

Berechne den Inhalt der Fläche zwischen f(x) = x² und der Geraden g(x) = 16.

Schritt für Schritt

Schnittstellen: x² = 16 → x = ±4
Zwischen −4 und 4 liegt g oben: A = ∫₋4⁴(16 − x²) dx
= [16x − x³/3]₋4⁴ = 2 · (64 − 21,333)
A ≈ 85,33

Schnittstellen: x² = 16 → x = ±4
Zwischen −4 und 4 liegt g oben: A = ∫₋4⁴(16 − x²) dx
= [16x − x³/3]₋4⁴ = 2 · (64 − 21,333)
A ≈ 85,33

Ergebnis:

A ≈ 85,33 FE

AchtungVorzeichen bei Fläche

So nicht

Fläche von x^3 zwischen −1 und 1: ∫ = 0, also Fläche 0

So richtig

Fläche von x^3 zwischen −1 und 1 = 2 · ∫ von 0 bis 1 = 2 · 1/4 = 0,5

An Nullstellen aufteilen; unterhalb der x-Achse Betrag nehmen.

ÜbenJetzt du

○4
Berechne den Inhalt der Fläche zwischen f(x) = x² und der Geraden g(x) = 25.
So fängst du an:
Schnittstellen: x² = 25 → x = ±5
Lösung zeigen
1. Schnittstellen: x² = 25 → x = ±5
2. Zwischen −5 und 5 liegt g oben: A = ∫₋5⁵(25 − x²) dx
3. = [25x − x³/3]₋5⁵ = 2 · (125 − 41,667)
4. A ≈ 166,67
Ergebnis:
A ≈ 166,67 FE
●5
Berechne den Inhalt der Fläche zwischen f(x) = x² und g(x) = 2x.
Lösung zeigen
1. Schnittstellen: x² = 2x → x(x − 2) = 0 → x₁ = 0, x₂ = 2
2. Zwischen 0 und 2 liegt g oben: A = ∫₀²(2x − x²) dx
3. = [1x² − x³/3]₀² = 4 − 2,67
4. A ≈ 1,33
Ergebnis:
A ≈ 1,33 FE
★6
Berechne den Inhalt der Fläche zwischen f(x) = x² und g(x) = 4x.
Lösung zeigen
1. Schnittstellen: x² = 4x → x(x − 4) = 0 → x₁ = 0, x₂ = 4
2. Zwischen 0 und 4 liegt g oben: A = ∫₀⁴(4x − x²) dx
3. = [2x² − x³/3]₀⁴ = 32 − 21,33
4. A ≈ 10,67
Ergebnis:
A ≈ 10,67 FE

3Ich löse e-Funktions-Aufgaben im Abiturformat.

EntdeckenFrage

Warum verliert man in einer Klausur Punkte, obwohl das Ergebnis stimmt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil der Operator etwas anderes verlangt hat. „Zeigen“ fordert eine Begründung, „bestimmen“ ein Ergebnis mit Rechenweg – bewertet wird, was der Operator verlangt, nicht die Zahl allein.

Merkene-Funktion ableiten

Ausklammern von e^(kx) zeigt Nullstellen; Asymptote nicht vergessen.

Beispiele-Funktion ableiten

Bestimme f'(x) für f(x) = 2 · e^3x

Schritt für Schritt

Kettenregel: innere Ableitung 3
f'(x) = 6 · e^3x

Kettenregel: innere Ableitung 3
f'(x) = 6 · e^3x

Ergebnis:

f'(x) = 6e^3x

Achtunge-Funktion aufgeleitet ohne den Faktor 1/k

So nicht

∫ e^(−x) dx → e^(−x)

So richtig

∫ e^(−x) dx → −e^(−x)

Teile durch k. Leite F zur Probe ab, es muss f herauskommen.

ÜbenJetzt du

○7
Bestimme f'(x) für f(x) = 2 · e^2x
So fängst du an:
Kettenregel: innere Ableitung 2
Lösung zeigen
1. Kettenregel: innere Ableitung 2
2. f'(x) = 4 · e^2x
Ergebnis:
f'(x) = 4e^2x
●8
Bestimme f'(x) für f(x) = 5 · e^−3x
Lösung zeigen
1. Kettenregel: innere Ableitung −3
2. f'(x) = −15 · e^−3x
Ergebnis:
f'(x) = −15e^−3x
★9
Bestimme f'(x) für f(x) = (x + 5) · e^−0,5x
Lösung zeigen
1. Produktregel: u = x + 5, v = e^−0,5x
2. f' = 1 · e^−0,5x + (x + 5) · (−0,5)e^−0,5x
3. = e^−0,5x · (−0,5x − 1,5)
Ergebnis:
f'(x) = e^−0,5x(−0,5x − 1,5)

4Ich löse Aufgaben zur analytischen Geometrie im Abiturformat.

EntdeckenFrage

Woran merkst du in einer Prüfung, dass du zu lange an einer Aufgabe sitzt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

An den Minuten je Punkt. Bearbeitungszeit geteilt durch Gesamtpunkte ergibt das Zeitbudget – wer es für eine Aufgabe überschreitet, geht weiter und kommt später zurück.

MerkenSchnittpunkt Gerade–Ebene

Skizze, Vektoren, Gleichungen – jede Behauptung mit Rechnung belegen.

BeispielSchnittpunkt Gerade – Ebene

g: x = (−1 | 2 | −1) + t · (1 | −1 | −1) und E: x₁ + 2x₂ + 2x₃ = −5. Bestimme den Schnittpunkt.

Schritt für Schritt

g in E einsetzen: 1 · (−1 + t) + 2 · (2 − t) + 2 · (−1 − t) = −5
1 − 3t = −5 → t = 2
S = (−1 | 2 | −1) + 2 · (1 | −1 | −1) = (1 | 0 | −3)

g in E einsetzen: 1 · (−1 + t) + 2 · (2 − t) + 2 · (−1 − t) = −5
1 − 3t = −5 → t = 2
S = (−1 | 2 | −1) + 2 · (1 | −1 | −1) = (1 | 0 | −3)

Ergebnis:

S(1 | 0 | −3)

ÜbenJetzt du

○10
g: x = (2 | −1 | 2) + t · (3 | 0 | 1) und E: x₁ + 2x₂ − 2x₃ = −3. Bestimme den Schnittpunkt.
So fängst du an:
g in E einsetzen: 1 · (2 + 3t) + 2 · (−1 + 0t) + (−2) · (2 + t) = −3
Lösung zeigen
1. g in E einsetzen: 1 · (2 + 3t) + 2 · (−1 + 0t) + (−2) · (2 + t) = −3
2. −4 + t = −3 → t = 1
3. S = (2 | −1 | 2) + 1 · (3 | 0 | 1) = (5 | −1 | 3)
Ergebnis:
S(5 | −1 | 3)
●11
g: x = (−2 | 0 | 1) + t · (1 | 1 | 1) und E: x₁ + x₂ + x₃ = 2. Bestimme den Schnittpunkt.
Lösung zeigen
1. g in E einsetzen: 1 · (−2 + t) + 1 · (0 + t) + 1 · (1 + t) = 2
2. −1 + 3t = 2 → t = 1
3. S = (−2 | 0 | 1) + 1 · (1 | 1 | 1) = (−1 | 1 | 2)
Ergebnis:
S(−1 | 1 | 2)
★12
g: x = (0 | −2 | 1) + t · (2 | 1 | −1) und E: x₁ + x₂ + 2x₃ = 2. Bestimme den Schnittpunkt.
Lösung zeigen
1. g in E einsetzen: 1 · (0 + 2t) + 1 · (−2 + t) + 2 · (1 − t) = 2
2. 0 + t = 2 → t = 2
3. S = (0 | −2 | 1) + 2 · (2 | 1 | −1) = (4 | 0 | −1)
Ergebnis:
S(4 | 0 | −1)

5Ich löse Stochastik-Aufgaben im Abiturformat.

EntdeckenFrage

Warum fällt der Teil ohne Taschenrechner vielen schwerer als der Rest?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil dort nichts nachgeschlagen werden kann und Grundwissen sofort abrufbar sein muss. Genau das lässt sich trainieren: kurze tägliche Durchgänge wirken besser als seltene lange.

MerkenBinomialverteilung

Situation in n, p übersetzen; „mindestens“ über Gegenereignis; Erwartungswert deuten.

BeispielBinomialverteilung: P(X = k)

Ein Multiple-Choice-Test hat 5 Fragen mit je Trefferwahrscheinlichkeit 0,5 beim Raten. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau 1 richtige.

Schritt für Schritt

Bernoulli-Kette: n = 5, p = 0,5
P(X = 1) = (5 über 1) · 0,5¹ · 0,5⁴
= 5 · 0,5 · 0,0625 ≈ 0,1563

Bernoulli-Kette: n = 5, p = 0,5
P(X = 1) = (5 über 1) · 0,5¹ · 0,5⁴
= 5 · 0,5 · 0,0625 ≈ 0,1563

Ergebnis:

≈ 15,6 %

ÜbenJetzt du

○13
Ein Multiple-Choice-Test hat 6 Fragen mit je Trefferwahrscheinlichkeit 0,2 beim Raten. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau 2 richtige.
So fängst du an:
Bernoulli-Kette: n = 6, p = 0,2
Lösung zeigen
1. Bernoulli-Kette: n = 6, p = 0,2
2. P(X = 2) = (6 über 2) · 0,2² · 0,8⁴
3. = 15 · 0,04 · 0,4096 ≈ 0,2458
Ergebnis:
≈ 24,6 %
●14
Ein Multiple-Choice-Test hat 5 Fragen mit je Trefferwahrscheinlichkeit 0,2 beim Raten. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau 3 richtige.
Lösung zeigen
1. Bernoulli-Kette: n = 5, p = 0,2
2. P(X = 3) = (5 über 3) · 0,2³ · 0,8²
3. = 10 · 0,008 · 0,64 ≈ 0,0512
Ergebnis:
≈ 5,1 %
★15
Ein Multiple-Choice-Test hat 8 Fragen mit je Trefferwahrscheinlichkeit 0,2 beim Raten. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau 4 richtige.
Lösung zeigen
1. Bernoulli-Kette: n = 8, p = 0,2
2. P(X = 4) = (8 über 4) · 0,2⁴ · 0,8⁴
3. = 70 · 0,0016 · 0,4096 ≈ 0,0459
Ergebnis:
≈ 4,6 %

6Ich trainiere den hilfsmittelfreien Teil.

EntdeckenFrage

Archimedes bestimmte Flächen unter Parabeln ohne jede Rechenmaschine. Wie groß ist die Fläche unter y = x² von 0 bis 3?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Stammfunktion von x² ist x³/3. Von 0 bis 3 ergibt das 27/3 = 9 Flächeneinheiten – ein Drittel des Rechtecks aus 3 mal 9. Das geht im Kopf, ohne Taschenrechner.

MerkenHilfsmittelfrei

Ableitungen, Integrale und Vektorrechnung ohne Rechner sicher beherrschen.

BeispielBestimmtes Integral berechnen

Berechne ∫₀³ (6x² + 2x + 3) dx

Schritt für Schritt

F(x) = 2x³ + x² + 3x
F(3) − F(0) = 72 − (0) = 72

F(x) = 2x³ + x² + 3x
F(3) − F(0) = 72 − (0) = 72

Ergebnis:

AchtungAufgeleitet ohne durch den neuen Exponenten zu teilen

So nicht

Berechne ∫_0^3 (6x^2 + 2x + 3) dx → 189

So richtig

Berechne ∫_0^3 (6x^2 + 2x + 3) dx → 72

Teile durch den neuen Exponenten. Leite zur Probe ab.

ÜbenJetzt du

○16
Berechne ∫₀² (3x² + 2x + 4) dx
So fängst du an:
F(x) = x³ + x² + 4x
Lösung zeigen
1. F(x) = x³ + x² + 4x
2. F(2) − F(0) = 20 − (0) = 20
Ergebnis:
20
●17
Berechne ∫₀² (3x² + 2x + 3) dx
Lösung zeigen
1. F(x) = x³ + x² + 3x
2. F(2) − F(0) = 18 − (0) = 18
Ergebnis:
18
★18
Berechne ∫₁³ (3x² + 2x + 1) dx
Lösung zeigen
1. F(x) = x³ + x² + x
2. F(3) − F(1) = 39 − (3) = 36
Ergebnis:
36

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●19
Bestimme die Extrempunkte von f(x) = x³ − 27x − 2.
Lösung zeigen
1. f'(x) = 3x² − 27 = 0 → x² = 9 → x = ±3
2. f''(x) = 6x: f''(−3) < 0 → Hochpunkt, f''(3) > 0 → Tiefpunkt
3. f(−3) = 52, f(3) = −56
Ergebnis:
H(−3 | 52), T(3 | −56)
●20
Berechne ∫₀² (3x²) dx
Lösung zeigen
1. F(x) = x³
2. F(2) − F(0) = 8 − (0) = 8
Ergebnis:
8
●21
Bestimme f'(x) für f(x) = e^2x
Lösung zeigen
1. Kettenregel: innere Ableitung 2
2. f'(x) = 2 · e^2x
Ergebnis:
f'(x) = 2e^2x
●22
g: x = (0 | 0 | 1) + t · (3 | 0 | −1) und E: x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 1. Bestimme den Schnittpunkt.
Lösung zeigen
1. g in E einsetzen: 1 · (0 + 3t) + 2 · (0 + 0t) + 2 · (1 − t) = 1
2. 2 + t = 1 → t = −1
3. S = (0 | 0 | 1) + −1 · (3 | 0 | −1) = (−3 | 0 | 2)
Ergebnis:
S(−3 | 0 | 2)
●23
Ein Multiple-Choice-Test hat 5 Fragen mit je Trefferwahrscheinlichkeit 0,2 beim Raten. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau 2 richtige.
Lösung zeigen
1. Bernoulli-Kette: n = 5, p = 0,2
2. P(X = 2) = (5 über 2) · 0,2² · 0,8³
3. = 10 · 0,04 · 0,512 ≈ 0,2048
Ergebnis:
≈ 20,5 %
●24
Von 200 Schüler:innen fahren 60 mit dem Rad (R). 18 davon sind auch im Sportverein (S); insgesamt sind 76 im Sportverein. Wie viele fahren Rad, sind aber nicht im Verein?
Lösung zeigen
1. Vierfeldertafel: R ∩ S = 18
2. R ∩ nicht S = 60 − 18 = 42
Ergebnis:
42

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Analysis: Extrempunkte: Reihenfolge: Nullstellen, f', Extrema, f'', Wendepunkte, Graph, Sachbezug deuten.
Bestimmtes Integral: Nullstellen prüfen, aufteilen, Beträge – und immer die Einheit im Sachzusammenhang.
e-Funktion ableiten: Ausklammern von e^(kx) zeigt Nullstellen; Asymptote nicht vergessen.
Schnittpunkt Gerade–Ebene: Skizze, Vektoren, Gleichungen – jede Behauptung mit Rechnung belegen.
Binomialverteilung: Situation in n, p übersetzen; „mindestens“ über Gegenereignis; Erwartungswert deuten.
Hilfsmittelfrei: Ableitungen, Integrale und Vektorrechnung ohne Rechner sicher beherrschen.

Achtungy-Wert des Extrempunkts fehlt

So nicht

Extremstelle x = 2: H(2; 0) aus f' abgelesen

So richtig

Extremstelle x = 2: y = f(2) = 5, also H(2; 5)

x in f einsetzen, nicht in f'.

Achtung„mindestens“ falsch übersetzt

So nicht

P(mindestens 1 Treffer) = P(X = 1)

So richtig

P(mindestens 1 Treffer) = 1 − P(X = 0)

„Mindestens 1“ = 1 − P(X = 0).

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich löse Analysis-Aufgaben im Abiturformat (Kurvendiskussion mit Sachbezug).
25
Mit 40 m Zaun soll an einer geraden Hauswand eine rechteckige Fläche abgeteilt werden – die Wand zählt nicht mit. Wie groß wird die Fläche höchstens?
Lösung zeigen
Ergebnis:
200 m² (10 m × 20 m)
Ich löse Integral-Aufgaben im Abiturformat.
26
Berechne den Inhalt der Fläche zwischen f(x) = x² und g(x) = 5x.
Lösung zeigen
Ergebnis:
A ≈ 20,83 FE
Ich löse e-Funktions-Aufgaben im Abiturformat.
27
Bestimme f'(x) für f(x) = 2 · e^2x
Lösung zeigen
Ergebnis:
f'(x) = 4e^2x
Ich löse Aufgaben zur analytischen Geometrie im Abiturformat.
28
g: x = (−1 | −2 | 1) + t · (1 | 1 | −1) und E: x₁ − x₂ + x₃ = 1. Bestimme den Schnittpunkt.
Lösung zeigen
Ergebnis:
S(0 | −1 | 0)
Ich löse Stochastik-Aufgaben im Abiturformat.
29
Ein Multiple-Choice-Test hat 4 Fragen mit je Trefferwahrscheinlichkeit 0,5 beim Raten. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau 1 richtige.
Lösung zeigen
Ergebnis:
≈ 25 %
Ich trainiere den hilfsmittelfreien Teil.
30
Berechne ∫₀¹ (3x² + 2x + 3) dx
Lösung zeigen
Ergebnis:
5
Ich arbeite mit Operatoren (bestimmen, begründen, zeigen, beurteilen).
31
Bestimme die Extrempunkte von f(x) = 2x³ − 96x.
Lösung zeigen
Ergebnis:
H(−4 | 256), T(4 | −256)
Ich manage die Zeit in einer Prüfung.
32
Bestimme die Extrempunkte von f(x) = x³ − 3x + 1.
Lösung zeigen
Ergebnis:
H(−1 | 3), T(1 | −1)
Ich bereite die Abiturklausur vor.
33
Bestimme die Extrempunkte von f(x) = 2x³ − 54x + 2.
Lösung zeigen
Ergebnis:
H(−3 | 110), T(3 | −106)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Hier ist eine Abituraufgabe mit Sachtext. Löse Teil a) – ohne etwas zu zeichnen.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Skizze als erstes Werkzeug jeder Abituraufgabe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Die Prüfung selbst – Routine nimmt Angst. Beruf: Studium und Ausbildung setzen genau das voraus.

Wörter

Ableitung: wie schnell sich etwas an einer Stelle ändert
Ausklammern: den gemeinsamen Faktor vor die Klammer holen
Extrempunkt: ein höchster oder tiefster Punkt
Funktion: eine Regel, die aus einer Zahl eine andere macht
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Integral: die Fläche unter dem Graphen
Nullstelle: wo der Graph die x-Achse trifft
Wendepunkt: wo die Kurve die Krümmung wechselt

Lösungen

r ≈ 5,42 cm, h ≈ 10,84 cm (O ≈ 553,6 cm²)
288 m² (12 m × 24 m)
r ≈ 4,3 cm, h ≈ 8,6 cm (O ≈ 348,7 cm²)
A ≈ 166,67 FE
A ≈ 1,33 FE
A ≈ 10,67 FE
f'(x) = 4e^2x
f'(x) = −15e^−3x
f'(x) = e^−0,5x(−0,5x − 1,5)
S(5 | −1 | 3)
S(−1 | 1 | 2)
S(4 | 0 | −1)
≈ 24,6 %
≈ 5,1 %
≈ 4,6 %
20
18
36
H(−3 | 52), T(3 | −56)
8
f'(x) = 2e^2x
S(−3 | 0 | 2)
≈ 20,5 %
42
200 m² (10 m × 20 m)
A ≈ 20,83 FE
f'(x) = 4e^2x
S(0 | −1 | 0)
≈ 25 %
5
H(−4 | 256), T(4 | −256)
H(−1 | 3), T(1 | −1)
H(−3 | 110), T(3 | −106)